Fiche de mathématiques
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Prismes droits, cylindres de révolution

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Cours de mathématique - Cinquième

1. Le prisme droit

a) Définition

Un prisme droit est un solide composé de :
2 bases parallèles et superposables en forme de polygones.
des faces latérales, perpendiculaires aux bases, en forme de rectangles. Il y a autant de faces latérales que de côtés au polygone qui constitue les bases.

Les arêtes latérales du prisme sont toutes parallèles et de la même longueur qui est la hauteur du prisme. Il y a autant d'arêtes latérales que de sommets ( ou de côtés ) au polygone qui constitue les bases.



Prismes droits, cylindres de révolution - Cours gratuit 5ème : image 1


La figure ci-dessus montre un prisme droit à base triangulaire en perspective cavalière. Les bases en forme de triangles ont 3 côtés. Le prisme a 3 faces latérales et 2 bases, soit en tout 5 faces. Il y a 3 arêtes latérales, chaque base a 3 arêtes : le prisme a donc 9 arêtes. Enfin le prisme a 3 + 3 = 6 sommets.
Cas particulier : le pavé droit ou parallélépipède rectangle est un prisme droit dont la base est un rectangle.

b) Patron

Le patron d'un prisme droit comprend ses deux bases et ses faces latérales.



Exemple : patron d'un prisme ayant pour base un quadrilatère.

Prismes droits, cylindres de révolution - Cours gratuit 5ème : image 2


c) Aire d'un prisme droit


L'aire latérale d'un prisme droit est la somme des aires de ses faces latérales.



Sur le patron du paragraphe b) on voit que l'aire latérale est l'aire d'un rectangle dont la première dimension est la hauteur du prisme, et la seconde la somme des longueurs des côtés de la base, c'est-à-dire le périmètre de la base.

Aire latérale = hauteur du prisme × périmètre de la base

L'aire totale d'un prisme droit est la somme de son aire latérale et de l'aire des deux bases.
Aire totale = hauteur du prisme × périmètre de la base + 2 × Aire de la base



d) Volume d'un prisme droit


Pour calculer le volume d'un prisme droit, il faut connaître ou calculer l'aire de la base et multiplier par la hauteur du prisme :
Volume = Hauteur du prisme × Aire de la base



Exemple :
Soit un prisme droit de hauteur 5 cm dont la base est un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires mesure 4 cm et 3 cm.
L'aire de la base est l'aire du triangle rectangle, soit 4 × 3 : 2 = 6 cm2.
Le volume du prisme est l'aire de la base fois la hauteur soit 6 × 5 = 30 cm3.

2. Le cylindre de révolution

a) Définition


Un cylindre de révolution est un solide composé de :
- 2 bases parallèles et superposables en forme de disques.
- une surface latérale courbe constitué par un rectangle enroulé suivant le contour des disques de base.

La droite reliant les centres des deux disques de base est appelée l'axe du cylindre.
La distance entre les deux bases ( également hauteur du rectangle enroulé qui constitue la surface latérale ) est la hauteur du cylindre.
Le rayon des disques de base est le rayon du cylindre.



Exemple :
vue en perspective d'un cylindre de révolution.

Prismes droits, cylindres de révolution - Cours gratuit 5ème : image 3


b) Patron


Le patron d'un cylindre de révolution comprend deux disques et un rectangle.
La longueur du rectangle est égale au périmètre du disque ( 2 x \pi x rayon du disque ).



Exemple : patron d'un cylindre.

Prismes droits, cylindres de révolution - Cours gratuit 5ème : image 4


c) Aire d'un cylindre


L'aire latérale est l'aire d'un rectangle de dimension la hauteur du cylindre par le périmètre du disque de base, soit 2 x \pi x rayon x hauteur.

Aire latérale du cylindre = 2 x \pi x rayon x hauteur

L'aire totale d'un prisme droit est la somme de son aire latérale et de l'aire des deux bases.
L'aire d'une base est l'aire d'un disque, soit \pi × rayon au carré
Aire totale = 2 x \pi x rayon x hauteur + 2 x \pi × rayon au carré
L'aire d'un cylindre de rayon r et hauteur h est donc 2 \pi r h + 2 \pi r2 (Cette formule n'est pas à mémoriser par c?ur mais le raisonnement pour faire le calcul dans un cas concret doit être connu).



d) Volume d'un cylindre


Le volume du cylindre est le produit de l'aire de la base et de la hauteur du cylindre :
Volume = \pi × rayon au carré × Hauteur
Le volume d'un cylindre de rayon r et hauteur h est donc \pi h r ²

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