(b) Démontrez cette conjecture.
(c) Retrouvez le résultat du 3.
Partie A : Restitution Organisée de Connaissances
Soit A un réel.

donc il existe un entier naturel n
0 tel que


.
De plus,

à partir d'un certain rang donc il existe un entier naturel n
1 tel que pour tout entier naturel n tel que

.
Soit N un entier supérieur ou égal à n
0 et n
1 alors pour tout entier naturel n tel que

, donc par définition
Partie B
On considère la suite
_n)
définie par :

et


.
1. 
_n)
est (strictement) croissante
2. Montrons par récurrence que

Initialisation : on a

donc la propriété est vraie au rang n=0
Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang
Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a
^2)
donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)
Conclusion :

3. 

donc

par le théorème de comparaison.
4.
(a) Les premiers termes de la suite sont
On conjecture que

(b) Démontrons cette conjecture par récurrence.
Initialisation : on a

donc la propriété est vraie au rang n=0
Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang

tel que
Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a
^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2)
donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)
Conclusion :

(c)
^2=+\infty)
. On retrouve le résultat du 3.
_n)
est la suite définie par :

et


.
2ème Méthode
1. Soit
donc
_n)
est géométrique de raison

et de 1er terme
2. _n)
est géométrique de raison

et de 1er terme

donc

^n)
donc

3. On a
On retrouve le résultat obtenu par la 1ère méthode.