Fiche de mathématiques
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Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu

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1. Angles aigus et côtés adjacents


Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté qui ne fait pas l'angle droit. C'est le plus long des côtés. Le côté adjacent à un angle aigu du triangle est l'autre côté qui forme l'angle avec l'hypoténuse.



Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu : image 1

Dans le triangle ABC rectangle en A, l'hypoténuse est le côté [BC]. Le côté [AB] est le côté adjacent à l'angle . De même, le côté [AC] est le côté adjacent à l'angle \widehat{ACB}.

2. Cosinus d'un angle aigu


Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse.



Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu : image 2

Le cosinus de l'angle \widehat{ABC} est AB divisé par BC, on note : \widehat{cos(ABC)} = \frac{AB}{BC}
De même \widehat{cos(ACB)} = \frac{AC}{BC}
Le cosinus permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît l'angle et la longueur de l'autre côté.
Il permet également de calculer la mesure de l'angle quand on connaît les longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse.

3. Propriété du cosinus


Le cosinus comme quotient de deux longueurs n'a pas d'unité, il est strictement positif (quotient de nombres strictement positifs ) et strictement inférieur à 1 (car dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours plus grande que les côtés adjacents).

Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est nombre compris strictement entre 0 et 1.



4. Utilisation de la calculatrice


Il faut mettre la calculatrice en mode degrés (il y a d'autres mesures d'angle que le degré). Le symbole DEG apparaît sur l'écran (sinon, il y a RAD ou GRA).

Pour obtenir le cosinus d'un angle, on utilise la touche COS de la calculatrice.



Exemple :
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu : image 3
ABC est rectangle en A. AB = 12 et \widehat{ABC} = 20°.
Combien mesure BC ?
On a :

cos(20°) = \frac{AB}{BC}

BC \times cos(20°) = AB

BC = \frac{AB}{cos(20°)} = \frac{12}{cos(20°)}

Avec la calculatrice, on obtient BC \approx 12,77 arrondi au centième.

Pour obtenir la mesure d'un angle dont on connaît le cosinus, on appuie d'abord sur la touche SECONDE ou 2nde puis sur la touche COS.



Exemple :
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu
Triangles rectangles : cosinus d'un angle aigu : image 4

ABC est rectangle en A. AB = 15 et BC = 19. Combien mesure \widehat{ABC}?
On a :

\widehat{cos(ABC)} = \frac{15}{19}

Avec la calculatrice, on obtient \widehat{ABC} \approx 37,9° arrondi au dixième de degré.
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