Fiche de mathématiques
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Expression du terme de rang n d'une suite récurrente

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exercice


On considère la suite récurrente (u_n) de premier terme u_0 = 0 et telle que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = u_n + 2n - 11.

1. En utilisant un tableur ou une calculatrice, calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui, laquelle ?
Appeler l'examinateur pour une vérification de la particularité trouvée.


2. n étant donné, on peut calculer la valeur de u_n si on connait la valeur de u_{n-1}.
On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel non nul n, la valeur de u_n sans pour autant connaître la valeur de u_{n-1}. Pour cela il faudrait disposer d'une formule donnant u_n en fonction de n.
    a) A l'aide des observations faites dans la première question, conjecturer une formule donnant, pour n'importe quelle valeur de l'entier naturel n, u_n en fonction de n.
Appeler l'examinateur pour une vérification de la formule trouvée.

    b) Démontrer cette formule.


Production demandée :
- Le nuage de points attendus dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage.
- La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.



1. Voici ce qu'on obtient avec un tableur (les résultats, les formules à saisir, et la courbe) :

épreuve pratique du bac S : expression du terme de rang n d'une suite récurrente - bac : image 1

épreuve pratique du bac S : expression du terme de rang n d'une suite récurrente - bac : image 2


Le nuage de points a une particularité : il semblerait que tous les points se situent sur une parabole.

2. a) Si les points se situent sur une parabole, alors on peut conjecturer que u_n est de la forme u_n = an^2 + bn + ca, b et c sont trois réels à déterminer.
Etant donné que u_0 = 0 et u_{12} = 0, alors u_n se factorise par n et n-12, donc se met sous la forme : u_n = an(n-12).
Pour déterminer la valeur de a, on peut par exemple utiliser la valeur de u_2 :
u_2 = -20 \\ \hspace{15pt} \Longleftrightarrow \: a \times 2 \times (2-12) = -20 \\ \hspace{15pt} \Longleftrightarrow a=1
Donc, on émet la conjecture que, pour tout entier naturel n : \boxed{u_n = n(n-12) = n^2 - 12n}
Une vérification sur le tableur permet de s'apercevoir que cette formule semble bien donner les mêmes résultats :
épreuve pratique du bac S : expression du terme de rang n d'une suite récurrente - bac : image 3


2. b) Démonstration par récurrence :
On appelle (Pn) la propriété : u_n = n^2 - 12n
Initialisation : d'après l'énoncé u_0 = 0, donc la proprité est vérifiée au rang 0, donc (P0) est vraie.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel n non nul et on démontre qu'elle est encore vraie au rang n+1.
On a donc :
u_n = n^2 - 12n
D'après l'énoncé : u_{n+1} = u_n + 2n - 11, donc :
u_{n+1} = u_n + 2n - 11 \\ \Rightarrow \: u_{n+1} = n^2 - 12n + 2n - 11 \\ \Rightarrow \: u_{n+1} = n^2 - 10n - 11
Or, la propriéte (Pn+1) s'écrit : u_{n+1} = (n+1)^2 - 12(n+1) = n^2 - 10n - 11
On vient donc de démontrer que si (Pn) est vraie, alors (Pn+1) est vraie, donc la propriété est héréditaire.
Conclusion : La propriété (Pn) est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel non nul n.
La conjecture est donc démontrée, donc pour tout entier naturel non nul n, on a : \boxed{u_n = n^2 - 12n}
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