Fiche de mathématiques
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Distance d'un point à une droite, tangente à un cercle

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Fiche relue en 2016

1. Distance d'un point à une droite


La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur minimale d'un segment d'extrémités A et un point de la droite (d).


Appelons H le point d'intersection de la droite (d) et de la perpendiculaire à (d) passant par A.
Cours sur les Figures planes, Distance d'un point à une droite et Tangente à un cercle : image 1

La distance de A à (d) est la longueur AH.
Pour tout point M de (d) différent de H, on a AM > AH

Remarque : dans le cas où A est un point de (d), la distance de A à (d) est égale à 0.

2. Tangente à un cercle


a) Intersection d'une droite et d'un cercle

Une droite et un cercle peuvent :

  • n'avoir aucun point d'intersection
  • avoir un seul point d'intersection
  • avoir deux points d'intersection

Cours sur les Figures planes, Distance d'un point à une droite et Tangente à un cercle : image 2


b) Tangente à un cercle

Si une droite a un seul point d'intersection avec un cercle, on dit qu'elle est tangente au cercle au point d'intersection.
On dit également que le cercle est tangent à la droite.


Cours sur les Figures planes, Distance d'un point à une droite et Tangente à un cercle : image 3

Sur la figure ci-dessus, la droite (d) est tangente au cercle \mathcal{C} en A.
Le cercle \mathcal{C} est tangent à (d) en A.

c) Propriétés et construction d'une tangente
Soit \mathcal{C} un cercle de centre O, et A un point de ce cercle.
Si une droite est tangente au cercle \mathcal{C} au point A, alors elle est perpendiculaire au rayon [OA].
Si une droite est perpendiculaire en A au rayon [OA] alors D est tangente au cercle \mathcal{C} en A.


Pour construire la droite tangente à un cercle de centre O en un point A du cercle, on trace la perpendiculaire au rayon [OA] qui passe par A.
Cours sur les Figures planes, Distance d'un point à une droite et Tangente à un cercle : image 4

(d) est tangente au cercle \mathcal{C} en A, on en déduit que (OA)\perp(d)
Inversement, pour tracer la tangente au cercle \mathcal{C} en A, on trace la droite (d) telle que : (OA)\perp(d)
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