Croissance comparée des fonctions
exponentielles, puissances
entières et logarithme.
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Cours de maths niveau Terminale sur les théorêmes de croissance comparée des fonctions exponentielles
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Dont on déduit :
À travers des exemples, on étendra
ces règles au cas des polynômes,
comme pour la fonction On aboutira aux règles opératoires : « à l'infini,
l'exponentielle de l'emporte sur toute
puissance de » et « les puissances de
l'emportent sur le logarithme de ».
Ces règles opératoires s'écrivent :
, ,
Exemple d'application 1
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en de Lorsque tend vers , tend vers ainsi que .
On a donc une forme indéterminée, qu'on va lever en utilisant les croissances comparées établies en cours.
Pour ce faire, transformons l'écriture de .
Or ,
donc Conclusion :
Exemple d'application 2
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en de Numérateur comme dénominateur tendent tous deux vers , on va donc lever l'indétermination.
Pour cela, transformons l'écriture de .
Conclusion : par produit,
Exemple d'application 3
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en de Nous avons bien une forme indéterminée.
Transformons l'écriture de .
Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
et
donc en prenant l'inverse Conclusion :
Nous avons donc par produit :
Exemple d'application 4
Soit à déterminer, si elle existe, la limite en de Après avoir vérifié que nous avons bien une forme indéterminée, transformons l'écriture de .
Pour cela, mettons en facteur le terme de plus haut degré.
Nous savons que .
Et que d'où Conclusion :
d'où
.
Exemple d'application 5
Soit à déterminer, si elle existe, la limite de lorsque donc Posons . Ce changement de variable nous permet d'écrire :
Or dire que tend vers revient à dire que tend vers
Donc Conclusion :
Publié par malou
le
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l'emporte sur toute
puissance de 
l'emportent sur le logarithme de 
, 
, 
de =2x-\ln x)
tend vers 
.
)
.
=x\left(2-\dfrac{\ln x}{x}\right))
, 
donc 
=+\infty)
 = \dfrac{\text{e} ^x}{x^2 + 1})
= \dfrac{e^x}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}}\right)}=\dfrac{e^x}{x^2}\times\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}})
=1)
=+\infty)
= \dfrac{3 \times e^x}{x^6 \ln x})
= 3\times \dfrac{ e^x}{x^6 \ln x} = 3 \times\dfrac{ e^x}{x^7}\times \dfrac{x}{\ln x})
et 
donc en prenant l'inverse 
=x^5-x^4\ln x )
 )
.
=x^5-x^4\ln x =x^5\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right))
.
d'où =1)
 = +\infty)
d'où
 = +\infty)
.
 = \dfrac{e^{\frac{1}{x-2}}}{x-2} )
lorsque 
 = 0^-)
donc  = -\infty)
. Ce changement de variable nous permet d'écrire :
revient à dire que 
tend vers 
 = \displaystyle \lim_{X\to -\infty} X e^X = 0)
=0)
