Fiche de mathématiques
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Les suites, activités rapides

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Exercice 1
(u_n)_n est la suite définie par : quelquesoitn\in N, u_n=\frac{2n+1}{n+3}.
1. A l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite L de la suite (u_n)_n
2. A l'aide de la définition de la limite, prouver votre conjecture.
3. Déterminer le rang N à partir duquel la distance entre u_n et la limite L est strictement inférieur à 0,001.

Exercice 2
Déterminer la limite des suitess de terme général suivant :

1. u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}

2. v_n=\frac{n+sin(n)}{n+1}

3. w_n=\frac{n^2+(-1)^n}{n+7}

Exercice 3

Calculer en fonction de n chacune des sommes suivantes :
1. \sum\limits_{k=0}^{n}{4k-1}

2. \sum\limits_{k=1}^{n-1}{3k+5}



Voir la correction



Exercice 1

(u_n)_n est la suite définie par : quelquesoitn\in N, u_n=\frac{2n+1}{n+3}.
1. A l'aide de la calculatrice en mode récurrence on observe que la suite (u_n)_n converge vers L = 2

2. Soit a > 0. Démontrons qu'à partir d'un certain rang, tous les termes u_n-2 sont compris entre -a et a.

|u_n-2|<a\Leftrightarrow |\frac{2n+1}{n+3}-2|<a\Leftrightarrow |\frac{-5}{n+3}|<a\Leftrightarrow 0<\frac{5}{n+3}<a\Leftrightarrow \frac{n+3}{5}>\frac{1}{a}\Leftrightarrow n>\frac{5}{a}-3

Prenons N=ENT[\frac{5}{a}-3]+1 alors quelquesoitn\geq N, \text{ on a } |u_n-2|<a qui traduit \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=2

Remarque : ENT désigne la partie entière du nombre.

3. On cherche N tel que quelquesoitn\geq N, \text{ on a } |u_n-2|<0,001

|u_n-2|<0,001\Leftrightarrow 0<\frac{5}{n+3}<0,001 d'après le 2.

0<\frac{5}{n+3}<0,001\Leftrightarrow n+\frac{3}{5}>1000\Leftrightarrow n>5000-3\Leftrightarrow n > 4997

Donc à partir de N = 4098 la distance entre les termes un et le nombre 2 est strictement inférieure à 0,001.

Exercice 2


1. quelquesoitn\in N, -1\leq (-1)^n\leq 1 \text{ donc }\frac{-1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

Or \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{-1}{n+1}=0 \text{ et } \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}=0 \text{ donc } \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0 d'après le théorème des gendarmes.

2. quelquesoitn\in N, -1\leq sin(n)\leq 1 \text{ donc } \frac{n-1}{n+1}\leq v_n\leq \frac{n+1}{n+1}

Or \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n-1}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n}{n}=1 \text{ et } \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n+1}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} 1=1 \text{ donc } \lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1 d'après le théorème des gendarmes.

3. quelquesoitn\in N,-1\leq (-1)^n\leq 1 \text{ donc } \frac{n^2-1}{n+7}\leq w_n \leq \frac{n^2+1}{n+7} donc quelquesoitn\in N, w_n\geq \frac{n^2-1}{n+7}

Or \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n^2-1}{n+7}=\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n^2}{n}=\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{n\to +\infty} w_n=+\infty d'après le théorème de comparaison.

Exercice 3


1. \sum\limits_{k=0}^{n}{4k-1}=4\times\sum\limits_{k=0}^{n}{k}-\sum\limits_{k=0}^{n}{1}=4\times \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)=2n(n+1)-(n+1)=(n+1)(2n-1)

2. \sum\limits_{k=1}^{n-1}{3k+5}=3\times \sum\limits_{k=1}^{n-1}{k}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{5}=3\times \sum\limits_{k=1}^{n-1}{k}+5\times \sum\limits_{k=1}^{n-1}{1}

\sum\limits_{k=1}^{n-1}{3k}+5=3\times \frac{n(n-1)}{2}+5(n-1)=(n-1)(\frac{3n}{2}+5)=\frac{(n-1)(3n+10)}{2}
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