Fiche de mathématiques
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Limites de fonctions

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Fiche relue en 2015
Prérequis :
On va reprendre, dans ce chapitre, des notions très proches de celles vues sur les suites. Il faudra donc être au point sur les limites de suites. Il faudra également savoir manipuler correctement les expressions littérales.


Enjeu :
Le but de ce chapitre est, entre autre, d'être en mesure de compléter les tableaux de variations vus en classe de première. Ce chapitre est très important pour les études de fonctions et fournit des éléments essentiels pour le reste de l'année. De nouvelles fonctions seront vues en cours d'année et des résultats viendront compléter ceux de ce chapitre.


1 Limite d'une fonction en plus l'infini ou en moins l'infini

Nous allons distinguer les cas où la limite est infinie et les cas où la limite est finie.
Contrairement aux suites où l'indice n ne pouvait tendre que vers +\infty, la variable d'une fonction, si son ensemble de définition le permet, peut tendre vers -\infty ou +\infty. Nous allons reprendre la définition vue pour la limite d'une suite et l'adapter au cadre des fonctions pour définir la limite d'une fonction en plus ou moins l'infini.
Définition :
On dit que f(x) tend vers +\infty en +\infty si tout intervalle de la forme ]A;+\infty[ (avec A réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty


Cela se traduit graphiquement par une courbe qui se trouve, pour x assez grand, au-dessus de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
Limites de fonctions - Cours sur les limites : image 5

Exemple : La fonction x\mapsto x^2 tend vers +\infty en +\infty.

Une définition similaire correspond au cas où la limite est  -\infty.
Définition :
On dit que f(x) tend vers -\infty en +\infty si tout intervalle de la forme ]-\infty;B[ (avec B réel) contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note alors \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty


Graphiquement cela se traduit par une courbe que se trouve, pour  x assez grand, en-dessous de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.

Exemple : La fonction  x\mapsto -2x+3 tend vers -\infty en +\infty.

Il existe un dernier cas : celui où la limite est finie.
Définition :
On dit que f(x) tend vers \ell \in \mathbb{R} si tout intervalle ouvert contenant \ell contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
On note alors \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell.
On dit alors que la droite d'équation y=\ell est asymptote à la courbe représentant la fonction f.


Limites de fonctions - Cours sur les limites : image 2

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction f est comprise dans une bande donnée contenant \ell à partir d'une certaine valeur de x.
Exemple : La fonction x\mapsto \dfrac{1}{x} tend vers 0 en +\infty et la doite d'équation y=0 est asymptote à la courbe représentant la fonction.

Remarque : Tout ce qui précède est valable pour x tendant vers +\infty. On peut évidemment fournir des définitions analogues pour x tendant vers -\infty. Pour cela il faut remplacer, dans les définitions précédentes, "x assez grand" par "x négatif et assez grand en valeur absolue".

2 Limite d'une fonction en un réel


Des fonctions peuvent être définies pour tous les réels à l'exception d'une valeur a et on souhaite analyser ce qui se passe quand x prend des valeurs proches de a. On va donc retrouver également ici des limites infinies et des limites finies.

Dans la suite, soit a réel et h réel strictement positif.
Définition :
Si une fonction  f est définie sur un intervalle ]a-h;a[ ou ]a;a+h[,
on dit que f(x) tend vers +\infty si tout intervalle de la forme ]A;+\infty[ (avec A réel) contient toutes les valeurs  f(x) pour x assez proche de a.
On note alors \lim\limits_{x \to a} f(x)=+\infty.
on dit que f(x) tend vers -\infty si tout intervalle de la forme ]-\infty;B[ (avec B réel) contient toutes les valeurs  f(x) pour x assez proche de a.
On note alors \lim\limits_{x \to a} f(x)=-\infty.
Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe représentant la fonction f.


Limites de fonctions - Cours sur les limites : image 3


Remarque : Puisque la fonction f peut avoir une limite différente à gauche et à droite de a on a va écrire :
\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x>a}}f(x) ou \lim\limits_{x \to a^+}f(x) pour parler de la limite à droite
\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x<a}}f(x) ou \lim\limits_{x \to a^-}f(x) pour parler de la limite à gauche

Exemple : On considère la fonction f définie sur ]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x-2}. On a alors \lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}f(x)=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x<2}}f(x)=-\infty.

(On verra à la partie 4. comment justifier le signe de ces infinis).
La droite d'équation x=2 est asymptote à la courbe représentant f.

Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...
Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.

Remarque : Ces limites peuvent être finies. C'est notamment le cas lorsque la fonction est continue en a (voir le chapitre sur la continuité à ce sujet), c'est-à-dire qu'au voisinage de a sa représentation graphique peut être tracée sans avoir à lever le crayon.
Si f est définie en a alors, \lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a).

Exemple :
si f est une fonction polynomiale alors \lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a). C'est en particulier le cas quand f(x)=x^nn\in \N
\lim\limits_{x \to 1}2x^2+5x-3=2\times 1^2+5\times 1-3=4 .
\lim\limits_{x \to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} pour a \geqslant 0.

Remarque : Si la courbe représentant une fonction f possède une asymptote "horizontale" (respectivement "verticale") cela signifie que pour de grandes valeurs de x (éventuellement en valeur absolue et  x<0) ou au voisinage d'un réel donné, la courbe et la droite asymptote sont très proches l'une de l'autre.

3 Limites usuelles

Quelques limites importantes sont à connaître.
Soit n un entier naturel non nul, \lim\limits_{x\to-\infty} x^n= \begin{cases}+\infty \text{ si } n \text{ est pair} \\-\infty \text{ si } n \text{ est impair}\end{cases} et \lim\limits_{x\to+\infty} x^n= +\infty

En particulier \lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty et \lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty

 \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0

 \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0

 \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

 \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

 \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty



4 Opérations sur les limites

On a vu dans les parties précédentes la définition des limites en un point ou en plus ou moins l'infini d'une fonction. Cependant, dans la pratique, les fonctions dont il faudra calculer la limite seront souvent écrites sous la forme d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions.
On va donc fournir des résultats concernant ces opérations.

On va considérer deux fonctions f et g, deux réels L et L' ainsi qu'un réel a qui éventuellement pourra être remplacé par + \infty ou - \infty.
Dans certains cas, il est impossible de prédire le résultat de l'opération. On dit qu'on obtient une forme indéterminée (FI). Il faut alors étudier au cas par cas ces limites en cherchant à transformer l'écriture de la fonction.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \cline{3-5}\multicolumn{2}{c|}{Somme}&\multicolumn{3}{|c|}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$} \\  \cline{3-5}\multicolumn{2}{c|}{}& \rowcolor{blue!20}$L$ & $+\infty$ & $-\infty$\\ \hline  \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$g(x)$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'$ & $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$\\ \cline{2-5} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$g(x)$}}&\cellcolor{blue!20}$+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & FI\\ \cline{2-5} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}$}}&\cellcolor{blue!20}$-\infty$ &$-\infty$& FI & $-\infty$ \\ \hline \end{tabular}
Exemple : \left. \begin{array}{c} \lim\limits_{x\to +\infty} x^2 =+\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty\end{array}\right]\lim\limits_{x \to +\infty} x^2+x=+\infty
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{Produit}&\multicolumn{4}{|c|}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$} \\  \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{}& \rowcolor{blue!20}$L\neq 0$ &$0$& $+\infty$ & $-\infty$\\ \hline \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$g(x)$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'\neq 0$ & $L\times L'$ &0& $\pm\infty$ & $\pm\infty$\\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$g(x)$}}&\cellcolor{blue!20}$0$&$0$&$0$&  FI & FI \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}$}}&\cellcolor{blue!20}$+\infty$ &$\pm\infty$& FI & $+\infty$&$-\infty$ \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$g(x)$}}}&\cellcolor{blue!20}$-\infty$ &$\pm\infty$& FI & $-\infty$&$+\infty$ \\ \hline  \end{tabular}
Pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.
Exemple :  \left. \begin{array}{c}\lim\limits_{x \to 0^+} -2+x=-2\\ \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty\end{array} \right] \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} \times (-2+x)=-\infty
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{Quotient}&\multicolumn{4}{|c|}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$} \\  \cline{3-6}\multicolumn{2}{c|}{$\dfrac{f(x)}{g(x)}$}& \rowcolor{blue!20}$L\neq 0$ &0& $+\infty$ & $-\infty$\\  \hline  \multirow{}{}{\phantom{\rotatebox{90}{$g(x)$}}}&\cellcolor{blue!20}$L'\neq 0$ & $\dfrac{L}{L'}$ &0& $\pm\infty$ & $\pm\infty$\\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$g(x)$}}&\cellcolor{blue!20}$0$&$\pm \infty$&  FI & $\pm\infty$&$\pm \infty$ \\ \cline{2-6} \multirow{}{}{\rotatebox{90}{$\lim\limits_{x \rightarrow a}$}}&\cellcolor{blue!20}$\pm\infty$ &$0$&$0$ & FI&FI$ \\ \hline \end{tabular}
Ici aussi, pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.
Exemple :  \left. \begin{array}{c} \lim\limits_{x \to 1^+}x+2=3 \\ \lim\limits_{x \to 1^+} 1-x = 0^- \end{array} \right] \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{x+2}{1-x} = -\infty

Remarque : Si le dénominateur d'une fonction tend vers 0, il faut préciser si cette limite conserve des valeurs négatives (on écrit 0^-) ou positives (on écrit 0^+).
Il est utile d'utiliser un tableau de signes pour ne pas se tromper. Dans le cas de l'exemple, on a :
\begin{tabular}{|C|CCCCC|}\hline x& -\infty&&1 &&+\infty &  \hline  {1-x} &&+ &0&-& \\ \hline\end{tabular}

5 Limite d'une fonction composée

Certaines fonctions ne peuvent pas s'écrire comme somme, produit ou quotient de fonctions. C'est le cas par exemple de la fonction f définie sur R par f(x)=\sqrt{x^2+5}.
En effet on calcule d'abord x^2+5 puis on lui applique la fonction racine carrée.
C'est ce qu'on appelle une composition de fonction.
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que f(x) appartienne à J pour tout réel x de I. On définit ainsi la fonction h, composée de f suivie de g, définie sur I par h(x)=g\left(f(x)\right) et on note h=g\circ f


Remarque : Attention à l'ordre dans lequel on écrit les fonctions. Dans la définition f est utilisée en premier et c'est la fonction située le plus à droite dans l'écriture h=g \circ f.
Voyons un autre exemple : On considère la fonction h définie sur \R par h(x)=\left(\dfrac{x+1}{x^2+1}\right)^4.
Si on appelle f la fonction définie sur \R par f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1} et g la fonction définie sur \R par g(x)=x^4 alors h(x)=g\circ f(x).
Voyons maintenant une propriété sur les limites des fonctions composées.
Propriété :
On considère la fonction composée h définie sur un intervalle I par h=g\circ f et a un réel (ou +\infini ou -\infty).
S'il existe deux réels b et c tels que :
\lim\limits_{x \to a}f(x)=b et \lim\limits_{x \to b}g(x)=c alors \lim\limits_{x\to a}h(x)=c


Remarque : Attention la limite trouvée pour la fonction f est utilisée comme valeur en laquelle on calcule la limite de la fonction g.
Exemple : On veut calculer \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{1}{x}+2}
 \left.\begin{array}{c} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+2 = 2\\\\\lim\limits_{x \to 2}\sqrt{x} = \sqrt{2}\end{array}\right]\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{1}{x}+2}=\sqrt{2}.


6 Limites de polynômes et de fonctions rationnelles en plus l'infini ou en moins l'infini

Dans le cas de limites en plus ou moins l'infini, de polynômes ou de fonctions rationnelles on est souvent confronté à des limites du type ou qui conduisent à des formes indéterminées.
Jusqu'à présent, la seule façon de s'en sortir consistait à factoriser par une puissance appropriée de x.
Les théorèmes suivants nous permettent de traiter toutes les configurations. Il faut cependant faire attention à les appliquer convenablement.
Ils ne sont valables que pour des limites en plus ou moins l'infini et pour des polynômes ou des fonctions rationnelles. Dans tous les autres cas, il est interdit de les utiliser.
Propriété :
En plus ou moins l'infini, tout polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.


Exemple : \lim\limits_{x \to +\infty} 2x^3-5x^2+7x-1 = \lim\limits_{x \to +\infty}2x^3 = +\infty

Propriété :
En plus ou moins l'infini, toute fonction rationnelle a même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré (que l'on simplifie éventuellement).


Exemple : \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4x^2-2x+3}{x^3-3x^2+5x+4} = \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{4x^2}{x^3}=\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{x} = 0


7 Théorèmes de comparaisons

Tout comme pour les suites, il existe deux théorèmes de comparaisons pour les fonctions. Ils permettent de déterminer la limite d'une fonction à partir de soit un encadrement soit une majoration/minoration.
Théorème de comparaison :
On considère f et g deux fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+\infty[ sur lequel f(x)\geqslant g(x).
Si  \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty alors  \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty
Si  \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty alors  \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty


Cette propriété est égalemnt vraie en -\infty mais également pour toute limite en un point.

Remarque : Une fonction impose donc à l'autre sa limite infinie.
Théorème des gendarmes :
On considère f, g et h trois fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+\infty[ sur lequel g(x) \leqslant f(x)\leqslant h(x).
S'il existe un réel \ell tel que \lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}h(x)=\ell alors \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell.




Exemple : On considère la fonction f définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x}.
Limites de fonctions - Cours sur les limites : image 6
Or pour tout réel x, -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1.
Donc sur D_f\text{ , }-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}
Or on a \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 et \lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{1}{x}=0
D'après le théorème des gendarmes on obtient : \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0.

Remarque : Ici encore ce théorème n'est pas valable qu'en  +\infty: son résultat peut être étendu à -\infty et tous les réels.
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