Fiche de mathématiques
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Suites - Exercice type Bac

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Partie A : Restitution Organisée de Connaissances


Pré requis : la suite (u_n)_n diverge vers +\infty si tout intervalle du type ]A;+\infty[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Démontrer que si (u_n)_n et (v_n)_n sont deux suites telles que u_n\leq v_n à partir d'un certain rang et \lim\limits_{n\to\infty}u_n=+\infty \text{ alors } \lim\limits_{n\to\infty}v_ n=+\infty

Partie B


On considère la suite (u_n)_n définie par : u0=1 et quelquesoitn\in N, u_{n+1}=u_n+2n+3.

1. Montrer que (u_n)_n est croissante
2. Montrer que quelquesoitn\in N, u_n>n^2
3. En déduire la limite de (u_n)_n
(a) A l'aide des premiers termes de la suite (u_n)_n, conjecturer une expression de un en fonction de n
(b) Démontrez cette conjecture.
(c) Retrouvez le résultat du 3.





Partie A : Restitution Organisée de Connaissances



Soit A un réel.
\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty donc il existe un entier naturel n0 tel que quelquesoitn\in N \text{ tel que } n\geq n_0,u_n>A.
De plus, u_n\leq v_n à partir d'un certain rang donc il existe un entier naturel n1 tel que pour tout entier naturel n tel que n\geq n_1 \text{ on a } u_n \leq v_n.
Soit N un entier supérieur ou égal à n0 et n1 alors pour tout entier naturel n tel que n\geq N \text{ on  a } u_n>A \text{ et } u_n\leq v_n \text{ donc } v_n>A, donc par définition \lim\limits_{ n\to +\infty}v_n=+\infty

Partie B


On considère la suite (u_n)_n définie par : u_0=1 et quelquesoitn\in N,u_{n+1}=u_n+2n+3.

1. quelquesoitn\in N, u_{n+1}-u_n=2n+3>0 \text{ donc } (u_n)_n est (strictement) croissante

2. Montrons par récurrence que quelquesoitn\in N, u_n>n^2

Initialisation : on a u_0 = 1 \text{ et } 0^2 = 0 \text{ donc } u_0>0^2 donc la propriété est vraie au rang n=0

Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang n\geq 0 \text{ tel que } u_n>n^2

Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a u_{n+1}=u_n+2n+3>n^2+2n+3>n^2+2n+1=(n+1)^2 donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)

Conclusion : quelquesoitn\in N, u_n>n^2

3. quelquesoitn\in N, u_n>n^2 \text{ et } \lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty par le théorème de comparaison.

4.
(a) Les premiers termes de la suite sont u_0=1;u_1=4;u_2=9;u_3=16;u_4=25
On conjecture que quelquesoitn\in N, u_n=(n+1)^2

(b) Démontrons cette conjecture par récurrence.

Initialisation : on a u_0 = 1 \text{ et } 1^2 = 1 \text{ donc } u_0=1^2 donc la propriété est vraie au rang n=0

Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang n\geq 0 tel que u_n=(n+1)^2

Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a u_{n+1}=u_n+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2 donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)

Conclusion : quelquesoitn\in N, u_n=(n+1)^2

(c) \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)^2=+\infty. On retrouve le résultat du 3.


(u_n)_n est la suite définie par : u_0=-2 et quelquesoitn\in N, u_{n+1}=1+\frac{1}{2}u_n.


2ème Méthode

1. Soit n\in N, \text{ on a } v_n=u_n-2 \text{ donc } v_{n+1}=u_{n+1}-2=(1+\frac{1}{2}u_n)-2=\frac{1}{2}u_n-1=\frac{1}{2}(u_n-2)=\frac{1}{2}v_n

donc (v_n)_n est géométrique de raison q=\frac{1}{2} et de 1er terme v_0=u_0-2=-2-2=-4

2. (v_n)_n est géométrique de raison q=\frac{1}{2} et de 1er terme v_0=-4 donc quelquesoitn\in N, v_n=-4\times (\frac{1}{2})^n donc quelquesoitn\in N,u_n=v_n+2=-4\times (\frac{1}{2})^n+2

3. On a 0<\frac{1}{2}<1 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^n=0 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}v_n=0 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}u_n=2

On retrouve le résultat obtenu par la 1ère méthode.
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