Fiche de mathématiques

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Limites de Fonctions et asymptotes

1) Généralités:

Définition: limites en $+\infty$

$l$ désigne un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $]A,+\infty[$ ( $A$ est un réel)
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle $[B+\infty[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle $]-\infty ,B]$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

Définition: limites en $-\infty$

$l$ désigne un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $]-\infty,A[$ ( $A$ est un réel)
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $-x$ prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle $[B+\infty[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $-x$ assez grand.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle $]-\infty ,B]$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $-x$ assez grand.

Définition: limites en un point a

Soit $a$ un réel borne ou élément du domaine de définition d'une fonction $f$ et soit $l$ un réel.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $a$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grands lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$ signifie que $-f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grands lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .

II-2) Asymptotes:

Asymptote horizontale:

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_f$ et soit $l\in\mathbb{R}$ telle que: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=l \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$
Alors, $C_f$ admet la droite d'équation $y=l$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ (resp. $-\infty$ )

Limite de suites : un récapitulatif : image 4

Asymptote Verticale:

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_f$ et soit $a\in\mathbb{R}$ telle que: $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=+\infty \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=-\infty \text{ ( à droite ou encore à gauche ) }$
Alors, $C_f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale en $a$

Limite de suites : un récapitulatif : image 1

Asymptote Oblique:

Soient $a$ et $b$ sont des réels avec $a\neq 0$ . $C_f$ est la courbe représentant une fonction $f$ dans un repère.
Dire que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ ) signifie que: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$ resp $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$

Limite de suites : un récapitulatif : image 2

Limite de suites : un récapitulatif : image 3

II-3) Comparaison de limites de fonctions:

Théorème des gendarmes pour les fonctions:

$f,g \text{ et } h$ sont des fonctions et $l$ est un réel.
Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=l$ et si pour tout $x$ assez grand $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , alors: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=l$

Propriété:

Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et si pour tout $x$ assez grand $f(x)\geq g(x)$ alors $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ et si pour tout $x$ assez grand $f(x)\leq g(x)$ alors $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$

II-4) Opérations sur les limites d'une fonction:

Dans toute cette partie, $f$ et $g$ sont deux fonctions de même ensemble de définition $D$ , $l$ et $l'$ sont des réels et $a$ est soit un réel, soit $+\infty$ ou $-\infty$

Addition:

Limite de $f$ en $a$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
Limite de $g$ en $a$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Limite de $f+g$ en $a$	$l+l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forme Indeterminée

Multiplication:

Limite de $f$ en $a$	$l$	$l>0$	$l>0$	$l<0$	$l<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
Limite de $g$ en $a$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty\text{ ou } -\infty$
Limite de $f\times g$ en $a$	$l l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme Indeterminée

Division:

On suppose ici de plus que la fonction $g$ ne s'annule pas sur le domaine $D$ .

Limite de $f$ en $a$

$l$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$l>0 \text{ ou } +\infty$

$l<0 \text{ ou } -\infty$

$l>0 \text{ ou } +\infty$

$l<0 \text{ ou } -\infty$

$0$

Limite de $g$ en $a$

$l'\neq 0$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$l'>0$

$l'<0$

$l'>0$

$l'<0$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$0$ en restant positif

$0$ en restant négatif

$0$

Limite de $\dfrac{f}{g}$ en $a$

$\dfrac{l}{l'}$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

Forme Indeterminée

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

Forme Indeterminée

Règles pour fonctions polynomiales et rationnelles:

La limite d'un polynôme en $-\infty$ ou en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fraction rationnelle en $-\infty$ ou en $+\infty$ est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.

Propriété:

$a,b \text{ et } c$ désignent des réels ou encore $-\infty \text{ ou } +\infty$ et $f$ et $g$ sont des fonctions.
Si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b \text{ et } \lim_{y\to b} g(y)=c$ , alors $\displaystyle \lim_{x\to a} (gof)(x)=c$

Propriété:

$a \text{ et } b$ désignent des réels ou encore $-\infty \text{ ou } +\infty$ , $f$ est une fonction et $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}$ une suite.
Si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =a$ et $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b$ alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_n)=b$

Publié par malou/Panter le 21-12-2017

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