Fiche de mathématiques
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Limites de Fonctions et asymptotes

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1) Généralités:


Définition: limites en +\infty
l désigne un réel et f une fonction définie sur un intervalle de type ]A,+\infty[ (A est un réel)
Dire qu'une fonction f a pour limite l en +\infty signifie que f(x) s'approche de plus en plus de l lorsque x prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction f a pour limite +\infty en +\infty signifie que tout intervalle [B+\infty[ (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
Dire qu'une fonction f a pour limite -\infty en +\infty signifie que tout intervalle ]-\infty ,B] (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.


Définition: limites en -\infty
l désigne un réel et f une fonction définie sur un intervalle de type ]-\infty,A[ (A est un réel)
Dire qu'une fonction f a pour limite l en -\infty signifie que f(x) s'approche de plus en plus de l lorsque -x prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction f a pour limite +\infty en -\infty signifie que tout intervalle [B+\infty[ (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour -x assez grand.
Dire qu'une fonction f a pour limite -\infty en -\infty signifie que tout intervalle ]-\infty ,B] (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour -x assez grand.



Définition: limites en un point a
Soit a un réel borne ou élément du domaine de définition d'une fonction f et soit l un réel.
Dire qu'une fonction f a pour limite l en a signifie que f(x) s'approche de plus en plus de l lorsque x s'approche de plus en plus de a.
Dire qu'une fonction f a pour limite +\infty en a signifie que f(x) prend des valeurs de plus en plus grands lorsque x s'approche de plus en plus de a.
Dire qu'une fonction f a pour limite -\infty en a signifie que -f(x) prend des valeurs de plus en plus grands lorsque x s'approche de plus en plus de a.



II-2) Asymptotes:



Asymptote horizontale:
Soit f une fonction de courbe représentative C_f et soit l\in\mathbb{R} telle que: \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=l \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=l
Alors, C_f admet la droite d'équation y=l comme asymptote horizontale en +\infty (resp. -\infty)



Limite de suites : un récapitulatif : image 4


Asymptote Verticale:
Soit f une fonction de courbe représentative C_f et soit a\in\mathbb{R} telle que: \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=+\infty \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=-\infty  \text{ ( à droite ou encore à gauche ) }
Alors, C_f admet la droite d'équation x=a comme asymptote verticale en a



Limite de suites : un récapitulatif : image 1

Asymptote Oblique:
Soient a et b sont des réels avec a\neq 0. C_f est la courbe représentant une fonction f dans un repère.
Dire que la droite d'équation y=ax+b est asymptote oblique à C_f en +\infty (resp. en -\infty ) signifie que: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} [f(x)-(ax+b)]=0 resp \displaystyle \lim_{x\to-\infty} [f(x)-(ax+b)]=0



Limite de suites : un récapitulatif : image 2

Limite de suites : un récapitulatif : image 3


II-3) Comparaison de limites de fonctions:



Théorème des gendarmes pour les fonctions:
f,g \text{ et } h sont des fonctions et l est un réel.
Si \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=l et si pour tout x assez grand g(x)\leq f(x)\leq h(x), alors: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=l


Propriété:
Si \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty et si pour tout x assez grand f(x)\geq g(x) alors \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty
Si \displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty et si pour tout x assez grand f(x)\leq g(x) alors \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty


II-4) Opérations sur les limites d'une fonction:



Dans toute cette partie, f et g sont deux fonctions de même ensemble de définition D, l et l' sont des réels et a est soit un réel, soit +\infty ou -\infty

Addition:
Limite de f en a
l
l
l
+\infty
-\infty
+\infty
Limite de g en a
l'
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
-\infty
Limite de f+g en a
l+l'
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
Forme Indeterminée


Multiplication:
Limite de f en a
l
l>0
l>0
l<0
l<0
+\infty
+\infty
-\infty
0
Limite de g en a
l'
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
-\infty
+\infty\text{ ou } -\infty
Limite de f\times g en a
l l'
+\infty
-\infty
-\infty
+\infty
+\infty
-\infty
+\infty
Forme Indeterminée


Division:

On suppose ici de plus que la fonction g ne s'annule pas sur le domaine D.

Limite de f en a
l
l
+\infty
+\infty
-\infty
-\infty
+\infty \text{ ou } -\infty
l>0 \text{ ou } +\infty
l<0 \text{ ou } -\infty
l>0 \text{ ou } +\infty
l<0 \text{ ou } -\infty
0
Limite de g en a
l'\neq 0
+\infty \text{ ou } -\infty
l'>0
l'<0
l'>0
l'<0
+\infty \text{ ou } -\infty
0 en restant positif
0 en restant positif
0 en restant négatif
0 en restant négatif
0
Limite de \dfrac{f}{g} en a
\dfrac{l}{l'}
0
+\infty
-\infty
-\infty
+\infty
Forme Indeterminée
+\infty
-\infty
-\infty
+\infty
Forme Indeterminée


Règles pour fonctions polynomiales et rationnelles:
La limite d'un polynôme en -\infty ou en +\infty est celle de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fraction rationnelle en -\infty ou en +\infty est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.


Propriété:
a,b \text{ et } c désignent des réels ou encore -\infty \text{ ou } +\infty et f et g sont des fonctions.
Si \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b \text{ et } \lim_{y\to b} g(y)=c, alors \displaystyle \lim_{x\to a} (gof)(x)=c


Propriété:
a \text{ et } b désignent des réels ou encore -\infty \text{ ou } +\infty, f est une fonction et (u_{n})_{n\in\mathbb{N} une suite.
Si \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =a et \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b alors \displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_n)=b

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