Fiche de mathématiques
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Nombres Complexes

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Tout ce qu'il faut savoir sur les nombres complexes.

1. Calculer le module et l'argument d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique :

2. Donner l'écriture trigonométrique ou l'écriture exponentielle d'un nombre complexe :

3. Donner le conjugué d'un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :

4. Module et argument d'un produit zz' et d'un quotient \dfrac{z}{z'} :

5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :

6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
    a) avec l'écriture algébrique :
    b) avec l'argument :
    c) avec le conjugué :

7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
    a) avec l'écriture algébrique :
    b) avec l'argument :
    c) avec le conjugué :

8. Calculer une longueur avec des complexes : AB =

9. Calculer des angles avec des complexes : (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}) =

10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :

11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :

12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :

13. Traduire que ABC est équilatéral :

14. Ecriture complexe des transformations :
    a) translation :
    b) rotation :
    c) homothétie :



1. Calculer le module et l'argument d'un nombre complexe écrit sous forme algébrique :
z = a + ib (avec a et b deux nombres réels)
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
et un argument de z est donné par :
\cos \theta = \dfrac{a}{|z|} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}       ou       \sin \theta = \dfrac{b}{|z|} = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}


2. Donner l'écriture trigonométrique ou l'écriture exponentielle d'un nombre complexe :
z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)     et     z = \rho e^{i \theta} avec \rho = |z|


3. Donner le conjugué d'un nombre complexe : sous forme algébrique, sous forme exponentielle :
\bar{z} = a - ib     et     \bar{z} = \rho e^{-i\theta}


4. Module et argument d'un produit zz' et d'un quotient \dfrac{z}{z'} :
|zz'| = |z| × |z'|     et     \left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}

\arg{zz'} = \arg z + \arg z' (2\pi)     et     \arg \left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg z - \arg z' \, (2\pi)


5. Résoudre une équation du second degré avec a, b et c réels :
Soit l'équation az^2 + bz + c = 0, avec a, b et c réels
\Delta = b^2 - 4ac

si \Delta > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles distinctes : z_1 = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}
si \Delta = 0, alors l'équation admet une solution : z = \dfrac{- b}{2a}
si \Delta < 0, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : z_1 = \dfrac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{- b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}

6. Différentes caractérisations du fait que z est réel :
    a) avec l'écriture algébrique : z = a (donc b = 0) [ou encore z = \rho \times \cos \theta]
    b) avec l'argument : z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow (z = 0 \text{ ou } \arg(z) = 0 (\pi))
    c) avec le conjugué : z = \bar{z}

7. Différentes caractérisations du fait que z est imaginaire pur :
    a) avec l'écriture algébrique : z = ib ou encore z = i \rho \times \sin \theta
    b) avec l'argument : (z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow (z = 0 \text{ ou } \arg z = \dfrac{\pi}{2} (\pi))
    c) avec le conjugué : z = - \bar{z}

8. Calculer une longueur avec des complexes :
AB = |z_B - z_A| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

9. Calculer des angles avec des complexes :
(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}) = \arg \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} (2\pi)

10. Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires :
Si l'argument du rapport vaut pi/2 (mod pi) (ou si le rapport appartient à i.\mathbb{R}).
On montre que \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0

11. Montrer que trois points A, B et C sont alignés :
Si l'argument du rapport vaut 0 (mod pi) (ou si le rapport appartient à \mathbb{R}).
Donc si il existe un réel k tel que \overrightarrow{AB} = k \times \overrightarrow{BC}, alors les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.

12. Traduire que ABC est rectangle isocèle en B :
On montre que \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 et que ||\overrightarrow{BA}|| = ||\overrightarrow{BC}||
ou encore que \dfrac{z_A - z_B}{z_C - z_B} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i dans le cas où ABC est un triangle rectangle direct en B.

13. Traduire que ABC est équilatéral :
On montre que |z_B - z_A| =  |z_C - z_B| = |z_C - z_A|
ou encore que \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}} dans le cas où ABc est un triangle équilatéral direct.

14. Ecriture complexe des transformations :
    a) translation de vecteur \overrightarrow{u} non nul, d'affixe \gamma : z' = z + \gamma
    b) rotation de centre \Omega(\omega) et d'angle \theta : z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) ou encore z' = e^{i\theta}(z - \omega) + \omega
    c) homothétie de centre \Omega(\omega) et de rapport k (réel non nul) : z' - \omega = k(z - \omega) ou encore z' = k(z - \omega) + \omega
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