exercice

est un parallélogramme.
La droite parallèle à passant par coupe en et en .
1. Montrer que et sont des parallélogrammes.
2. Montrer que les segments et sont parallèles et de même longueur.
3. Que peut-on alors conclure pour le point ?

1. On sait que est un parallélogramme.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles.
Donc est parallèle à et est parallèle à .
Puisque le point appartient à la droite , on peut donc dire que les droites et sont parallèles.
De même, le point appartient à la droite , on peut alors dire que les droites et sont parallèles.
Dans le quadrilatère on sait alors que :

par définition du point
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.

Dans le quadrilatère on sait alors que :

par définition du point
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc est un parallélogramme.

2. On sait que est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur et parallèles
Donc et est parallèle à .

On sait que est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur et parallèles
Donc et est parallèle à .

Ainsi et les droites et sont parallèles.

3. Les droites et sont parallèles et possèdent le point en commun. Donc ces deux droites sont confondues et les points , et sont alignés.
De plus donc le point est le milieu du segment .