Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths T^ale > Limites de fonctions

Limites de Fonctions et asymptotes

1) Généralités:

Définition: limites en $+\infty$

$l$ désigne un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $]A,+\infty[$ ( $A$ est un réel)
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle $[B+\infty[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle $]-\infty ,B]$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

Définition: limites en $-\infty$

$l$ désigne un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $]-\infty,A[$ ( $A$ est un réel)
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $-x$ prend des valeurs de plus en plus grands.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle $[B+\infty[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $-x$ assez grand.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle $]-\infty ,B]$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $-x$ assez grand.

Définition: limites en un point a

Soit $a$ un réel borne ou élément du domaine de définition d'une fonction $f$ et soit $l$ un réel.
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $l$ en $a$ signifie que $f(x)$ s'approche de plus en plus de $l$ lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grands lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .
Dire qu'une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$ signifie que $-f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grands lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ .

II-2) Asymptotes:

Asymptote horizontale:

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_f$ et soit $l\in\mathbb{R}$ telle que: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=l \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$
Alors, $C_f$ admet la droite d'équation $y=l$ comme asymptote horizontale en $+\infty$ (resp. $-\infty$ )

Limite de suites : un récapitulatif : image 4

Asymptote Verticale:

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $C_f$ et soit $a\in\mathbb{R}$ telle que: $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=+\infty \text{ ou } \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=-\infty \text{ ( à droite ou encore à gauche ) }$
Alors, $C_f$ admet la droite d'équation $x=a$ comme asymptote verticale en $a$

Limite de suites : un récapitulatif : image 1

Asymptote Oblique:

Soient $a$ et $b$ sont des réels avec $a\neq 0$ . $C_f$ est la courbe représentant une fonction $f$ dans un repère.
Dire que la droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ ) signifie que: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$ resp $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} [f(x)-(ax+b)]=0$

Limite de suites : un récapitulatif : image 2

Limite de suites : un récapitulatif : image 3

II-3) Comparaison de limites de fonctions:

Théorème des gendarmes pour les fonctions:

$f,g \text{ et } h$ sont des fonctions et $l$ est un réel.
Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=l$ et si pour tout $x$ assez grand $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ , alors: $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=l$

Propriété:

Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et si pour tout $x$ assez grand $f(x)\geq g(x)$ alors $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ et si pour tout $x$ assez grand $f(x)\leq g(x)$ alors $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$

II-4) Opérations sur les limites d'une fonction:

Dans toute cette partie, $f$ et $g$ sont deux fonctions de même ensemble de définition $D$ , $l$ et $l'$ sont des réels et $a$ est soit un réel, soit $+\infty$ ou $-\infty$

Addition:

Limite de $f$ en $a$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
Limite de $g$ en $a$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Limite de $f+g$ en $a$	$l+l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forme Indeterminée

Multiplication:

Limite de $f$ en $a$	$l$	$l>0$	$l>0$	$l<0$	$l<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
Limite de $g$ en $a$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty\text{ ou } -\infty$
Limite de $f\times g$ en $a$	$l l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Forme Indeterminée

Division:

On suppose ici de plus que la fonction $g$ ne s'annule pas sur le domaine $D$ .

Limite de $f$ en $a$

$l$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$l>0 \text{ ou } +\infty$

$l<0 \text{ ou } -\infty$

$l>0 \text{ ou } +\infty$

$l<0 \text{ ou } -\infty$

$0$

Limite de $g$ en $a$

$l'\neq 0$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$l'>0$

$l'<0$

$l'>0$

$l'<0$

$+\infty \text{ ou } -\infty$

$0$ en restant positif

$0$ en restant négatif

$0$

Limite de $\dfrac{f}{g}$ en $a$

$\dfrac{l}{l'}$

$0$

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

Forme Indeterminée

$+\infty$

$-\infty$

$+\infty$

Forme Indeterminée

Règles pour fonctions polynomiales et rationnelles:

La limite d'un polynôme en $-\infty$ ou en $+\infty$ est celle de son terme de plus haut degré.
La limite d'une fraction rationnelle en $-\infty$ ou en $+\infty$ est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.

Propriété:

$a,b \text{ et } c$ désignent des réels ou encore $-\infty \text{ ou } +\infty$ et $f$ et $g$ sont des fonctions.
Si $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b \text{ et } \lim_{y\to b} g(y)=c$ , alors $\displaystyle \lim_{x\to a} (gof)(x)=c$

Propriété:

$a \text{ et } b$ désignent des réels ou encore $-\infty \text{ ou } +\infty$ , $f$ est une fonction et $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}$ une suite.
Si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =a$ et $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=b$ alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_n)=b$

Publié par malou/Panter le 21-12-2017

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

Limites de fonctions en terminale
Plus de 32 483 topics de mathématiques sur "Limites de fonctions" en terminale sur le forum.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Limites de Fonctions et asymptotes

1) Généralités:

II-2) Asymptotes:

II-3) Comparaison de limites de fonctions:

II-4) Opérations sur les limites d'une fonction:

Cette fiche

Forum de maths