L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre ( par exemple ) et pose des questions destinées à la résoudre.
Ces questions sont pratiquement toujours les mêmes, mais n'ont pas forcément le même ordre que celui donné dans le principe suivant.
Principe
Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :
a) Résoudre l'équation sans second membre(E') [le second membre est nul].
b) Montrer qu'une fonction est solution de (E).
c) Montrer que est solution de (E) si et seulement si est solution de (E').
d) En déduire les solutions de (E).
Exercice concret
Résolution de (E)
a) Résoudre (E')
b) Déterminer a et b de façon à ce que définie sur par soit solution de (E)
c) Montrer que est solution de (E) si et seulement si est solution de (E')
d) En déduire les solution de (E)
a) On applique la propriété du cours, on trouve que les solutions de (E') sont les fonctions
b) Le principe de ce genre de question est de remplacer par et d'identifier alors les constantes.
est dérivable sur et On en déduit que sera donc solution de (E) si c'est-à-dire si a et b vérifient :
c'est-à-dire pour et On a donc :
c) est solution de (E')
(On a car est solution de l'équation avec second membre)
solution de (E)
d) solution de (E)
solution de (E')
d'après a) est définie par
Publié par Tom_Pascal
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) et pose des questions destinées à la résoudre.
(E)
(E')
définie sur 
par  = ae^{x} + b)
soit solution de (E)
est solution de (E) si et seulement si )
est solution de (E')
de (E)
=ke^{-2x})
par  = ae^{x})
 + 2f(x) = ae^{x} + 2(ae^{x} + b) = 3ae^{x} + 2b)
c'est-à-dire si a et b vérifient :
et 
=\dfrac{1}{3}e^{x}+\dfrac{3}{2})
est solution de (E')
 - g(x)\right)' + 2\left(f(x) - g(x)\right) = 0\\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) - g'(x) - 2g(x) = 0\\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) = g'(x) + 2g(x) \\ \Longleftrightarrow \, f'(x) + 2f(x) = e^{x} + 3)
 + 2g(x) = e^{x} + 3)
car 
)
solution de (E')
d'après a)
est définie par  = f_{k}(x) + g(x) = ke^{-2x} + \dfrac{1}{3} e^{x} + \dfrac{3}{2})
Publié par Tom_Pascal
le
)
est solution de (E').
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