Fiche de mathématiques
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Exercice sur les limites de fonctions

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exercice

Calculer les limites suivantes :
1  \lim\limits_{x\to -3^-}\dfrac{2x+5}{-3-x}. Donner l'interprétation géométrique de ce résultat.

2  \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{3x+5}{4x-1}. Donner l'interprétation géométrique de ce résultat.

3  \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}





1 Le dénominateur tend vers 0. On étudie donc son signe :
Limites de fonctions - Exercice niveau Terminale : image 1

 \left. \begin{array}{c} \lim\limits_{x \to -3^-} 2x+5 = -1 \\\\ \lim\limits_{x \to -3^-} -3-x = 0^+ \end{array} \right] \lim\limits_{x \to -3^-} \dfrac{2x+5}{-3-x}=-\infty
2 Il s'agit ici de calculer la limite d'une fonction composée.
Sous le radical, on a une fonction rationnelle. D'après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :  \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x+5}{4x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{4x}=\dfrac{3}{4}
 \lim\limits_{x \to \frac{3}{4}} \sqrt{x} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}
Donc  \lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{3x+5}{4x-1}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}
3  \lim\limits_{x\to 1^+}x^2+x-2 = 0 et  \lim\limits_{x\to 1^+}2x^2+4x-6=0
On est donc en présence d'une forme indéterminée.
Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser les deux polynômes du second degré.
Pour x^2+x-2
\Delta = 1^2-4\times 1 \times (-2) = 9=3^2>0
Il y a donc deux racines réelles :  x_1=\dfrac{-1-3}{2} = -2 et x_2=\dfrac{-1+3}{2}=1.
Ainsi x^2+x-2=(x-1)(x+2)
Pour 2x^2+4x-6
\Delta = 4^2-4\times 2\times (-6) = 64=8^2>0
Il y a donc deux racines réelles :  x_1=\dfrac{-4-8}{4}=-3 et x_2=\dfrac{-4+8}{4}=1
Ainsi 2x^2+4x-6=2(x-1)(x+3)

Donc partout où cette fonction rationnelle est définie, on peut écrire : \dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}=\dfrac{(x-1)(x+2)}{2(x-1)(x+3)}=\dfrac{x+2}{2(x+3)}
D'où :  \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x+2}{2(x+3)}=\dfrac{3}{8}
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