Fiche de mathématiques
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Intégration

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I- Intégrale d'une fonction continue positive


Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et soit f une fonction continue et positive sur l'intervalle [a,b].
On se propose de déterminer l'aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f notée \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a \text{ et } x=b.
Autrement dit, cette aire représente l'ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient : a\leq x\leq b \text{ et } 0\leq y\leq f(x).

 : image 9


Commençons par présenter l'unité d'aire dans un repère, c'est l'une des notions fondamentales de ce cours :

Définition : Unité d'aire

L'unité d'aire dans un repère \left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) est l'aire du rectangle OIKJI(1,0),J(0,1)\text{ et } K(1,1), elle est souvent notée  U.A
1U.A=OI\times OJ = ||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||


Exemples :
1- Dans le cas d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) tel que ||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm} \text{  :   } 1U.A=1\text{ cm}^2
2- Dans la figure précédente, on a ||\overrightarrow{j}||=1\text{ cm} \text{ et }||\overrightarrow{i}||=2\text{ cm} \text{ , donc : } 1U.A=2\text{ cm}^2

Définition : Intégrale d'une fonction continue positive
Soit f une fonction continue et positive sur l'intervalle [a,b].
On appelle l'intégrale de la fonction f de a à b et on note \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x l'aire \mathcal{A} délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a \text{ et } x=b en unité d'aire U.A.


Exemple :
Soit f la fonction linéaire définie sur \mathbb{R} par: f(x)=x représentée graphiquement sur deux repères différents:
 : image 2
 : image 8

l'aire hachurée \mathcal{A} en U.A est dans les deux cas égale à: \displaystyle \int_0^2 f(x)\text{d}x=\mathcal{A}= \displaystyle \int_0^2 x\text{d}x=\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=2 U.A
Par contre, en \text{ cm}^2, les deux aires ne seront plus égales parce que les deux repères n'ont pas la même U.A:

L'unité d'aire dans le cas de la première figure : 1U.A=||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||=1\times 1= 1\text{ cm}^2, ce qui veut dire que dans ce cas: \mathcal{A}=2 U.A=2 \text{ cm}^2
L'unité d'aire dans le cas de la deconde figure : 1U.A=||\overrightarrow{i}||||\overrightarrow{j}||=2\times 1= 2\text{ cm}^2, donc: \mathcal{A}=2 U.A=2 \times 2 \text{ cm}^2=4\text{ cm}^2

Remarque :
La variable x dans la notation \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x est dite muette, elle intervient dans le calcul comme on va le voir dans les paragraphes suivants mais pas dans le résultat final, on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable: \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x= \displaystyle \int_a^b f(t)\text{d}t=\displaystyle \int_a^b f(y)\text{d}y=\displaystyle \int_a^b f(u)\text{d}u=\cdots


La question suivante se pose, qu'en est-il des fonctions continues de signe quelconque ?

II- Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Définition : Intégrale d'une fonction continue négative
Soit f une fonction continue et négative sur l'intervalle [a,b].
On appelle l'intégrale de la fonction f de a à b et on note \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x l'opposé de l'aire \mathcal{A} délimitée par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a \text{ et } x=b en unité d'aire U.A (appelée aussi l'aire algébrique).
\displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}


 : image 7

Exemple :
Reprenons l'exemple précédent de la fonction linéaire f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=x, notons \mathcal{A} l'aire hachurée.
 : image 10

\displaystyle \int_{-2}^0 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}= -\dfrac{2OI\times 2OJ}{2}=-2 U.A
Définition : Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a,b].
On appelle l'intégrale de la fonction f de a à b et on note \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x la somme des aires algébriques délimitées par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites définissants les sous-intervalles dans lesquels la fonction est de signe constante.

Autrement dit, \displaystyle \int_a^b f(x)\text{d}x est égale à la différence entre :
La somme des aires délimitées par la courbe représentative de f et l'axe des abscisses quand f est positive.
Et la somme des aires délimitées par la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est négative.

Illustration graphique :
 : image 6



\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3

Exemple :
La fonction linéaire f définie sur \mathbb{R} par: f(x)=2x. Trouver \displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x

 : image 5


On remarque que :
Sur l'intervalle [-3;0], la fonction f est négative et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée \mathcal{A}_1 se trouve en dessous de l'axe des abscisses, elle est donc négative.
Sur l'intervalle [0;2], la fonction f est positive et la partie de l'intégrale demandée sur cet intervalle notée \mathcal {A}_2 se trouve en dessus de l'axe des abscisses, elle est donc positive.

\displaystyle \int_{-3}^2 f(x)\text{d}x=-\mathcal{A}_1+\mathcal{A}_2=-\dfrac{3\times (2\times 3)}{2}+\dfrac{2\times (2\times 2)}{2}=-9+4=-5 U.A

Dans tous les exemples vus précédemment, on s'est contenté de présenter des fonctions affines simples pour lesquelles le calcul des aires est facile à faire en appliquant des résultats basiques de géométrie.
Par contre, pour les fonctions avec des représentations graphiques non linéaires (des courbes géométriquement indeterminées), la méthode "géométrique" de calcul d'aire devient quasiment impossible. Comment calculer l'intégrale de ces fonctions alors?

III- Calcul intégral :


Prérequis : Les primitives

On admet le résultat suivant :

Proposition :
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b, f une fonction continue sur l'intervalle [a,b] et F une primitive de la fonction f sur l'intervalle [a,b].
On a alors :
\boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}


Remarque :
La différence F(b)-F(a) est souvent notée \left[F(x)\right]_a^b, on écrit donc: \boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}
Exemples

1- Calcul de \displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{  d}x

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{  d}x  &= \left[\dfrac{4x^4}{4}+\dfrac{3x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+6x\right]_{-1}^1 \\  \\                &=\left[x^4+x^3-x^2+6x\right]_{-1}^1 \\  \\                &= \left[1^4+1^3-1^2+6\times 1\right]-\left[(-1)^4+(-1)^3-(-1)^2+6\times(-1)\right]\\  \\               &= 14  \\              \end{array}

2- Calcul de \displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{  d}x

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{  d}x  &= \displaystyle\int_{1}^3 x^{-3}+2x^{-5}\text{  d}x \\  \\                &=\left[\dfrac{1}{-2}x^{-2}+2\times\dfrac{1}{-4}x^{-4}\right]_{1}^3 \\  \\                &= \left[-\dfrac{1}{2x^{2}}-\dfrac{1}{2x^{4}}\right]_{1}^3	\\  \\		   &=\left[-\dfrac{1}{2\times 3^{2}}-\dfrac{1}{2\times 3^{4}}\right]-\left[-\dfrac{1}{2\times 1^{2}}-\dfrac{1}{2\times 1^{4}}\right]\\  \\                &= 1-\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{162}\\  \\		   &= \dfrac{76}{81}  \\              \end{array}

3- Calcul de \displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{  d}u

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{  d}u &= \displaystyle\int_{1}^4 \dfrac{(\sqrt{u})^2}{2u\sqrt{u}}\text{  d}u  \\  \\                &=\displaystyle\int_{1}^4 \dfrac{u}{2u\sqrt{u}}\text{  d}u \\  \\                &=\displaystyle\int_{1}^4 \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\text{  d}u \\  \\                &= \left[\sqrt{u}\right]_1^4 \\  \\		   &=\sqrt{4}-\sqrt{1} \\  \\		   &=1  \\              \end{array}

4- Calcul de \displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{  d}t

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{  d}t  &= \displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2t+2}{(t^2+2t)^3}\text{  d}t \\  \\                &= \displaystyle \int_{1}^2 (2t+2)(t^2+2t)^{-3}\text{  d}t \\  \\                &= \displaystyle \int_{1}^2 u^{'}(t)u^{-3}(t)\text{  d}t \text{  (en posant } u(t)=t^2+2t\text{ )}\\  \\                &= \left[\dfrac{1}{-3+1}u^{-3+1}(t)\right]_{1}^{2} \\  \\		   &= \left[-\dfrac{1}{2u^{2}(t)}\right]_{1}^{2}\\  \\		   &= \left[-\dfrac{1}{2(t^2+2t)^2}\right]_{1}^{2}\\  \\		   &= \left(-\dfrac{1}{2(2^2+2\times 2)^2}\right)-\left(-\dfrac{1}{2(1^2+2\times 1)^2}\right)\\  \\		   &= \dfrac{55}{1152}  \\              \end{array}

IV-Propriétés de l'intégrale

1-Linéarité


Propriété
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b, f \text{ et }g deux fonctions continues sur l'intervalle [a,b] et k un réel quelconque.
On a :
\displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x) \text{ d}x=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x
\displaystyle\int_{a}^{b} kf(x) \text{ d}x=k\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x


Exemple :
Calculer A=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x &= \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}\text{ d}x  \\  \\                &=\displaystyle\int_{1}^{2} x+\dfrac{1}{x}\text{ d}x \\  \\                &=\displaystyle\int_{1}^2 x\text{  d}x + \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x}\text{ d}x  \text{ (par linéarité de l'intégrale) }  \\  \\                &= \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2 + \left[\ln|x|\right]_1^2 \\  \\		   &=\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}+\ln|2|-\ln|1| \\  \\		   &=\dfrac{3}{2}+\ln(2)  \\              \end{array}

2-Relation de Chasles


Propriété
Soient a \text{ et } c deux réels tels que a<c, f une fonction continue sur l'intervalle [a,c] et b un réel de [a,c].
On a :
\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \text{ d}x=\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\int_{b}^{c} f(x) \text{ d}x


Exemple :
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par: \left\lbrace\begin{array}l f(x)=x \text{ si }x<1 \\ f(x)=\dfrac{1}{x} \text{ si } x\geq 1 \end{array}
Montrer que f est continue sur l'intervalle [-2,4] puis calculer \displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x

La continuité :
les fonctions x\mapsto x \text{ et }x\mapsto \dfrac{1}{x} sont continues respectivement sur [-2,1[\text{ et }[1,4]
Donc f est continue sur ces deux intervalles.
Le problème ne se pose alors qu'au point x=1
On a : f(1)=\dfrac{1}{1}=1
\underset{x\to 1^+}{\lim}f(x)=\underset{x\to 1^+}{\lim}\dfrac{1}{x}=1

\underset{x\to 1^-}{\lim}f(x)=\underset{x\to 1^-}{\lim}x=1
On en déduit: \underset{x\to 1^}{\lim}f(x)=1=f(1)
Il s'ensuit que f est continue au point 1 et donc : \boxed{\text{ f est continue sur } [-2,4]}
L'intégrale \displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x a donc un sens.

Calcul de l'intégrale \displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x

\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x &= \displaystyle\int_{-2}^{1} f(x) \text{ d}x + \displaystyle\int_{1}^{4} f(x) \text{ d}x \text{  }\left(\text{ relation de Chasles}\right)  \\  \\                &=\displaystyle\int_{-2}^{1} x \text{ d}x + \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{x} \text{ d}x \\  \\                &= \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^1 + \left[\ln|x|\right]_1^4 \\  \\		   &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2}+\ln|4|-\ln|1| \\  \\		   &=-\dfrac{3}{2}+2\ln(2)  \\              \end{array}

3-Parité

Propriété
Soit a un réel positif et soit f une fonction continue sur [-a,a]
Si f est paire, alors : \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=2 \displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \text{ d}x
Si f est impaire, alors : \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=0


Exemple :
Calcul de \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x
La fonction x\mapsto\sin(x) est impaire et continue sur \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]
La fonction x\mapsto\cos(x) est paire et continue sur \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]
\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x &= \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) \text{ d}x  \\  \\                &=0+2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) \text{ d}x  \\  \\                &= 2\left[\sin(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\  \\		   &=2\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)\right) \\  \\		   &=2  \\              \end{array}

4-Positivité


Propriété
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors:
Si f est positive sur l'intervalle [a,b] , alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\geq 0
Si f est négative sur l'intervalle [a,b] , alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq 0

Remarque :
La réciproque est fausse en général.

Contre-exemple :
On a : \displaystyle\int_{-1}^{2} 2x \text{ d}x=\left[x^2\right]_{-1}^2=3\geq 0
Mais la fonction x\mapsto 2x n'est pas positive sur [-1,2] puisqu'elle est négative sur [-1,0].

5-Ordre


Propriété
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et f \text{ et } g deux fonctions continues sur l'intervalle [a,b] telles que, pour tout x \text{ de } [a,b]\text{ : }f(x)\leq g(x).
Alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x

Remarque :
La réciproque est fausse en général.

Exemple :
On a, pour tout x appartenant à [1,7]\text{ : } \text{e}^x\geq x
Donc : \displaystyle\int_{1}^{7} x \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{1}^{7} \text{e}^x \text{ d}x

6-Inégalité de la moyenne


Définition : La valeur moyenne d'une fonction
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
On appelle la valeur moyenne de la fonction f sur [a,b] le nombre réel suivant: \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x


Propriété : Inégalité de la moyenne
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l'intervalle [a,b] telle qu'il existe m \text{ et } M \text{ de } \mathbb{R} vérifiant  m\leq f(x)\leq M \text{ pour tout } x \text{ de } [a,b]
Alors : m\leq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq M


V- Supplément : Intégration par parties


Théorème : Intégration par parties
Soient a \text{ et } b deux réels tels que a<b et u et v deux fonctions définies et dérivables sur [a,b] respectivement de dérivées u^' et v^' continues sur [a,b].
Alors :
\boxed{\displaystyle \int_a^b u(x)v^{'}(x)\text{ d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_a^b u^{'}(x)v(x)\text{ d}x}


Exemples :

1-Calcul de \displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x

On pose : \left\lbrace\begin{array}l u(x)=x \\ v^{'}(x)=\sin x \end{array} \text{ donc : }\left\lbrace\begin{array}l u^{'}(x)=1 \\ v(x)=-\cos x \end{array}

u\,,v\,,u'\,,v' sont toutes quatre continues sur [0; \pi].

Intégration par parties :
\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin x \text{ d}x &=\left[-x\cos x\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} -\cos x \text{ d}x \\  \\                &=\pi + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos x \text{ d}x  \\  \\                &= \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi} \\  \\		   &=\pi + \sin \pi - \sin 0 \\  \\		   &=\pi  \\              \end{array}

2-Calcul de \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x

On pose : \left\lbrace\begin{array}l u(x)=\ln x \\ v^{'}(x)=1 \end{array} \text{ donc: }\left\lbrace\begin{array}l u^{'}(x)=\dfrac{1}{x} \\ v(x)=x \end{array}

u\,,v\,,u'\,,v' sont toutes quatre continues sur [\text{e}\,;\, \text{e}^2].
Intégrons par parties :
\begin{array}{cl}  \\ \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \ln x \text{ d}x &=\left[x \ln x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2} - \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} \dfrac{1}{x} \times x\text{ d}x \\  \\                &=\text{e}^2\ln \text{e}^2-\text{e}\ln \text{e}-\left[x\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2}   \\  \\                &= 2\text{e}^2-e -\text{e}^2+\text{e}\\  \\		   &=\text{e}^2  \\              \end{array}
Merci à
 : image 11
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.
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