Fiche de mathématiques
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Calcul intégral

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exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :
\displaystyle I_1=\int_{0}^{\pi} \cos t \text{ d}t
\displaystyle I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(t+\dfrac{\pi}{4}\right) \text{ d}t
\displaystyle I_3=\int_{0}^{1} (t^3 + 2t^2 + 4t + 1) \text{ d}t
\displaystyle I_4=\int_{-3}^{3} (12t^{17} + 2t^3 - t) \text{ d}t
\displaystyle I_5=\int_{-\ln 2}^{\ln 3} (1 - 2e^t) \text{ d}t
\displaystyle I_6=\int_{0}^{1} \frac{2t}{\sqrt{1+t^2}} \text{ d}t




exercice 2

Soit \displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\text{ d}x}{\sqrt{x^2+2}}.
1. Calculer la dérivée de la fonction x \mapsto \sqrt{x^2+2}.
2. En déduire la dérivée de la fonction f définie sur [0; 1] par f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+2}).
3. Calculer I.




exercice 3

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties :
\displaystyle \text{A}=\int_{0}^{\pi} (x \sin x) \text{ d}x
\displaystyle \text{B}=\int_{1}^{e} \ln t \text{ d}t
\displaystyle \text{C}=\int_{-1}^{0} (2u+1)e^{-u} \text{ d}u



exercice 1

\displaystyle I_1 = \left[\sin t\right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0

\displaystyle I_2 = \left[-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

\displaystyle I_3 = \left[\frac{1}{4}t^4+\frac{2}{3}t^3+2t^2+t\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 1 = \frac{47}{12}

On remarque que la fonction t \mapsto 12t^{17} + 2t^3 - t est impaire, donc \displaystyle I_4 = 0.

\displaystyle I_5 = \left[t - 2e^t\right] = \ln 3 - 2e^{\ln 3} - (- \ln 2 - 2e^{-\ln 2})
= \ln 3 - 2 \times 3 + \ln 2 + 2 \times \frac{1}{2}
= \ln 3 + \ln 2 - 5
= -5 + \ln(3 \times 2)
= -5 + \ln 6

\displaystyle I_6 = \left[2\sqrt{1+t^2}\right]_{0}^{1} = 2\sqrt{2}-2




exercice 2

1. \left(\sqrt{x^2+2}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}

2. À l'aide de la question précédente :
f'(x) = \dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}

3. On déduit des questions précédentes que :
\displaystyle I = \int_{0}^{1} f'(x) \text{ d}x = f(1) - f(0) = \ln(1 + \sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2})




exercice 3

On pose u(x) = x     et     v'(x) = \sin x
donc : u'(x) = 1     et     v(x) = - \cos x
On a alors : \displaystyle \int_{0}^{\pi} (x \sin x) \text{ d}x = \int_{0}^{\pi} (u(x) \times v'(x)) \text{ d}x
et en faisant une intégration par parties, on obtient :
\displaystyle \text{A} = \left[u(x).v(x)\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (u'(x) v(x)) \text{ d}x
c'est-à-dire : \displaystyle \text{A} =  \left[-x \cos x\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (- \cos x) \text{ d}x
\Longleftrightarrow \displaystyle \text{A} = \pi + \left[\sin x\right]_{0}^{\pi}
D'où : \boxed{\text{A} = \pi}

En remarquant que \displaystyle \text{B}=\int_{1}^{e} 1 \times \ln t \text{ d}t, on pose :
u(t) = \ln t     et     v'(t) = 1
donc : u'(t) = \dfrac{1}{t}     et     v(t) = t
Et en intégrant par parties, on obtient :
\displaystyle \text{B} = \left[t \ln t\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} \text{ d}t
\displaystyle \text{B} = e \ln e - 1 \times \ln 1 - \int_{1}^{e} \text{ d}t
\displaystyle \text{B} = e - \left[t\right]_{1}^{e}
\displaystyle \text{B} = e - (e - 1)
D'où : \boxed{\text{B} = 1}

On pose :
f(u) = 2u + 1     et     g'(u) = e^{-u}
donc : f'(u) = 2     et     g(u) = -e^{-u}
En intégrant par parties, on obtient :
\displaystyle \text{C} = \left[-(2u + 1)e^{-u} \right]_{-1}^0 - \displaystyle \int_{-1}^0 \left(-2e^{-x} \right) \text{ d}x
\displaystyle \text{C} = -1 - e - \left[2e^{-x} \right]_{-1}^0
\displaystyle \text{C} = -1 - e - 2 + 2e
D'où : \boxed{\text{C} = e - 3}
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