Fiche de mathématiques
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Limite de suites : un résumé

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Définition:
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} a pour limite un réel l signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} a pour limite +\infty signifie que tout intervalle [A,+\infty[ (avec A réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} a pour limite -\infty signifie que tout intervalle ]-\infty,B] (avec B réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Quand la suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} a pour limite un réel, on dit alors qu'elle converge vers ce réel, Dans le cas contraire, on dit qu'elle diverge.


Définition:
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est majorée signifie qu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n \text{ : }u_n\leq M
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est minorée signifie qu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n \text{ : } u_n\geq m
Dire qu'une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est bornée signifie qu'elle est majorée et minorée


Propriété:
\begin{cases}\text{Toute suite réelle croissante et majorée converge }\\ \text{ Toute suite réelle décroissante et minorée converge}\end{cases}
\begin{cases}\text{ Toute est une suite croissante et non majorée tend vers } +\infty \\ \text{ Toute suite décroissante et non minorée tend vers } -\infty\end{cases}


Théorème des gendarmes pour les suites:
Si (u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \text{ , } (v_{n})_{n\in\marthbb{N}} \text{ et } (w_{n})_{n\in\marthbb{N}} sont trois suites réelles telles que, pour tout entier naturel n à partir d'un certain rang \text{ : } u_n \leq v_n \leq w_n et si les suites (u_{n})_{n\in\mathbb{N}} et (w_{n})_{n\in\marthbb{N}} convergent vers une limite réelle commune l.
alors la suite (v_{n})_{n\in\marthbb{N}} converge aussi vers la même limite l



Théorème:
Soient (u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \text{ et } (v_{n})_{n\in\marthbb{N}} deux suites telles que, pour tout entier naturel n à partir d'un certain rang \text{ : } u_n \leq v_n
Alors: \begin{cases} \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n=+\infty \Longrightarrow \displaystyle \lim_{n\to\infty} v_n=+\infty \\ \displaystyle \lim_{n\to\infty} v_n=-\infty \Longrightarrow \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n=-\infty\end{cases}



Définition - Propriété:
Soient (u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \text{ et } (v_{n})_{n\in\marthbb{N}} deux suites réelles. On dit que (u_{n})_{n\in\mathbb{N}} \text{ et } (v_{n})_{n\in\marthbb{N}} sont adjacentes si et seulement si l'une des deux croît, l'autre décroît et leur différence tend vers 0. Et dans ce cas, elles sont convergentes et convergent vers une mêmes limite.


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