Tout ce qu'il faut savoir sur les nombres complexes.
1. Calculer le module et l'argument d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
2. Donner l'écriture trigonométrique ou l'écriture exponentielle d'un nombre complexe :
3. Donner le conjugué d'un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :
4. Module et argument d'un produit
![zz'](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?zz')
et d'un quotient
![\dfrac{z}{z'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z}{z'})
:
5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :
6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
a) avec l'écriture algébrique :
b) avec l'argument :
c) avec le conjugué :
7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
a) avec l'écriture algébrique :
b) avec l'argument :
c) avec le conjugué :
8. Calculer une longueur avec des complexes : AB =
9. Calculer des angles avec des complexes :
10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :
11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :
12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :
13. Traduire que ABC est équilatéral :
14. Ecriture complexe des transformations :
a) translation :
b) rotation :
c) homothétie :
1. Calculer le module et l'argument d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
![z = a + ib](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z = a + ib)
(avec
![a](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?a)
et
![b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?b)
deux nombres réels)
et un argument de
![z](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z)
est donné par :
ou
2. Donner l'écriture trigonométrique ou l'écriture exponentielle d'un nombre complexe :
et
avec
3. Donner le conjugué d'un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :
et
4. Module et argument d'un produit zz' et d'un quotient
:
|zz'| = |z| × |z'| et
et
5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :
Soit l'équation
, avec a, b et c réels
si
![\Delta > 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta > 0)
, alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes :
![z_1 = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_1 = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a})
et
si
![\Delta = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta = 0)
, alors l'équation admet une solution :
si
![\Delta < 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Delta < 0)
, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
![z_1 = \dfrac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_1 = \dfrac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a})
et
6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
a) avec l'écriture algébrique : z = a (donc b = 0) [ou encore z =
![\rho \times \cos \theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\rho \times \cos \theta)
]
b) avec l'argument :
c) avec le conjugué :
7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
a) avec l'écriture algébrique :
![z = ib](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z = ib)
ou encore
b) avec l'argument :
c) avec le conjugué :
8. Calculer une longueur avec des complexes :
9. Calculer des angles avec des complexes :
10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :
Si l'argument du rapport vaut pi/2 (mod pi) (ou si le rapport appartient à i.
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
).
On montre que
11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :
Si l'argument du rapport vaut 0 (mod pi) (ou si le rapport appartient à
![\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R})
).
Donc si il existe un réel k tel que
![\overrightarrow{AB} = k \times \overrightarrow{BC}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{AB} = k \times \overrightarrow{BC})
, alors les vecteurs
![\overrightarrow{AB}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{AB})
et
![\overrightarrow{BC}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{BC})
sont colinéaires.
12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :
On montre que
![\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0)
et que
ou encore que
![\dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_B} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_B} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i)
dans le cas où ABC est un triangle rectangle direct en B.
13. Traduire que ABC est équilatéral :
On montre que
ou encore que
![\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}})
dans le cas où ABc est un triangle équilatéral direct.
14. Ecriture complexe des transformations :
a) translation de vecteur
![\overrightarrow{u}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{u})
non nul, d'affixe
![\gamma](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\gamma)
:
b) rotation de centre
![\Omega(\omega)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Omega(\omega))
et d'angle
![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
:
![z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega))
ou encore
c) homothétie de centre
![\Omega(\omega)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Omega(\omega))
et de rapport k (réel non nul) :
![z' - \omega = k(z - \omega)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z' - \omega = k(z - \omega))
ou encore
![z' = k(z - \omega) + \omega](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z' = k(z - \omega) + \omega)