Fiche de mathématiques
> >

Méthode sur les équations différentielles

Partager :

Fiche relue en 2016.
Résolution avec second membre


Position du problème

L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre ( par exemple y' + 2y = e^{x} + 3 ) et pose des questions destinées à la résoudre.
Ces questions sont pratiquement toujours les mêmes, mais n'ont pas forcément le même ordre que celui donné dans le principe suivant.


Principe

Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :
a) Résoudre l'équation sans second membre(E') [le second membre est nul].
b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E).
c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f - g) est solution de (E').
d) En déduire les solutions de (E).




Exercice concret

Résolution de y'+ 2y = e^{x} + 3 (E)
a) Résoudre y' + 2y = 0 (E')
b) Déterminer a et b de façon à ce que g définie sur \mathbb{R} par g(x) = ae^{x} + b soit solution de (E)
c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E')
d) En déduire les solution \mathscr{S} de (E)



a) On applique la propriété du cours, on trouve que les solutions de (E') sont les fonctions f_{k}(x)=ke^{-2x}

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes.
g est dérivable sur \mathbb{R} et g'(x) = ae^{x}
On en déduit que f'(x) + 2f(x) = ae^{x} + 2(ae^{x} + b) = 3ae^{x} + 2b
f sera donc solution de (E) si 3ae^{x}+2b=e^{x}+3 c'est-à-dire si a et b vérifient :
\left \lbrace \begin{array}{l @{ = } l}  3a & 1 \\  2b & 3 \\  \end{array}
c'est-à-dire pour a = \dfrac{1}{3} et b = \dfrac{3}{2}
On a donc : g(x)=\dfrac{1}{3}e^{x}+\dfrac{3}{2}

c) f - g est solution de (E')
\Longleftrightarrow \, \left(f(x) - g(x)\right)' + 2\left(f(x) - g(x)\right) = 0\\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) - g'(x) - 2g(x) = 0\\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) = g'(x) + 2g(x) \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) = e^{x} + 3

(On a g'(x) + 2g(x) = e^{x} + 3 car g est solution de l'équation avec second membre)
\Longleftrightarrow f solution de (E)

d) f solution de (E)
\Longleftrightarrow \, (f-g) solution de (E')
\Longleftrightarrow \, f - g = f_{k} d'après a)
\Longleftrightarrow \, f est définie par f(x) = f_{k}(x) + g(x) = ke^{-2x} + \dfrac{1}{3} e^{x} + \dfrac{3}{2}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1336 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !