Fiche de mathématiques
> >

Cercle Circonscrit à un triangle rectangle - Cours de maths 4ème

Partager :

1. Cercle circonscrit à un triangle


Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Quel que soit le triangle, les médiatrices des trois côtés se coupent en un seul et même point : on dit qu'elles sont concourantes.
Le point de concours des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit.



Pour tracer le cercle circonscrit, il suffit de tracer deux médiatrices, de pointer le compas sur le point d'intersection et de l'écarter jusqu'à un sommet du triangle, puis tracer le cercle.

Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 1


Sur la figure ci-dessus, les trois droites rouges sont les trois médiatrices du triangle. Leur point de concours O est le centre du cercle circonscrit.

2. Cas du triangle rectangle


Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de son hypoténuse.
L'hypoténuse du triangle est un diamètre de son cercle circonscrit.



Sachant que ABC est un triangle rectangle en A On déduit que le cercle circonscrit à ABC est le cercle de diamètre [BC]
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 2
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 3


Inversement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés ( soit pour centre le milieu d'un côté ), alors ce triangle est rectangle.



Sachant que le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre le coté [ BC ] On déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 4
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 5


Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypothénuse ( c'est-à-dire au rayon du cercle circonscrit ).



Sachant que ABC est un triangle rectangle en A, et que I est le milieu de [BC] On déduit que AI = \frac{1}{2} BC et AI = BI = CI
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 6
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 7


Inversement, si dans un triangle, la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté qu'elle coupe en son milieu, alors ce triangle est rectangle, et le côté correspondant est l'hypoténuse du triangle.



Sachant que dans ABC où I est le milieu de [BC], on a AI = BI = CI On déduit que ABC est rectangle en A.
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 8
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 9


3. Point d'un cercle de diamètre donné


Soit un segment [AB]
Si M est un point du cercle de diamètre [AB], alors \widehat{AMB} est un angle droit.



Sachant que M est un point du cercle de diamètre [AB] On déduit que \widehat{AMB} est un angle droit.
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 10
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 11


Sachant que \widehat{AMB} est un angle droit On déduit que M appartient au cercle de diamètre [AB]
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 12
Triangle rectangle et cercles circonscrits - Cours 4ème : image 13
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !