Croissance comparée des fonctions
exponentielles, puissances
entières et logarithme.
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conforme au programme en vigueur en France depuis 2011-2012 dont le contenu est le suivant :
Dont on déduit :
À travers des exemples, on étendra
ces règles au cas des polynômes,
comme pour la fonction
On aboutira aux règles opératoires : « à l'infini,
l'exponentielle de

l'emporte sur toute
puissance de

» et « les puissances de

l'emportent sur le logarithme de

».
Ces règles opératoires s'écrivent :

,

,
Exemple d'application 1
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en

de
Lorsque

tend vers

,

tend vers

ainsi que

.
On a donc une forme indéterminée, qu'on va lever en utilisant les croissances comparées établies en cours.
Pour ce faire, transformons l'écriture de
)
.
Or

,

donc
Conclusion :
Exemple d'application 2
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en

de
Numérateur comme dénominateur tendent tous deux vers

, on va donc lever l'indétermination.
Pour cela, transformons l'écriture de
)
.
Conclusion : par produit,
Exemple d'application 3
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en

de
Nous avons bien une forme indéterminée.
Transformons l'écriture de
)
.
Appliquons les théorèmes de croissance comparée :

et

donc en prenant l'inverse
Conclusion :
Nous avons donc par produit :
Exemple d'application 4
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en

de
Après avoir vérifié que nous avons bien une forme indéterminée, transformons l'écriture de
 )
.
Pour cela, mettons en facteur le terme de plus haut degré.
Nous savons que

.
Et que

d'où
Conclusion :
 = +\infty)
d'où
 = +\infty)
.
Exemple d'application 5
Soit à déterminer, si elle existe, la limite de
 = \dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2} )
lorsque
 = 0^-)
donc
Posons

. Ce changement de variable nous permet d'écrire :
Or dire que

tend vers

revient à dire que

tend vers
Donc
Conclusion :