Fiche de mathématiques
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Des ROC bac S déjà posées au bac

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ROC : Restitution Organisée des Connaissances
Ces démonstrations sont issues de sujets de baccalauréat Scientifique

exercice Démonstration - Suites - 01 - Suite croissante majorée

Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2005
La même question a aussi été posée dans le sujet de baccalauréat S, Liban, juin 2008


Prérequis : Définition d'une suite tendant vers +\infty
"Une suite tend vers +\infty si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A."

Démontrer le théorème suivant :
Une suite croissante non majorée tend vers +\infty.




exercice Démonstration - Suites - 02 - Suites adjacentes

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2005


On suppose connus les résultats suivants :
(1) Deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et u_n-v_n tend vers 0 quand n tend vers +\infty ;
(2) Si (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes telles que (u_n) est croissante et (v_n) est décroissante, alors pour tout n appartenant à \mathbb{N}, on a u_n \le v_n ;
(3) Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :
"Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite."




exercice Démonstration - Fonctions - 01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, mars 2005


On considère la fonction f, définie sur [1 ; +\infty[ par : f(t)= \displaystyle \frac{e^t}{t}.
On admet que la fonction f est continue et croissante sur [1 ; +\infty[.
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel x_0 de [1 ; +\infty[, on note \mathcal{A}(x_0) l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = x_0.
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [1 ; +\infty[ est une primitive de f.

a) Que vaut \mathcal{A}(1) ?
b) Soit x_0 un réel quelconque de [1 ; +\infty[ et h un réel strictement positif.
Justifier l'encadrement suivant : f(x_0) \le \displaystyle \frac{\mathcal{A}(x_0 + h) - \mathcal{A}(x_0)}{h} \le f(x_0 + h)
c) Lorsque x_0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x_0 + h \ge 1 ?
d) En déduire la dérivabilité en x_0 de la fonction \mathcal{A} ainsi que le nombre dérivé en x_0 de la fonction \mathcal{A}.
e) Conclure.
ROC Bac S - Démonstrations en terminales S : image 1





exercice Démonstration - Fonctions - 02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2006


Pré-requis :
La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse \left( x \mapsto \displaystyle \frac{1}{x} \right) ;
\ln(1) = 0.

1. Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, \ln(ax) = \ln(a) + \ln(x).
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que :
\ln \left( \displaystyle \frac{1}{b} \right) = - \ln (b)    et que    \ln \left( \displaystyle \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b) pour tous réels strictement positifs a et b.
3. On donne 0,69 \le \ln 2 \le 0,70    et    1,09 \le \ln 3 \le 1,10.
En déduire des encadrements de \ln 6, \ln \left( \displaystyle  \frac{1}{6} \right) et \ln \left(\displaystyle \frac{3}{8} \right).




exercice Démonstration - Fonctions - 03 - Equation différentielle du 1er ordre

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, septembre 2006


Pré-requis :
\lambda désigne un nombre réel de l'intervalle ]0;1].
Les solutions de l'équation différentielle y' = - \lambda y sont les fonctions x \mapsto C e^{- \lambda x}C est une constante réelle.

a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle (E_{\lambda}) \, : \, z' = -(\lambda z +1) telle que z(0) = 1.
b) Donner l'expression de cette fonction que l'on notera z_0.




exercice Démonstration - Fonctions - 04 - Comparaison d'intégrales

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, juin 2007


Pré-requis : Positivité et linéarité de l'intégrale.

Soient a et b deux réels d'un intervalle I de \mathbb{R} tels que a \le b.
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l'intervalle I, f (x) \ge g (x), alors \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x \ge \int_a^b g(x) \text{d}x.




exercice Démonstration - Fonctions - 05 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2007


On rappelle que lorsque t tend vers +\infty, alors \displaystyle \frac{e^t}{t} tend vers +\infty.
Démontrer que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.




exercice Démonstration - Fonctions - 06 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2007


L'objet de cette question est de démontrer que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.

On supposera connus les résultats suivants :
La fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R} et est égale à sa fonction dérivée ;
e^0 = 1 ;
Pour tout réel x, on a e^x > x ;
Soient deux fonctions \phi et \psi définies sur l'intervalle [A ; +\infty[A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +\infty[, \psi(x) \le \phi(x) et si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty, alors \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \phi(x) = +\infty.

a) On considère la fonction g définie sur [0 ; +\infty[ par g(x) = e^x - \displaystyle \frac{x^2}{2}.
Montrer que pour tout x de [0 ; +\infty[ \, , \, g(x) \ge 0.
b) En déduire que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.




exercice Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2007


Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].




exercice Démonstration - Fonctions - 08 - Propriété algébrique du logarithme

Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, juin 2007


On suppose connue la propriété :
"Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a \ln(xy) = \ln(x)+ \ln(y)".
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a \ln \left( \sqrt{m} \right) = \displaystyle \frac{1}{2} \ln(m) .




exercice Démonstration - Fonctions - 09 - Limites et théorème des gendarmes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2007


1. Soit f une fonction réelle définie sur [a ; +\infty[. Compléter la phrase suivante :
"On dit que f admet une limite finie L en +\infty si ... "
2. Démontrer le théorème « des gendarmes » :
Soient f , g et h trois fonctions définies sur [a ; +\infty[ et L un nombre réel.
Si g et h ont pour limite commune L quand x tend vers +\infty, et si pour tout x assez grand g(x) \le f(x) \le h(x), alors la limite de f quand x tend vers +\infty est égale à L.




exercice Démonstration - Fonctions - 10 - Equation différentielle du 1er ordre

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2007


On suppose connu le résultat suivant :
La fonction x \mapsto e^x est l'unique fonction \phi dérivable sur \mathbb{R} telle que \phi ' = \phi, et \phi(0)=1.

Soit a un réel donné.
a) Montrer que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = e^{ax} est solution de l'équation y'= ay.
b) Soit g une solution de l'équation y'= ay. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x) = g(x)e^{-ax}. Montrer que h est une fonction constante.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y'= ay.




exercice Démonstration - Fonctions - 11 - Formules de dérivation

Extrait du sujet de baccalauréat S, La Réunion, septembre 2007


La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
P : Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^n ; alors f est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f' donnée sur \mathbb{R} par : f'(x) = nx^{n-1}.
Q : Soit u une fonction dérivable sur \mathbb{R} et soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f = u^n ; alors f est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f' donnée par f' = nu^{n-1}.




exercice Démonstration - Fonctions - 12 - Intégration par parties

Extrait du sujet de baccalauréat S, Antilles-Guyane, septembre 2007


Soit I un intervalle de \mathbb{R}.
Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u' et v' soient continues sur I.
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.




exercice Démonstration - Fonctions - 13 - Comparaison d'intégrales

Extrait du sujet de baccalauréat S, Polynésie, juin 2008


On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a <  b.
Si u \ge 0 sur [a ; b] alors \displaystyle \int_a^b u(x) \text{d}x \ge 0.
Pour tous réels \alpha et \beta \, , \, \displaystyle \int_a^b \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right] \text{d}x = \alpha \int_a^b u(x) \text{d}x + \beta \int_a^b v(x) \text{d}x .

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f(x) \le g(x) alors \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x \le \int_a^b g(x) \text{d}x.




exercice Démonstration - Fonctions - 14 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2008


On suppose connu le résultat suivant : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{e^x}{x} = + \infty.

Démontrer que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x e^{-x} = 0.




exercice Démonstration - Fonctions - 15 - Calcul de limite à l'infini

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2008


Prérequis : on rappelle que : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{e^x}{x} = + \infty.

1. Démontrer que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{\ln x}{x} = 0.

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, \frac{\ln x}{x^n} = 0 .




exercice Démonstration - Géométrie - 01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2006


L'espace est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k}).
Soient a \, , \, b \, , \, c et d des réels tels que (a;b;c) \neq (0;0;0).
Soit \mathcal{P} le plan d'équation ax +by +cz +d = 0.
On considère le point I de coordonnées (x_I;y_I;z_I) et le vecteur \overrightarrow{n} de coordonnées \left( \begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right).
Le but est de démontrer que la distance de I au plan \mathcal{P} est égale à \displaystyle \frac{|a x_I + b y_I + c z_I + d|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}.

1. Soit \Delta la droite passant par I et orthogonale au plan \mathcal{P}.
Déterminer, en fonction de a \, , \, b \, , \, c \, , \, x_I \, , \, y_I et z_I, un système d'équations paramétriques de \Delta.

2. On note H le point d'intersection de \Delta et \mathcal{P}.
    a) Justifier qu'il existe un réel k tel que \overrightarrow{IH} = k \overrightarrow{n}.
    b) Déterminer l'expression de k en fonction de a \, , \, b \, , \, c \, , \, d \, , \, x_I \, , \, y_I et z_I.
    c) En déduire que IH = \displaystyle \frac{|a x_I + b y_I + c z_I + d|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}.




exercice Démonstration - Géométrie - 02 - Equation cartésienne d'un plan dans l'espace

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2007


L'espace est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k}).
Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal \overrightarrow{n} \left( \begin{array}{l}  a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) et un point M_0 (x_0, y_0, z_0).




exercice Démonstration - Nombres complexes - 01 - Argument d'un quotient de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Asie, juin 2006


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}).
On rappelle que pour tout vecteur \overrightarrow{w} non nul, d'affixe z, on a : |z| = || \overrightarrow{w} || et \arg(z) = \left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right) à 2\pi près.

Prérequis : On sait que si z et z' sont deux nombres complexes non nuls, alors : \arg(z z') = \arg(z) + arg(z').
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : \arg \left( \displaystyle \frac{z}{z'} \right) = \arg(z) - \arg(z').




exercice Démonstration - Nombres complexes - 02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres étrangers, juin 2006


Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
a) Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } l}  |z|  &  r  \\  \arg (z)  &  \theta \, \text{ à } 2\pi \text{ près} \\ \end{array} \right.  \, \Longleftrightarrow \, \left \lbrace \begin{array}{l} z = r( \cos \theta + \sin \theta ) \\ r > 0  \\ \end{array} \right.
b) Pour tous nombres réels a et b :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \cos(a + b)  &  \cos a \cos b - \sin a \sin b  \\  \sin(a +b)  &  \sin a \cos  + \sin b \cos a  \\ \end{array} \right.

Soient z_1 et z_2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|     et     \arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) à 2\pi près.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 03 - Module de produit et inverse de nombre complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, obligatoire


Prérequis : le module d'un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|^2 = z \bar{z}\bar{z} est le conjugué de z.

Démontrer que :
Pour tous nombres complexes z_1 et z_2, |z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|.
Pour tout nombre complexe z non nul, \left| \displaystyle \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 04 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Nord, mai 2006, spécialité


Prérequis : Définitions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démontrer que : si A est un point donné d'affixe a, alors l'image du point P d'affixe p par la rotation de centre A et d'angle \displaystyle \frac{\pi}{2} est le point Q d'affixe q telle que q - a = \text{i}(p - a).




exercice Démonstration - Nombres complexes - 05 - Arguments d'un quotient de nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, obligatoire


On prend comme pré-requis les résultats suivants :
Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls, alors : \arg(z z') = \arg(z) + \arg(z') à 2k \pi près, avec k entier relatif ;
Pour tout vecteur \vec{w} non nul d'affixe z on a : \arg(z) = \left(\vec{u} ; \vec{w}) à 2k \pi près, avec k entier relatif.

a) Soient z et z' des nombres complexes non nuls, démontrer que : \arg \left( \displaystyle \frac{z}{z'} \right) = \arg(z) - \arg(z') à 2k \pi près, avec k entier relatif.
b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives a, b, c, on a : \arg \left( \displaystyle \frac{c-a}{b-a} \right) = \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) à 2k \pi près, avec k entier relatif.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 06 - Module et argument d'un quotient de nombre complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, Novembre 2006, obligatoire


Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}).
On rappelle que : "Pour tout vecteur \overrightarrow{w} non nul, d'affixe z on a : |z| = ||\overrightarrow{w}|| et \arg (z) = \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right)".

Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m, n et p tels que m \neq n et m \neq p.
a) Démontrer que : \arg \left( \displaystyle \frac{p-m}{n-m} \right) = \left( \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP} \right).
b) Interpréter géométriquement le nombre \left|\displaystyle \frac{p-m}{n-m} \right|.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 07 - Propriétés sur les nombres complexes

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, obligatoire


1. Démontrer qu'un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si \bar{z} = -z.

2. Démontrer qu'un nombre complexe z est réel si et seulement si \bar{z} = z.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l'égalité : z \bar{z} = |z|^2.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 08 - Affixe du centre d'une similitude plane directe

Extrait du sujet de baccalauréat S, Centres Etrangers, juin 2007, spécialité


On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude plane directe autre qu'une translation est de la forme z' = az +b, où a et b sont des nombres complexes avec a \neq 1.

Déterminer en fonction de a et de b l'affixe du centre d'une telle similitude plane directe.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 09 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, obligatoire


On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z_Az_B et z_C trois points A, B et C.
Alors : \left|\displaystyle \frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} \right| = \frac{CB}{CA}     et     \arg \left(\displaystyle \frac{z_B - z_C}{z_A - z_C} \right) = \left( \overrightarrow{CA} , \overrightarrow{CB} \right) \, (2 \pi)
2. Soit z un nombre complexe et soit \theta un réel : z = e^{\text{i} \theta} si et seulement si |z| = 1 et \arg(z)= \theta + 2k \pi, où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : Démontrer que la rotation r d'angle \alpha et de centre \Omega d'affixe \omega est la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que :
z' - \omega = e^{\text{i} \alpha}(z - \omega)




exercice Démonstration - Nombres complexes - 10 - Expression complexe d'une rotation

Extrait du sujet de baccalauréat S, Pondichéry, avril 2008, spécialité


On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z' = az+b, où a \in \mathbb{C}^{*} et b \in \mathbb{C}.

Démonstration de cours : On se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A' et B' sont quatre points tels que A est distinct de B et A' est distinct de B', alors il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B'.




exercice Démonstration - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gauss et de Bézout

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2006, spécialité


1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.




exercice Démonstration - Arithmétique - 02 - Congruences

Extrait du sujet de baccalauréat S, Amérique du Sud, novembre 2006, spécialité


Rappel :
Pour deux entiers relatifs a et b, on dit que a est congru à b modulo 7, et on écrit a \equiv b \text{ mod } 7 lorsqu'il existe un entier relatif k tel que a = b +7k.

a) Soient a \, , \, b \, , \, c et d des entiers relatifs.
Démontrer que : si a \equiv b \text{ mod } 7 et c \equiv d \text{ mod } 7 alors ac \equiv bd \text{ mod } 7.

b) En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls, si a \equiv b \text{ mod } 7 alors pour tout entier naturel n, a^n \equiv b^n \text{ mod } 7.




exercice Démonstration - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, mars 2008, spécialité


Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.




exercice Démonstration - Probabilités - 01 - Evènements indépendants

Extrait du sujet de baccalauréat S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2005


Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et \bar{B} sont indépendants.




exercice Démonstration - Probabilités - 02 - Loi exponentielle

Extrait du sujet de baccalauréat S, France, juin 2008


Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre t \ge 0P(X \le t) = \displaystyle \int_0^t \lambda e^{-\lambda x} \text{d}x.
La fonction R définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité.
a) Démontrer que pour tout t \ge 0 on a R(t) = e^{-\lambda t}.
b) Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel s \ge 0, la probabilité conditionnelle P_{X>t} (X > t +s) ne dépend pas du nombre t >0.





exercice Démonstration - Suites - 01 - Suite croissante majorée

Montrons que toute suite croissante non majorée tend vers +\infty.
Soit (u_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite croissante non majorée, A\in\mathbb{R}.
(u_n)_{n\in\mathbb{N}} n'étant pas majorée, considérons un entier N\in\mathbb{N} tel que u_N>A. Comme la suite est croissante, pour tout n\in\mathbb{N} tel que n\geqslant N, on a u_n \geqslant u_N > A.
Autrement dit, pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Ceci montre exactement que (u_n)_{n\in\mathbb{N}} tend vers +\infty.




exercice Démonstration - Suites - 02 - Suites adjacentes

Montrons que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
Soient (u_n) et (v_n) deux suites adjacentes, telles que (u_n) soit croissante et (v_n) soit décroissante.

Montrons dans un premier temps que (u_n) et (v_n) sont convergentes.
Comme (u_n) est supposée croissante, on a pour tout n\in\mathbb{N}, u_0\leqslant u_n.
De même, (v_n) étant supposée décroissante, on a pour tout n\in\mathbb{N}, v_n\leqslant v_0.
Or, d'après le résultat 2), pour tout n\in\mathbb{N}, on a : u_n\leqslant v_n.
D'où finalement on a pour tout n\in\mathbb{N}, u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\leqslant v_0.
Autrement dit : (u_n) est croissante et majorée, donc convergente ; et idem, (v_n) est décroissante et minorée, donc convergente.
D'où la convergence des deux suites.

Montrons qu'alors elles ont la même limite.
On sait que (u_n) et (v_n) convergent. Notons respectivement \ell et \ell' leur limite (réelle).
Comme les deux suites sont adjacentes, on a \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n-v_n=0. (1)
Or, les deux suites étant convergentes : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n-v_n = \lim_{n\to+\infty}u_n-\lim_{n\to+\infty}v_n = \ell - \ell'. (2)

D'après (1) et (2), il résulte finalement que \ell = \ell' : les deux suites ont la même limite.




exercice Démonstration - Fonctions - 01 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

a) \mathcal{A}(1) représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équation x=1 et x=1 (évidemment confondues !).
D'où en fait : \mathcal{A}(1)=0.

b) \mathcal{A}\left(x_0+h\right)-\mathcal{A}\left(x_0\right) représente l'aire du domaine délimité par la courbe représentant f, l'axe des abscisses et les deux droites d'équation x=x_0 et x=x_0+h.
Par la méthode des rectangles, on constate que cette aire est comprise entre h\times f(x_0) et h\times f(x_0+h).
D'où finalement : f(x_0)\le\displaystyle\frac{\mathcal{A}(x_0+h)-\mathcal{A}(x_0)}{h}\le f(x_0+h).

c) On suppose x_0>1 et h<0 tel que x_0+h\leqslant 1.
Soit t\in[x_0+h;x_0]. Comme f est croissante sur [1;+\infty[, on peut écrire : f(x_0+h)\leqslant f(t)\leqslant f(x_0).
D'où en intégrant cette relation de x_0+h à x_0, on obtient : \displaystyle\int_{x_0+h}^{x_0}f(x_0+h){\text d}t\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(t){\rm d}t\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(x_0){\rm d}t.
Soit, comme h<0 : \displaystyle f(x_0+h)(-h)\leqslant \int_{x_0+h}^{x_0}f(t){\rm d}t\leqslant f(x_0)(-h).
Enfin, d'après la relation de Chasles, on a : \displaystyle \int_{x_0+h}^{x_0}f(t){\text d}t=\int_{x_0+h}^{1}f(t){\rm d}t + \int_{1}^{x_0}f(t){\rm d}t = \mathcal{A}(x_0)-\mathcal{A}(x_0+h).

D'où finalement, en réinjectant dans l'inéquation plus haut et en divisant par -h>0, on obtient : \displaystyle f(x_0+h)\leqslant \frac{\mathcal{A}(x_0+h)-\mathcal{A}(x_0)}{h}\leqslant f(x_0).
Remarque : On pouvait également adopter ce point de vue pour la question précédente...

d) Par continuité de f en x_0, on a : \displaystyle\lim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0).
D'où en faisant tendre h vers 0 dans l'un des encadrements trouvés aux questions précédentes, on obtient d'après le théorème des gendarmes que \mathcal{A} est dérivable en x_0, et que \mathcal{A}'(x_0)= f(x_0).

e) Ceci étant valable pour tout x_0\in[1;+\infty[ (en 1, on n'aura que la dérivabilité à droite... mais c'est suffisant !), la fonction \mathcal{A} est dérivable sur [1;+\infty[, et pour tout x\in[1;+\infty[, on a : \mathcal{A}'(x)=f(x).
D'où \mathcal{A} est finalement une primitive de f sur [1;+\infty[.




exercice Démonstration - Fonctions - 02 - Dérivabilité et primitive d'une fonction

1. Soit a\in\mathbb{R}_+^\star. On définit pour tout x\in\mathbb{R}_+^\star la fonction f:x\mapsto \ln(ax).
On a : f'(x)=a\times\dfrac{1}{ax}=\dfrac{1}{x}, d'où par intégration f(x)=_{déf}\ln(ax)=\ln(x)+CC est une constante à déterminer.
De plus, f(1)=_{déf}\ln(a)=\ln(1)+C=_{hyp}C, d'où finalement : C=\ln(a) et \fbox{\ln(ax)=\ln(a)+\ln(x)}. (valable pour tous réels a,x strictement positifs).

2. Soient a et b deux réels strictement positifs.
On sait que \ln\left(b\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln(b)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right).
Or, \ln\left(b\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln(1)=_{hyp}0, d'où finalement : \fbox{\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b)}.

Ensuite : \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times\dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\fbox{\ln(a)-\ln(b)}.

3. \ln(6)=\ln(2\times3)=\ln(2)+\ln(3), d'où : \fbox{1,78\le\ln(6)\le1,80}.
\ln(1/6)=-\ln(6), d'où : \fbox{-1,80\le\ln\left(\dfrac{1}{6}\right)\le-1,78}.
\ln(3/8)=\ln(3)-\ln(8)=\ln(3}-\ln(2\times2\times2)=\ln(3)-3\ln(2), d'où : \fbox{-1,01\le\ln\left(\dfrac{3}{8}\right)\le-0,97}.




exercice Démonstration - Fonctions - 03 - Équation différentielle du 1er ordre

a) Soit y=z+\dfrac{1}{\lambda}. On a y'=z', et l'équation (E_\lambda) s'écrit alors : y'=-\lambda y.
D'où l'existence de solutions à cette équation différentielle. La condition z(0)=1 (soit y(0)=1+\dfrac{1}{\lambda}) impose l'unicité (puisqu'alors une unique constante C convient).

b) En reprenant les mêmes notations que ci-dessus, on sait que l'équation y'=-\lambda y admet pour solution les fonctions de la forme y:x\mapsto Ce^{-\lambda x}, où C est une constante à déterminer. Comme z_0(0)=1, on a y_0(0)=1+\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{\lambda+1}{\lambda}, d'où en fait : C=\dfrac{\lambda+1}{\lambda}.
Finalement, on a pour tout réel [tetx]x[/tex], y_0(x)=\dfrac{\lambda+1}{\lambda}e^{-\lambda x}, d'où :
\fbox{z_0(x)=y_0(x)-\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\lambda}\left(\left(\lambda+1\right)e^{-\lambda x}-1\right)}.





exercice Démonstration - Fonctions - 04 - Comparaison d'intégrales

Soient f et g deux fonctions continues sur I tels que pour tout x\in I, f(x)\ge g(x).
Alors la fonction f-g est positive. D'où \displaystyle \int_a^b (f-g)(x){\text d}x\ge 0 (par positivité de l'intégrale)
Or : \displaystyle \int_a^b (f-g)(x){\rm d}x = \int_a^b f(x){\rm d}x - \int_a^b g(x){\text d}x (par linéarité)

D'où finalement : \fbox{\displaystyle \int_a^b f(x){\rm d}x \ge \int_a^b g(x){\rm d}x}.




exercice Démonstration - Fonctions - 05 - Calcul de limite à l'infini

En effectuant le changement de variable t=\ln x, on a : \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^t}.

Or, \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}=+\infty, donc \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^t}=0.

D'où finalement : \fbox{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}.




exercice Démonstration - Fonctions - 06 - Calcul de limite à l'infini

a) Soit x\in[0;+\infty[.
On a : g'(x)=e^x-x. Or, pour x\ge 0, on a : e^x\ge x (cf. 3ème point), d'où g'(x)>0.
Ainsi, la fonction g est croissante sur [0;+\infty[, et donc comme g(0)=1, on a bien pour tout x\in[0;+\infty[, g(x)\ge 0.

b) Soit x\in[0;+\infty[. On sait que g(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}\ge 0. Autrement dit, on a e^x\ge \dfrac{x^2}{2}, soit encore \dfrac{e^x}{x}\ge \dfrac{x}{2} (x positif).
Or, \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty, d'où finalement (cf. 4ème point) :
\fbox{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty}





exercice Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, de dérivées continues sur I, et a, b deux points de I. D'après la formule d'intégration par parties, on a :
\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\text d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\text d}x.

En effet : si pour ton x\in I, on définit g par \displaystyle g(x) = u(x)v(x).
Alors : la fonction g est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables.
De plus, on calcule : g'=u'v+uv', où les fonctions u'v et uv' sont continues sur I comme produit de fonctions continues. Finalement, on obtient :
\displaystyle\left[u(x)v(x)\right]_a^b=g(b)-g(a)=\int_a^b g'(x){\text d}x=\int_a^b u'(x)v(x){\text d}x+\int_a^b u(x)v'(x){\text d}x\quad\Longleftrightarrow\quad\fbox{\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x}.





exercice Démonstration - Fonctions - 08 - Propriété algébrique du logarithme

Soit m>0.
On a d'après la propriété rappelée : \ln(m)=\ln\left(\sqrt{m}\times\sqrt{m}\right)=\ln(\sqrt{m})+\ln(\sqrt{m})=2\times\ln(\sqrt{m}).

D'où finalement : \fbox{\ln(\sqrt{m})=\dfrac{1}{2}\ln(m)}.




exercice Démonstration - Fonctions - 09 - Limites et théorème des gendarmes

1. On dit que f admet une limite finie L en +\infty si pour tout \epsilon>0, il existe un réel M\in\mathbb{R} tel que pour tout réel x\ge M, on ait |f(x)-L|\le \epsilon.
Remarque : Avec des quantificateurs, cela s'écrit : \forall\epsilon>0,\exists M\in\mathbb{R},\forall x\in\mathbb{R},\left(x\ge M\Longrightarrow |f(x)-L|\le \epsilon\right).

2. Soient f,g,h trois fonctions définies sur [a;+\infty[ et L un nombre réel.
On suppose que g et h convergent vers une même limite L quand x tend vers +\infty, et que pour tout x assez grand, on a : g(x)\le f(x)\le h(x).
Soit \epsilon>0. Comme g/ tend vers L, il existe M_1 un réel tel que pour x\ge M_1, L-\epsilon\le g(x)\le L+\epsilon. De même, il existe M_2 un réel tel que pour x\ge M_2, L-\epsilon\le h(x)\le L+\epsilon.
Enfin, il existe M_3 un réel tel que pour x\ge M_3, g(x)\le f(x)\le h(x).
D'où pour x\leq\max(M_1;M_2;M_3), on a : L-\epsilon\le g(x)\le f(x)\le h(x)\le L+\epsilon.
D'où finalement la limite de f quand x tend vers +\infty est aussi L.




exercice Démonstration - Fonctions - 10 - Équation différentielle du 1er ordre

1. On a : f'(x) = ae^{ax} = af(x), d'où f est bien solution de l'équation y'=ay.

2. Pour x réel, on a : h'(x) = g'(x)e^{-ax}+g(x)(-a)e^{-ax} = \left(g'(x)-ag(x)\right)e^{-ax}.
Or, comme g est solution de l'équation y'=ay, on a : g'(x)-ag(x)=0.
D'où h'(x)=0 pour tout réel x. Autrement dit, h est une fonction constante.

3. On vient de montrer que si g est solution de l'équation y'=ay, alors pour tout x réel, on a g(x)e^{-ax}=C (où C est une constante), autrement dit g(x) est de la forme Ce^{ax}.
Réciproquement, les fonctions de la forme x\mapsto Ce^{ax} sont bien solutions de l'équation y'=ay.
Les solutions de l'équation y'=ay sont donc les fonctions de la forme x\mapsto Ce^{ax} (C\in\mathbb{R}).




exercice Démonstration - Fonctions - 11 - Formules de dérivation

La proposition P est vraie.
En effet, par récurrence sur n\in\mathbb{N^\star} :
Initialisation : pour n=1, si f(x)=x, alors f'(x)=1=1\times x^0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N^\star}. On suppose que si f(x)=x^n, alors f est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f' donnée par : f'(x)=nx^{n-1}.
Soit g définie par g(x)=x^{n+1}=x\times x^n. Alors g est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, et de plus : g'(x)=x^n + x\times nx^{n-1}=(n+1)x^n.
D'où l'hérédité. Et d'où la proposition P.

En revanche, la proposition Q est fausse.
Pour le montrer, il suffit d'exhiber un contre-exemple.
Par exemple, pour n=2, on a (dérivée de la composée) : f'(x)=u'\times (n u^{n-1})\neq n u^{n-1}.




exercice Démonstration - Fonctions - 12 - Intégration par parties

(Voir Démonstration - Fonctions - 07 - Intégration par parties pour une autre démonstration, qui repose néanmoins sur la même idée.)

Soient u et v deux fonctions dérivables, de dérivées continues, sur un intervalle [a;b]. D'après la formule d'intégration par parties, on a :
\displaystyle \int_a^b u'(x)v(x){\rm d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x.

En effet, Si on pose \displaystyle f:t\mapsto   \left[u(x)v(x)\right]_a^t - \int_a^t u(x)v'(x){\rm d}x
On a : \displaystyle f(b) = u(b)v(b) - \underbrace{u(a)v(a)}_{\rm constante} - \int_a^b u(x)v'(x){\rm d}x .
Alors : f'(b) = u'(b)v(b) + u(b)v'(b) - u(b)v'(b) = u'(b)v(b).
On vérifie de plus que : f(a)=0.

Finalement, f est l'unique primitive de u'v qui s'annule en a, d'où la formule susmentionnée.




exercice Démonstration - Fonctions - 13 - Comparaison d'intégrales

Soient f et g deux fonctions continues sur I tels que pour tout x\in I, f(x)\ge g(x).
Alors la fonction f-g est positive. D'où \displaystyle \int_a^b (f-g)(x){\rm d}x\ge 0 (par positivité de l'intégrale)
Or : \displaystyle \int_a^b (f-g)(x){\rm d}x = \int_a^b f(x){\rm d}x - \int_a^b g(x){\rm d}x. (par linéarité)

D'où finalement : \fbox{\displaystyle \int_a^b f(x){\rm d}x \ge \int_a^b g(x){\rm d}x}.




exercice Démonstration - Fonctions - 14 - Calcul de limite à l'infini

On a : \displaystyle xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}.

D'où : \fbox{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} xe^{-x}=0}.




exercice Démonstration - Fonctions - 15 - Calcul de limite à l'infini

1. En effectuant le changement de variable t=\ln x, on a : \dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{t}{e^t}, où quand x tend vers +\infty, t=\ln x tend vers +\infty.
Or, \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}=+\infty, donc \displaystyle \lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^t}=0.
D'où finalement : \fbox{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0}.

2. Pour tout entier naturel strictement positif, on a : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}=0.
Or, \dfrac{\ln x}{x^n}=\dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{1}{x^{n-1}} (1).
si n=1, le résultat a été montré à la question précédente.
si n>1, alors d'après (1) et les règles sur les limites d'un produit, \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0.




exercice Démonstration - Géométrie - 01 - Distance entre un point et un plan dans l'espace

1. D'après l'équation du plan, le vecteur \vec{n}\left(\begin{array}c a\\b\\c\end{array}\right) est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
La droite \Delta étant par ailleurs orthogonale à ce plan, \vec{n} est en fait un vecteur directeur de cette droite.
Enfin, comme \Delta passe par le point I, on a donc le système d'équations paramétriques de \Delta suivant :
\left\lbrace \begin{array}{l}x=at+x_I\\y=bt+y_I\\z=ct+z_I\end{array}\right.\quad\quad{\rm où}\, t\in\mathbb{R}.


2. a) On a en particulier H\in\Delta et I\in\Delta.
Mais comme \vec{n} est un vecteur directeur de la droite \Delta, les vecteurs \overrightarrow{IH} et \vec{n} sont colinéaires, d'où l'existence de k\in\mathbb{R} tel que \overrightarrow{IH}=k\vec{n}.

2. b) H étant un point de \Delta, on écrit les coordonnées de H :
\left\lbrace \begin{array}{l}x_H=at_0+x_I\\y_H=bt_0+y_I\\z_H=ct_0+z_I\end{array}\right.\quad\quad{\rm où}\, t_0\in\mathbb{R}.

D'où en utilisant le fait que H\in\mathcal{P}, on obtient : a(at_0+x_I)+b(bt_0+y_I)+c(ct_0+z_I)+d=0, soit \displaystyle t_0=\frac{-(ax_I+by_I+cz_I+d)}{a^2+b^2+c^2}.
De plus, on en déduit donc que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IH} sont \left(\begin{array}c at_0\\bt_0\\ct_0\end{array}\right). Mais comme \overrightarrow{IH}=k\vec{n}, les coordonnées de \overrightarrow{IH} sont également de la forme \left(\begin{array}c ak\\bk\\ck\end{array}\right).
D'où on conclut par identification que \fbox{\displaystyle k=t_0=\frac{-(ax_I+by_I+cz_I+d)}{a^2+b^2+c^2}}.

2. c) On a donc \displaystyle IH=||\overrightarrow{IH}||=||k\vec{n}||=\left|\frac{-(ax_I+by_I+cz_I+d)}{a^2+b^2+c^2}\right|\times\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\fbox{\displaystyle\frac{ax_I+by_I+cz_I+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}
Cette longueur est la distance du point I au plan \mathcal{P} puisque H est le projeté orthogonal de I sur ce plan.




exercice Démonstration - Géométrie - 02 - Équation cartésienne d'un plan dans l'espace

Comme le vecteur \vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right) est un vecteur normal au plan, on sait que son équation est de la forme ax+by+cz+d=0d est une constante à déterminer.

Sachant que M(x_0;y_0;z_0)\in\mathcal{P}, on a de plus ax_0+by_0+cz_0+d=0, soit encore d=-(ax_0+by_0+cz_0).

D'où finalement l'équation du plan de vecteur normal \vec{n}\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right) et passant par M(x_0;y_0;z_0) est :
\fbox{\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0}





exercice Démonstration - Nombres complexes - 01 - Argument d'un quotient de nombres complexes

Soient z,z' deux nombres complexes non nuls.
On a : \arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right)=\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)+\arg(z').
Or, \arg\left(\dfrac{z}{z'}\times z'\right)=\arg(z).

D'où finalement : \fbox{\displaystyle\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')}2\pi près).




exercice Démonstration - Nombres complexes - 02 - Module et argument d'un produit de nombres complexes

On écrit z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) et z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2), avec r_1,r_2>0.
On constate dans un premier temps que r_1,r_2 (resp. \theta_1,\theta_2) sont les modules (resp. des arguments) des complexes z_1,z_2.

On calcule :
z_1z_2 = r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\times r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ z_1z_2 = r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2+i\sin\theta_2\cos\theta_1)\\ z_1z_2 = r_1r_2(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right))

D'où par identification : \fbox{\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l}|z_1z_2|=r_1r_2=|z_1||z_2|\\ \arg(z_1z_2)=\theta_1+\theta_2=\arg(z_1)+\arg(z_2)\quad\quad{\rm à\,2\pi\,près}\end{array}\right.}




exercice Démonstration - Nombres complexes - 03 - Module de produit et inverse de nombres complexes

Soient z_1,z_2 deux nombres complexes. On a :
|z_1z_2|^2=(z_1z_2)\times(\overline{z_1z_2})=z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}=|z_1|^2|z_2|^2.
D'où comme le module est positif : |z_1z_2|=|z_1||z_2|.

Soit z un nombre complexe non nul. On a : \displaystyle\left|\frac{1}{z}\times z\right|=\left|\frac{1}{z}\right|\times|z| d'après le résultat de la question précédente.
Or : \displaystyle\left|\frac{1}{z}\times z\right|=|1|=1.
D'où finalement (z non nul) : \fbox{\displaystyle \left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 04 - Expression complexe d'une rotation

Soient A, P et Q des complexes d'affixes respectives a,p,q tels que Q soit l'image du point P par la rotation de centre A et d'angle \pi/2.

Alors A, P et Q vérifient en particulier :
\displaystyle AQ=AP\quad{\rm et}\quad (\overrightarrow{AP};\overrightarrow{AQ})=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow |q-a|=|p-a|\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\,[2\pi]\\ \Longleftrightarrow \left|\frac{q-a}{p-a}\right|=1\quad{\rm et}\quad \arg\left(\frac{q-a}{p-a}\right)=\frac{\pi}{2}\, [2\pi]\\ \Longleftrightarrow \frac{q-a}{p-a}=e^{i\pi/2}\\ \Longleftrightarrow \fbox{\displaystyle (q-a)=i(p-a)}.

D'où le résultat.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 05 - Arguments d'un quotient de nombres complexes

a) Soient z,z' deux nombres complexes non nuls.
On a : \displaystyle \arg\left(\frac{z}{z'}\times z'\right)=\arg\left(\frac{z}{z'}\right)+\arg(z').
Or, \displaystyle \arg\left(\frac{z}{z'}\times z'\right)=\arg(z).

D'où finalement : \fbox{\displaystyle\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')}2\pi près).

b) Soient A, B, C trois points du plan distincts deux à deux, d'affixes respectives a,b,c. On a :
\displaystyle \arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)=\arg(c-a)-\arg(b-a)=(\vec{u};\overrightarrow{AC})-(\vec{u};\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{AB};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{AC})= \fbox{\displaystyle(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 06 - Module et argument d'un quotient de nombres complexes

Soient M, N et P trois points du plan, d'affixes respectives m,n,p tels que m\neq n et m\neq p.

a) \displaystyle \arg\left(\frac{p-m}{n-m}\right)=\arg(p-m)-\arg(n-m)=(\vec{u};\overrightarrow{MP})-(\vec{u};\overrightarrow{MN})=(\overrightarrow{MN};\vec{u})+(\vec{u};\overrightarrow{MP})= \fbox{\displaystyle(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MP})}.

b) On a : \displaystyle\left|\frac{p-m}{n-m}\right|=\frac{|p-m|}{|n-m|}=\frac{MP}{MN}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 07 - Propriétés sur les nombres complexes

On écrit z=\mathfrak{R}(z)+i\mathfrak{I}(z), où \mathfrak{R}(z),\mathfrak{I}(z)\in\mathbb{R}.

1. Si z est imaginaire pur, alors z=i\mathfrak{I}(z), et donc \overline{z}=-i\mathfrak{I}(z)=-z.
Réciproquement, si \overline{z}=-z, alors \mathfrak{R}(z)-i\mathfrak{I}(z)=-\mathfrak{R}(z)-\mathfrak{I}(z), soit encore \mathfrak{R}(z)=-\mathfrak{R}(z), soit \mathfrak{R}(z)=0.
D'où finalement \mathfrak{R}(z)=0, et d'où l'équivalence annoncée.

2. Même raisonnement : si z est réel, alors z=\overline{z}=\mathfrak{R}(z).
Réciproquement, si z=\overline{z}, alors \mathfrak{R}(z)+i\mathfrak{I}(z)=\mathfrak{R}(z)-i\mathfrak{I}(z), d'où \mathfrak{I}(z)=0 et z est réel.
D'où l'équivalence annoncée.

3. z\overline{z}=(\mathfrak{R}(z)+i\mathfrak{I}(z))(\mathfrak{R}(z)-i\mathfrak{I}(z))=\mathfrak{R}(z)^2 - i^2\mathfrak{I}(z)^2 = \mathfrak{R}(z)^2 + \mathfrak{I}(z)^2 = |z|^2.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 08 - Affixe du centre d'une similitude plane directe

Le centre d'une telle similitude est l'unique point invariant de cette transformation, autrement dit l'affixe z de ce centre vérifie : z=az+b.

D'où l'affixe du centre d'une telle similitude est (a\neq 1) : \fbox{\displaystyle z=\frac{b}{1-a}}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 09 - Expression complexe d'une rotation

Avec les notations de l'énoncé, la rotation est telle que : \left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right..

Or : \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l} (\overrightarrow{\Omega M};\overrightarrow{\Omega M'})=\alpha\,[2\pi]\\ \Omega M=\Omega M'\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l} \arg\left(\displaystyle\frac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\alpha\,[2\pi]\\ |z-\omega|=|z'-\omega|\end{array}\right..

Autrement dit : \displaystyle\frac{z'-\omega}{z-\omega} est le nombre complexe de module 1 et d'argument \alpha2\pi près), soit \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\alpha}.

D'où finalement : \fbox{\displaystyle z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)}.




exercice Démonstration - Nombres complexes - 10 - Expression complexe d'une rotation

Soient A, B, A', B' quatre points du plan complexe d'affixes respectives a,b,a',b'.
Par hypothèse, on a a\neq b et a'\neq b'.

Il s'agit de résoudre le système suivant : \displaystyle\left\lbrace\begin{array}{l}a'=xa+y\\b'=xb+y\end{array}\right..

\displaystyle \left\lbrace\begin{array}{l}a'=xa+y\\b'=xb+y\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}a'-b'=x(a-b)\\y=b'-xb\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}{l}\displaystyle x=\frac{a'-b'}{a-b}\quad\quad a-b\neq0\\y=b'-xb\end{array}\right.

Le système admet donc un unique couple (x;y) solution, d'où (comme x est non nul...) l'existence d'une unique similitude directe qui transforme A en A' et B en B'.




exercice Démonstration - Arithmétique - 01 - Théorèmes de Gauss et de Bezout

1. Théorème de Bezout. Soient a et b deux entiers non nuls.
Il existe deux entiers u et v tels que au + bv = pgcd(a;b).

Théorème de Gauss. Soient a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

2. Soient a, b et c trois entiers non nuls.
On suppose que a divise le produit bc et que a est premier avec b.
Alors d'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
En multipliant les deux membres de l'égalité ci-dessus par c, on obtient : auc + bvc = c (1).
Or, a divise le produit bc, donc il existe un entier k tel que bc = ak, d'où en réinjectant dans l'égalité (1), on obtient : auc + akv = c, soit encore a(uc + kv) = c.

D'où a divise c, et d'où le théorème de Gauss.




exercice Démonstration - Arithmétique - 02 - Congruences

a) Soient a, b, c et d des entiers relatifs.
Supposons que a\equiv b\,\text{mod}\,7 et c\equiv d\,\text{mod}\,7.
On écrit alors a = b + 7k et c = d + 7k' (avec k, k' entiers relatifs).
Ainsi, ac = (b + 7k)(d + 7k') = bd + 7kd + 7bk' + 49kk' = bd + 7(kd+bk'+7kk') = bd + 7KK est encore un entier relatif.
D'où finalement \fbox{\displaystyle ac \equiv bd\,\text{mod}\,7}.

b) Si a\equiv b\,\text{mod}\,7, par récurrence sur n\in\mathbb{N} :
Initialisation : pour n=0, on a bien 1 \equiv 1\,\text{mod}\,7.
Hérédité : Soit n\in\mathbb{N} On suppose que a^n\equiv b^n\,\text{mod}\,7. Alors comme par hypothèse a\equiv b\,\text{mod}\,7, on a d'après le résultat de la question a) : a^n\times a\equiv b^n\times b\,\text{mod}\,7, soit a^{n+1}\equiv b^{n+1}\,\text{mod}\,7.
D'où l'itération et d'où finalement le résultat.




exercice Démonstration - Arithmétique - 03 - Congruences et opérations

Si a, b, c, d et n sont des entiers tels que a\equiv b\,[n] et c\equiv d\,[n], on a :
a+c \equiv b+d\,[n] ;
ac \equiv bd\,[n] ;
pour tout k\in\mathbb{N}, a^k\equiv b^k\,[n].

Démonstration du résultat pour la multiplication : On écrit a = b + nk et c = d + nk' (avec k, k' entiers relatifs).
Ainsi, ac = (b + nk)(d + nk') = bd + nkd + nbk' + n²kk' = bd + n(kd+bk'+nkk') = bd + nKK est encore un entier relatif.
D'où finalement \fbox{\displaystyle ac \equiv bd\,\text{mod}\,n}.




exercice Démonstration - Probabilités - 01 - Événements indépendants

Soient A et B deux événements indépendants.
On a donc P(A\cap B)=P(A)\times P(B).
Or, d'après la formule des probabilités totales, on a : P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B}), d'où : P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\times(1-P(B))=P(A)\times P(\overline{B}).

Ainsi, les événements A et \overline{B} sont indépendants.




exercice Démonstration - Probabilités - 02 - Loi exponentielle

a) Soit t\ge 0. On a :
\displaystyle R(t)=P(X>t)=1-P(X\le t)\\ R(t) = 1-\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}{\rm d}x\\ R(t) = 1+\left[e^{-\lambda x}\right]_0^t\\ R(t) = 1+e^{-\lambda t}-1\\ \fbox{\displaystyle R(t)=e^{-\lambda t}}.

b) On fixe s\ge 0. On a :
\begin{array}{r@{=}l}\displaystyle P_{X>t}(X>t+s) &\displaystyle\frac{P\left((X>t)\cap(X>t+s)\right)}{P(X>t)}\\ &\displaystyle \frac{P(X>t+s)}{P(X>t)} \quad\quad {\rm car\,si\,x>t+s\,\text{ alors à fortiori} \,x>t}\\ &\displaystyle \frac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}} \quad\quad {\rm d'après\,la\,question\,précédente}\\ &\displaystyle e^{-\lambda s}\end{array}

Autrement dit : P_{X>t}(X>t+s)=e^{-\lambda s} qui ne dépend pas de t.
Finalement, la variable X subit une loi de durée de vie sans vieillissement.
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