Fiche de mathématiques
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Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0

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Théorème 1 :
Solution générale de l'équation différentielle :
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0, où \omega est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur \mathbb{R} par :
\boxed{f(x) = \text{A} \cos(\omega x) + \text{B}\sin(\omega x)}, où A et B sont deux constantes réelles quelconques.

Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous.
Théorème 2 :
Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0, où \omega est un réel donné, admet une solution unique f, définie sur \mathbb{R}, vérifiant les conditions initiales : f(x_0) = \alpha et f'(x_0) = \beta.

Exemples :
voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.




exercice 1

Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. y'' + 9y = 0
2. 25y'' = -\pi^2 y




exercice 2

Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
y'' = -4y avec f(0)=\sqrt{3} et f'(0)=2.




exercice 3.

Soit l'équation différentielle (E) : 4y'' + 9y = 0, où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Soit f la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées \left(\dfrac{\pi}{6} \, ; \, \sqrt{2}\right), et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse \dfrac{\pi}{6}.
    a) Donner les conditions initiales sur la fonction f à partir des informations données sur la courbe.
    b) Déterminer l'expression de la fonction f.

3. Vérifier que, pour tout réel t, f(t) = \sqrt{2} \cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right)
résolution d'équations différentielles du second ordre - terminale : image 1




exercice 1

1. y'' + 9y = 0
Ici \omega = 3, donc l'ensemble des solutions est donné par : f(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x)

2. 25 y'' = -\pi^2 y
\Longleftrightarrow \ 25y'' + \pi^2 y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \dfrac{\pi^2}{25} y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \dfrac{\pi^2}{5^2} y = 0 \\ \Longleftrightarrow \: y'' + \left(\dfrac{\pi}{5}\right)^2 y = 0
Ici \omega = \dfrac{\pi}{5}, donc l'ensemble des solutions est donné par : f(x) = A\cos\left(\dfrac{\pi x}{5}\right) + B\sin\left(\dfrac{\pi x}{5}\right)




exercice 2

y'' = -4y \: \Longleftrightarrow \: y'' + 4y = 0 donc \omega = 2.
La solution générale est de la forme : f(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x).
f(0) = \sqrt{3} \: \Longleftrightarrow \: A \cos(2 \times 0) + B \sin(2 \times 0) = \sqrt{3} \: \Longleftrightarrow \: \boxed{A=\sqrt{3}} \\ f'(x)= -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) \\ f'(0)=2 \: \Longleftrightarrow \: -2A\sin(2 \times 0) + 2B\cos(2 \times 0) = 2 \: \Longleftrightarrow \: \boxed{B=1}
Conclusion :
la fonction qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales est : \boxed{f(x)=\sqrt{3} \cos(2x) + \sin(2x)}.




exercice 3.

1. 4y'' + 9y=0 \: \Longleftrightarrow \: y'' + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 y = 0
Donc \omega = \dfrac{3}{2}
La solution générale de (E) est donc : \boxed{f(t) = A\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + B\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)}

2. a) La courbe passe par le point de coordonnées \left(\dfrac{\pi}{6} \, ; \, \sqrt{2}) donc \boxed{f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}}
La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse \dfrac{\pi}{6} donc \boxed{f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0}

2. b) f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{2} \: \Longleftrightarrow \: A\cos\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}) + B\sin(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}
 \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: A\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + B\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{A+B=2} \\ f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \Longleftrightarrow \: f'(t) = -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: -\dfrac{3}{2}A\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{3}{2}B\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \\ \hspace{92pt} \Longleftrightarrow \: \boxed{-A + B = 0}
La résolution du système donne : A = B = 1
Conclusion : \boxed{f(t) = \cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)}

3. On utilise la formule d'addition trigonométrique suivante : \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
avec a = \dfrac{3}{2}t et b = \dfrac{\pi}{4}.
\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right] \\ \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t-\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left[\cos(\dfrac{3}{2}t) \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sin\left(\dfrac{3}{2}t\right) \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right] \\ \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{3}{2}t\right) + \sin\left(\dfrac{3}{2}t\right)
Donc : \boxed{f(t) = \sqrt{2}\cos\left(\dfrac{3}{2}t-\dfrac{\pi}{4}\right) }
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