Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0
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Théorème 1 :
Solution générale de l'équation différentielle : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle , où est un réel donné, est l'ensemble des fonctions définies sur par :
, où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Exemple : voir l'exercice 1 ci-dessous.
Théorème 2 :
Solution vérifiant des conditions initiales L'équation différentielle , où est un réel donné, admet une solution unique , définie sur , vérifiant les conditions initiales : et .
Exemples : voir les exercices 2 et 3 ci-dessous.
exercice 1
Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. 2.
exercice 2
Déterminer la solution qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales suivantes :
avec et .
exercice 3.
Soit l'équation différentielle (E) : , où y est une fonction de la variable t et y'' sa dérivée seconde.
1. Résoudre l'équation différentielle (E).
2. Soit la fonction qui est une solution de l'équation différentielle (E), et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. On sait que la courbe passe par le point de coordonnées , et qu'elle admet une tangente horizontale au point d'abscisse .
a) Donner les conditions initiales sur la fonction à partir des informations données sur la courbe.
b) Déterminer l'expression de la fonction .
1. Ici , donc l'ensemble des solutions est donné par :
2. Ici , donc l'ensemble des solutions est donné par :
exercice 2
donc .
La solution générale est de la forme : .
Conclusion : la fonction qui vérifie l'équation différentielle et les deux conditions initiales est : .
exercice 3.
1. Donc La solution générale de (E) est donc :
2. a) La courbe passe par le point de coordonnées donc La courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse donc
2. b) La résolution du système donne : Conclusion :
3. On utilise la formule d'addition trigonométrique suivante : avec et .
Donc :
Publié par jamo
le
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