Fiche de mathématiques
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Les suites

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Prérequis :
Tu auras besoin, dans ce chapitre, d'avoir bien compris le fonctionnement des suites (définie par récurrence ou explicitement), de savoir utiliser les suites arithmétiques et géométriques.


Enjeu :
En complétant les notions vues en 1reS, on va fournir des résultats sur le comportement en +\infty des suites. Ces résultats seront une première étape dans l'étude des limites de fonctions. Il est donc très important d'avoir bien compris ce chapitre. On verra également un nouveau type de raisonnement (par récurrence) qui permettra de démontrer des résultats que les raisonnements classiques ne permettent pas toujours d'obtenir.


Revoir les bases du cours sur les suites de 1ère

1 Limite d'une suite

Lorsqu'on calcule les différents termes d'une suite, on a parfois l'impression que les valeurs semblent tendre vers une valeur particulière, parfois non. Le but de cette partie est de fournir une base théorique à cette notion de valeur limite.
Définition :
On dit qu'une suite \left(u_n\right) tend vers un nombre réel  \ell lorsque n tend vers +\infty si tout intervalle ouvert contenant \ell contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné.
On dit alors que la suite \left(u_n\right) converge vers \ell et on note \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =\ell.



Cours sur les suites en Terminale S : image 1
Cela signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont aussi proches de \ell qu'on le souhaite.

Exemples :
La suite \left(u_n\right) définie par u_n=\dfrac{1}{n} converge vers 0.
La suite \left(u_n\right) définie par u_n=0,8^n converge vers 0. (On verra une propriété justifiant ce résultat un peu plus loin).


Remarque : Si une suite ne converge pas on dit qu'elle diverge.
Il existe deux façons de diverger : les termes de la suite se rapprochent d'un infini ou la suite n'a vraiment pas de limite (exemple d'une suite alternée (u_n) avec u_n=(-1)^n).
Définition :

1. On dit qu'une suite \left(u_n\right) tend vers +\infty si tout intervalle de la forme [A;+\infty[, où A réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné. On note alors \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty.
2. On dit qu'une suite \left(u_n\right) tend vers -\infty si tout intervalle de la forme ]-\infty;B], où B réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un rang donné. On note alors \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=-\infty.




Exemples :
Si u_n=n alors \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.

Si u_n=-\sqrt{n} alors \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty.
Remarque : Ce chapitre se prête très bien à des questions utilisant les algorithmes. Il est important d'avoir bien compris la notion de boucle Pour et de boucle Tant que.

2 Opérations sur les limites

On s'est rapidement posé la question de savoir s'il était possible d'ajouter, soustraire, multiplier ou diviser des limites entre-elles. C'est très souvent possible mais il reste des cas où le résultat dépendra des suites utilisées. On appellera cela des formes indéterminées (FI) : il est impossible de dire à l'avance quelle sera la limite ; il faudra fonctionner au cas par cas en cherchant une autre écriture du terme général de la suite.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \cline{3-5}\multicolumn{2}{c|}{Somme}&\multicolumn{3}{|c|}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n$} \\  \cline{3-5}\multicolumn{2}{c|}{}& \rowcolor{blue!20}$L$ & $+\infty$ & $-\infty$\\ \hline  \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$v_n\quad$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'$ & $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$\\ \cline{2-5} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$v_n\quad$}}&\cellcolor{blue!20}$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & FI\\ \cline{2-5} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}$}}&\cellcolor{blue!20}$-\infty$ &$-\infty$& FI & $-\infty$ \\ \hline \end{tabular}
Exemple : \left. \begin{array}{c} \lim\limits_{n\to +\infty} n^2 =+\infty \\ \lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty\end{array}\right]\lim\limits_{n \to +\infty} n^2+n=+\infty
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{Produit}&\multicolumn{4}{|c|}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n$} \\  \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{}& \rowcolor{blue!20}$L\neq 0$ &$0$& $+\infty$ & $-\infty$\\ \hline \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$v_n \quad$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'\neq 0$ & $L\times L'$ &0& $\pm\infty$ & $\pm\infty$\\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$v_n\quad$}}&\cellcolor{blue!20}$0$&$0$&$0$&  FI & FI \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}$}}&\cellcolor{blue!20}$+\infty$ &$\pm\infty$& FI & $+\infty$&$-\infty$ \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$v_n \quad$}}}&\cellcolor{blue!20}$-\infty$ &$\pm\infty$& FI & $-\infty$&$+\infty$ \\ \hline  \end{tabular}
Pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.
Exemple :  \left. \begin{array}{c}\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0\\ \lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1\end{array} \right] \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}\times\left(1+\dfrac{1}{n}\right) =0
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{Quotient}&\multicolumn{4}{|c|}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n$} \\  \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{\dfrac{u_n}{v_n}}& \rowcolor{blue!20}$L\neq 0$ &0& $+\infty$ & $-\infty$\\ \hline  \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$v_n\quad$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'\neq 0$ & $\dfrac{L}{L'}$ &0& $\pm\infty$ & $\pm\infty$\\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$v_n\quad$}}&\cellcolor{blue!20}$0$&$\pm \infty$&  FI & $\pm\infty$&$\pm \infty$ \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}$}}&\cellcolor{blue!20}$\pm\infty$ &$0$&$0$ & FI&FI$ \\ \hline \end{tabular}
Ici aussi, pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.
Exemple :  \left. \begin{array}{c}\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1\\ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0^+\end{array} \right] \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}} =+\infty

Regardons quelques cas où on rencontre une forme indéterminée.
On veut calculer \lim\limits_{n \to +\infty} n^2 -n

\lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty et \lim\limits_{n \to +\infty} -n = -\infty. Quand on ajoute ces deux limites on obtient une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, on cherche une autre écriture du terme général, on peut factoriser par n^2.
Ainsi n^2-n=n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right).
Or \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 1-\dfrac{1}{n} = 1. Or on a toujours \lim\limits_{n \to +\infty} n^2 = +\infty.
Ainsi par produit des deux limites, \lim\limits_{n \to +\infty} n^2-n = +\infty

On veut calculer  \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{n^2+5n}.

Si on détermine la limite du numérateur et du dénominateur on va se retrouver avec une forme indéterminée du type " \dfrac{+\infty}{+\infty}".
Ici encore, on va factoriser notre expression :
\dfrac{n+1}{n^2+5n}=\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{5}{n}\right)} = \dfrac{1}{n}\times \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{5}{n}}

Or \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0

\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n} = 1 et \lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{5}{n} = 1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{5}{n}} = 1

Par produit on obtient donc que  \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{n^2+5n} = 0

3 Théorèmes de comparaison

Voici deux théorèmes qui fournissent des résultats sur des limites de suites à partir d'encadrements. Ils permettent de déterminer la limite d'une suite sans l'étudier directement mais en la comparant à d'autres dont les limites sont connues.
Théorème de comparaison

On considère deux suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) telles qu'à partir d'un certain rang on ait u_n\leqslant v_n.

1. Si \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty alors \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty.

2. Si \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty.


Démonstration :
On ne va montrer que le premier point, le second fonctionnant de la même façon.
On appelle n_1 le rang à partir du quel on a u_n\leqslant v_n.
Soit A un réel. Puisque \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty, il existe un rang n_2 tel que, pour tout entier naturel n\geqslant n_2, u_n\in[A;+\infty[.
On appelle n_0 le maximum de n_1 et n_2.
Ainsi pour tout entier naturel n\geqslant n_0 on a v_n \geqslant u_n \geqslant A.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty.

Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel par u_n=n-3\cos(n)
Pour tout entier naturel n, on a  -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1.
Par conséquent 3 \geqslant -3\cos(n) \geqslant -3
Et finalement  n+3 \geqslant u_n \geqslant n-3.
Or \lim\limits_{n \to +\infty} n-3=+\infty donc d'après le théorème de comparaison on a \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.
Théorème des gendarmes
On considère trois suites \left(u_n\right), \left(v_n\right) et \left(w_n\right) et un nombre réel \ell. On suppose qu'il existe un rang à partir duquel  v_n \leqslant u_n \leqslant w_n et que \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell.
Alors \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell.


Démonstration :
Soit I un intervalle ouvert contenant \ell.
On appelle n_1 le rang à partir duquel  v_n \leqslant u_n \leqslant w_n
La suite \left(v_n\right) converge vers \ell. On appelle n_2 le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à I.
La suite \left(w_n\right) converge vers \ell. On appelle n_3 le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à I.
On appelle n_0 le plus grand des trois entiers n_1, n_2 et n_3.
Par conséquent, pour tout entier naturel n \geqslant n_0, l'intervalle I contient tous les termes v_n et w_n. De plus on a  v_n \leqslant u_n \leqslant w_n.
Par conséquent u_n \in I.
Donc \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell.

Cours sur les suites en Terminale S : image 2
Les termes de la suite \left(u_n\right) compris entre ceux des deux suites \left(v_n\right) et \left(w_n\right) tendent vers la même limite.
Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel  n\geqslant 1 par u_n = 1+\dfrac{\sin(n)}{n}.
Du fait que  -1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 pour tout entier naturel on a donc  1-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 1+\dfrac{1}{n}.

Or  \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0 par conséquent  \lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1 et  \lim\limits_{n \to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1
D'après le théorème des gendarmes on a donc  \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1.

4 Suites monotones

Les suites monotones forment une famille particulière de l'ensemble des suites. Il s'agit des suites qui sont soit croissantes, soit décroissantes.
Cette particularité leur confère des résultats particuliers.
Propriété :

1. Si une suite \left(u_n\right) croissante converge vers un réel \ell alors pour tout entier naturel n on a  u_n \leqslant \ell.

2. Si une suite \left(u_n\right) décroissante converge vers un réel \ell alors pour tout entier naturel n on a  u_n \geqslant \ell.

Démonstration :
On démontre le premier point par l'absurde ; le deuxième fonctionnant de la même façon.
On suppose qu'il existe un rang n_0 tel que u_{n_0} \geqslant \ell .
La suite \left(u_n\right) est croissante, par conséquent pour tout entier naturel n \geqslant n_0 on a u_n \geqslant \ell.
L'intervalle \left]\ell-1;u_{n_0}\right[ contient \ell mais aucun des termes u_n à partir du rang  n_0.
Cela contredit le fait que la suite converge vers \ell.
L'hypothèse faite est donc fausse et, pour tout entier naturel n on a u_n\leqslant \ell.

Voici maintenant un théorème très utile dans les exercices qui fournit la convergence de suites monotones dans certains cas particuliers.
Théorème :

Une suite croissante majorée est convergente.

Une suite décroissante minorée est convergente.


Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel n par u_n = 2+\dfrac{1}{n+1}.
On a u_{n+1}-u_n = 2+\dfrac{1}{n+2}-\left(2+\dfrac{1}{n+1}\right) = \dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1} < 0 puisque n+2>n+1.
La suite \left(u_n\right) est donc décroissante. Il est clair que, pour tout entier naturel n on a u_n>2.
La suite est donc décroissante et minorée : elle converge.

Remarque : Le minorant trouvé n'est pas nécessairement la limite de la suite.

Propriété :
Une suite croissante non majorée a pour limite +\infty.


Démonstration :
On considère un réel  A et une suite \left(u_n\right) croissante non majorée.
Il existe donc un rang n_0 tel que u_{n_0}>A.
La suite étant croissante on a donc, pour tout entier naturel n>n_0, u_n \geqslant u_{n_0} >A.
Tous les termes de la suite appartiennent donc à l'intervalle [A;+\infty[ à partir du rang n_0.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty.
Remarque : Il existe un résultat analogue pour des suites décroissantes non minorées.

5 Raisonnement par récurrence

Il s'agit contrairement aux autres types de démonstrations vus jusqu'à présent de démontrer un résultat de proche en proche sur le principe de "c'est vrai une fois et on peut le répéter".
Il faut être très rigoureux quand on mêne ce type de raisonnement et bien respecter trois étapes.
L'initialisation : On montre que la propriété à démontrer est vraie une fois (généralement pour n=0 ou n=1.
L'hérédité : On montre que si la propriété est vraie à un rang donné p elle est encore vraie au rang suivant p+1.
La conclusion : Puisque la propriété a été initialisée et est héréditaire alors elle est vraie à partir du rang de l'initialisation.
Voici un exemple de raisonnement par récurrence.

On considère la suite \left(u_n\right) définie par \begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}. Montrons que pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 3.
Initialisation : Prenons n=0.  u_0=0 \leqslant 3.
La propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p : u_p \leqslant 3
Alors :
\begin{array}{rl} u_{p+1} &= \dfrac{1}{3}u_p+2 \\ &\leqslant \dfrac{1}{3} \times 3 + 2 \\ &\leqslant 1+2 \\ &\leqslant 3 \end{array}
La propriété est donc vraie au rang p+1.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel n on a : u_n \leqslant 3.

6 Les suites géométriques et arithmétiques

Tu as étudié l'année dernière les suites géométriques et arithmétiques. Nous allons, cette année, compléter tes connaissances en s'intéressant aux limites de ce type de suites.

En ce qui concerne les suites arithmétiques, dans la mesure où on ajoute, à chaque étape, le même nombre (la raison) pour obtenir le nouveau terme de la suite, sauf si la raison est nulle, la limite sera donc infinie.
Propriété :

On considère une suite arithmétique \left(u_n\right) de raison r et de premier terme u_0.

Si r>0 alors \lim\limits_{n \to +\infty}\left(u_n\right) = +\infty

Si r<0 alors \lim\limits_{n \to +\infty}\left(u_n\right) = -\infty

Si r=0 alors \lim\limits_{n \to +\infty}\left(u_n\right) = u_0 (la suite est constante)


Avant de fournir un résultat concernant les limites des suites géométriques, voyons un résultat intermédiaire utile.
Propriété :
Soit a un réel strictement positif. Alors pour tout entier naturel n on a :
(1+a)^n \geqslant 1+na


Démonstration :
Nous allons utiliser un raisonnement par récurrence.
Initialisation : Prenons n=0. Alors (1+a)^0=1. et 1+0\times a = 1. Par conséquent, on a bien (1+a)^0\geqslant 1+0\times a
La propriété est donc vraie au rang 0.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p : (1+a)^p \geqslant 1+pa
Alors :
\begin{array}{rl} (1+a)^{p+1}&=(1+a)\times (1+a)^p \\ &\geqslant (1+a) \times (1+pa) \\ &\geqslant 1+pa+a+pa^2 \\ &\geqslant 1+(p+1)a+pa^2 \\ &\geqslant 1+(p+1)a \text{ car pa^2 \geqslant 0} \end{array}
La propriété est donc vraie au rang p+1.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel n, on a : (1+a)^n \geqslant 1+na.

Ce résultat est utile pour démontrer le dernier point de cette propriété :
Propriété :

On considère une suite géométrique \left(u_n\right) de premier terme u_0 et de raison q.

Si q\leqslant-1 alors la suite \left(u_n\right) n'a pas de limite.
Si -1<q<1 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0.
Si q=1 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =u_0.
Si q>1 alors  \begin{cases}\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty \qquad \text{si } u_0>0\\\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =-\infty \qquad \text{si } u_0<0\end{cases}.

Démonstration :
On ne montrera que le dernier point.
Puisque  q>1 cela signifie qu'il existe un réel stictement positif a tel que q=1+a.
La suite \left(u_n\right) est géométrique. Par conséquent, pour tout entier naturel n on a : u_n=u_0q^n = u_0(1+a)^n
D'après la propriété précédente, on a (1+a)^n \geqslant 1+na
Or \lim\limits_{n \to +\infty} 1+na = +\infty.
D'après le théorème de comparaison, \lim\limits_{n \to +\infty} (1+a)^n = +\infty
\bullet Si u_0>0 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty
\bullet Si u_0<0 alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =-\infty

Exemple : On considère la suite \left(u_n\right) définie par u_n=5\times 0,2^n.
La suite \left(u_n\right) est donc géométrique de raison 0,2.
Or -1<0,2<1. Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0.
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