(b) Démontrez cette conjecture.
(c) Retrouvez le résultat du 3.
Partie A : Restitution Organisée de Connaissances
Soit A un réel.
donc il existe un entier naturel n
0 tel que
.
De plus,
à partir d'un certain rang donc il existe un entier naturel n
1 tel que pour tout entier naturel n tel que
.
Soit N un entier supérieur ou égal à n
0 et n
1 alors pour tout entier naturel n tel que
, donc par définition
Partie B
On considère la suite
définie par :
et
.
1. est (strictement) croissante
2. Montrons par récurrence que
Initialisation : on a
donc la propriété est vraie au rang n=0
Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang
Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a
donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)
Conclusion :
3. donc
par le théorème de comparaison.
4.
(a) Les premiers termes de la suite sont
On conjecture que
(b) Démontrons cette conjecture par récurrence.
Initialisation : on a
donc la propriété est vraie au rang n=0
Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang
tel que
Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a
donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)
Conclusion :
(c)
. On retrouve le résultat du 3.
est la suite définie par :
et
.
2ème Méthode
1. Soit
donc
est géométrique de raison
et de 1er terme
2. est géométrique de raison
et de 1er terme
donc
donc
3. On a
On retrouve le résultat obtenu par la 1ère méthode.