Méthode sur les équations différentielles
Fiche relue en 2016.
Résolution avec second membre
Position du problème
L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre ( par exemple

) et pose des questions destinées à la résoudre.
Ces questions sont pratiquement toujours les mêmes, mais n'ont pas forcément le même ordre que celui donné dans le principe suivant.
Principe
Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :
a) Résoudre l'équation sans second membre(E')
[le second membre est nul].
b) Montrer qu'une fonction

est solution de (E).
c) Montrer que

est solution de (E) si et seulement si
)
est solution de (E').
d) En déduire les solutions de (E).
Exercice concret
Résolution de

(E)
a) Résoudre

(E')
b) Déterminer a et b de façon à ce que

définie sur

par
 = ae^{x} + b)
soit solution de (E)
c) Montrer que

est solution de (E) si et seulement si
)
est solution de (E')
d) En déduire les solution

de (E)
a) On applique la propriété du cours, on trouve que les solutions de (E') sont les fonctions
b) Le principe de ce genre de question est de remplacer

par

et d'identifier alors les constantes.

est dérivable sur

et
On en déduit que

sera donc solution de (E) si

c'est-à-dire si a et b vérifient :
c'est-à-dire pour

et
On a donc :
c) 
est solution de (E')
(On a
 + 2g(x) = e^{x} + 3)
car

est solution de l'équation avec second membre)

solution de (E)
d) 
solution de (E)
)
solution de (E')

d'après
a)

est définie par
 = f_{k}(x) + g(x) = ke^{-2x} + \dfrac{1}{3} e^{x} + \dfrac{3}{2})