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Suites - Exercice type Bac

Partie A : Restitution Organisée de Connaissances

Pré requis : la suite $(u_n)_n$ diverge vers $+\infty$ si tout intervalle du type $]A;+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Démontrer que si $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont deux suites telles que $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=+\infty \text{ alors } \lim\limits_{n\to\infty}v_ n=+\infty$

Partie B

On considère la suite $(u_n)_n$ définie par : u₀=1 et quelquesoit

$n\in N, u_{n+1}=u_n+2n+3$ .

1. Montrer que $(u_n)_n$ est croissante
2. Montrer que quelquesoit

$n\in N, u_n>n^2$
3. En déduire la limite de $(u_n)_n$
(a) A l'aide des premiers termes de la suite $(u_n)_n$ , conjecturer une expression de u_n en fonction de n
(b) Démontrez cette conjecture.
(c) Retrouvez le résultat du 3.

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Partie A : Restitution Organisée de Connaissances

Soit A un réel.
$\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$ donc il existe un entier naturel n₀ tel que quelquesoit

$n\in N \text{ tel que } n\geq n_0,u_n>A$ .
De plus, $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang donc il existe un entier naturel n₁ tel que pour tout entier naturel n tel que $n\geq n_1 \text{ on a } u_n \leq v_n$ .
Soit N un entier supérieur ou égal à n₀ et n₁ alors pour tout entier naturel n tel que $n\geq N \text{ on a } u_n>A \text{ et } u_n\leq v_n \text{ donc } v_n>A$ , donc par définition $\lim\limits_{ n\to +\infty}v_n=+\infty$

Partie B

On considère la suite $(u_n)_n$ définie par : $u_0=1$ et quelquesoit

$n\in N,u_{n+1}=u_n+2n+3$ .

1. quelquesoit

$n\in N, u_{n+1}-u_n=2n+3>0 \text{ donc } (u_n)_n$ est (strictement) croissante

2. Montrons par récurrence que quelquesoit

$n\in N, u_n>n^2$

Initialisation : on a $u_0 = 1 \text{ et } 0^2 = 0 \text{ donc } u_0>0^2$ donc la propriété est vraie au rang n=0

Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang $n\geq 0 \text{ tel que } u_n>n^2$

Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a $u_{n+1}=u_n+2n+3>n^2+2n+3>n^2+2n+1=(n+1)^2$ donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)

Conclusion : quelquesoit

$n\in N, u_n>n^2$

3. quelquesoit

$n\in N, u_n>n^2 \text{ et } \lim\limits_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ par le théorème de comparaison.

4.
(a) Les premiers termes de la suite sont $u_0=1;u_1=4;u_2=9;u_3=16;u_4=25$
On conjecture que quelquesoit

$n\in N, u_n=(n+1)^2$

(b) Démontrons cette conjecture par récurrence.

Initialisation : on a $u_0 = 1 \text{ et } 1^2 = 1 \text{ donc } u_0=1^2$ donc la propriété est vraie au rang n=0

Hypothèse de récurrence : on suppose qu'il existe un rang $n\geq 0$ tel que $u_n=(n+1)^2$

Hérédité : au rang suivant, n+1 , on a $u_{n+1}=u_n+2n+3=(n+1)^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4=(n+2)^2$ donc la propriété est encore vraie au rang (n+1)

Conclusion : quelquesoit

$n\in N, u_n=(n+1)^2$

(c) $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)^2=+\infty$ . On retrouve le résultat du 3.

$(u_n)_n$ est la suite définie par : $u_0=-2$ et quelquesoit

$n\in N, u_{n+1}=1+\frac{1}{2}u_n$ .

2ème Méthode
1. Soit $n\in N, \text{ on a } v_n=u_n-2 \text{ donc } v_{n+1}=u_{n+1}-2=(1+\frac{1}{2}u_n)-2=\frac{1}{2}u_n-1=\frac{1}{2}(u_n-2)=\frac{1}{2}v_n$

donc $(v_n)_n$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de 1er terme $v_0=u_0-2=-2-2=-4$

2. $(v_n)_n$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de 1er terme $v_0=-4$ donc quelquesoit

$n\in N, v_n=-4\times (\frac{1}{2})^n$ donc quelquesoit

$n\in N,u_n=v_n+2=-4\times (\frac{1}{2})^n+2$

3. On a $0<\frac{1}{2}<1 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^n=0 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}v_n=0 \text{ donc } \lim\limits_{n\to\infty}u_n=2$

On retrouve le résultat obtenu par la 1ère méthode.

Publié par Prof digiSchool le 02-03-2016

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