Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Liban - Session Juin 2006

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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (ou 7 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité)     Durée : 3 heures
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

La courbe \mathscr{C} donnée ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction f définie et dérivable sur ]-1 ; +\infty[. On sait que la fonction f est croissante sur ]-1 ; 1] et sur [3 ; +\infty[ et que la droite \mathscr{D} est asymptote à \mathscr{C} en +\infty.

Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 1

I. Étude graphique de la fonction f

Chaque question comporte trois affirmations, une seule des trois est exacte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier l'affirmation exacte sans justifier votre choix.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse retire 0,25 point ; l'absence de réponse donne 0 point.

1. Une asymptote à \mathscr{C} est la droite d'équation :
y = -1         x = 1         x = -1


2. La droite \mathscr{D} a pour équation :
y = \frac52 x - 10         y = \frac52 x - 9         y = 3x - 10


3. Le nombre dérivé de f en 0 est
1         3         -3


4. Le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur ]-1; +\infty[ est :
2         1         3


II. Etude d'une fonction g

On note g la fonction définie sur ]-1 ; +\infty[ par g(x) = \exp(f(x))

1. Déterminer \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) puis \displaystyle \lim_{x \to 1} g(x).
2. Etudier les variations de g sur ]-1 ; +\infty[ et en dresser le tableau de variation.
3. Déterminer g'(1) et g'(0).
4. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, l'ensemble des solutions sur ]-1 ; +\infty[ de l'inéquation g(x) \leq e^2.


5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La question 6 peut être traitée indépendamment des 5 autres.
Tous les résultats seront arrondis à 10-3 près.

Un pépiniériste conditionne un mélange de 400 bulbes de fleurs composé de trois variétés :
      100 bulbes d'Anémones
      180 bulbes de Bégonias
      120 bulbes de Crocus.
On conviendra qu'un bulbe germe s'il donne naissance à une plante qui fleurit.
Après avoir planté tous les bulbes et observé leur floraison, on constate que :
        83% des bulbes germent.
        50% des bulbes d'Anémones germent.
        90% des bulbes de Bégonias germent.

On note les événements suivants :
        A : « le bulbe planté est un bulbe d'Anémone »
        B : « le bulbe planté est un bulbe de Bégonias »
        C : « le bulbe planté est un bulbe de Crocus »
        G : « le bulbe planté germe »

1. Donner les probabilités conditionnelles PA(G), PB(G) et la probabilité P(G).

2. Quelle est la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe ?

3. Quelle est la probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de Bégonias ?

4. a) Calculer la probabilité conditionnelle PC(G).
    b) Que peut-on en déduire ?

5. On considère un bulbe ayant germé. Quelle est la probabilité que ce soit un bulbe de Crocus ?

6. On considère à présent que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu'un bulbe germe est de 0,83. Il prélève au hasard successivement trois bulbes de ce stock. Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois bulbes choisis germe ?

Remarques :
1. On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.
2.On rappelle la formule des probabilités totales :
si A1, A2, ....... An forment une partition de l'univers, alors la probabilité d'un événement quelconque E est donnée par : p(E) = p(A1 \cap E) + p(A2 \cap E) + ....... + p(An \cap E).


5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.
On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous :

Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 5

Graphe G


    a) On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs différentes.
Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier.
Déterminer ce nombre.

    b) Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ?

2. Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d’instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d’autres restent à double sens. Par exemple la circulation dans l’allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulation dans l’allée située entre les bancs A et B ne pourra se faire que de A vers B. Le graphe G ' ci-dessous modélise cette nouvelle situation :

Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 6

Graphe G '


    a) Donner la matrice M associée au graphe G '. (On ordonnera les sommets par ordre alphabétique).
    b) On donne M5 = \left(\begin{array}{ccccc} 1& 6& 9& 6& 10\\ 4 &5& 7& 11& 5\\ 4& 6& 6& 11& 5\\ 1& 5& 10& 6& 10\\ 6& 5& 5& 14& 2\\ \end{array} \right)
Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ?
Les donner tous.
    c) Montrer qu’il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet A.
Quel est ce cycle ?
En est-il de même pour le sommet B ?


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Sauf indication contraire, on arrondira les résultats à 10-2 près.
Le taux de pénétration du téléphone mobile dans la population française indique le pourcentage de personnes équipées d'un téléphone mobile par rapport à la population totale.

Le tableau ci-dessous donne, entre 1998 et 2004, l'évolution de la population française et du taux de pénétration.

Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rang x_i de l'année 1 2 3 4 5 6 7
Population française en millions 60,05 60,32 60,67 61,04 61,43 61,80 62,18
Taux de pénétration yi 18,7 34,2 48,9 60,6 62,8 67,5 71,6

(Source : site de l'INSEE)

1. a) Calculer le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004.
    b) Entre ces deux années quel est le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration ?

2. Placer dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnees (x_i; yi) : les unités graphiques sont de 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 10 % sur l'axe des ordonnées.

3. L'allure du nuage suggère de chercher un ajustement de y en x de la forme : y = a ln(x) + b où a et b sont des réels. On pose pour cela z = ln(x).
    a) Recopier et compléter le tableau :

x_i 1 2 3 4 5 6 7
zi 0            
Taux de pénétration yi 18,7 34,2 48,9 60,6 62,8 67,5 71,6


    b) En déterminant avec la calculatrice une équation de la droite de régression de y en z, obtenue par la méthode des moindres carrés, donner la valeur approchée décimale à 10-2 près par défaut des coefficients a et b.

4. En admettant que cet ajustement reste fiable à moyen terme :
    a) Déterminer le taux de pénétration en 2006 que l'on peut alors envisager.
    b) A partir de quelle année peut-on penser que le taux de pénétration dépassera 85 % ?


5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [4 ; 20] par f(x) = (x - 4)e^{-0,25x + 5}.
La courbe (C) ci-dessous représente cette fonction dans un repère orthogonal.

Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 2


Partie A :

1. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [4 ; 20], f'(x) = (-0,25x + 2)e^{-0,25x + 5}

2. En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [4 ; 20].

3. a) Montrer que la fonction F définie par F(x) = -4x e^{-0,25x + 5} est une primitive de f sur l'intervalle [4 ; 20].
    b) Calculer l'intégrale \displaystyle \int_4^{20} f(x) dx.

Partie B :

Une entreprise commercialise des centrales d'aspiration.
Le prix de revient d'une centrale est de 400 €.
On suppose que le nombre d'acheteurs d'une centrale est donné par N = e^{-0,25x + 5}, où x est le prix de vente d'une centrale exprimé en centaines d'euros.

1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise, en centaines d'euros.

2. A quel prix l'entreprise doit-elle vendre une centrale pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? Donner une interprétation graphique de ces résultats.

3. Calculer la valeur moyenne du bénéfice pour x \in [4 ; 20]. On donnera le résultat à l'euro près.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

I. Etude graphique de la fonction f

1. Une asymptote à \mathscr{C} est la droite d'équation x = -1.
Explication : D'après le graphique, \displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = -\infty

2. La droite \mathscr{D} a pour équation y = \dfrac{5}{2} x - 10
Explications : La droite \mathscr{D} n'étant pas parallèle à l'axe des abscisses, elle a une équation du type y = ax + b. De plus, la droite \mathscr{D} passe par les points de coordonnées (4 ; 0) et (5 ; 2,5). On a donc :
a = \dfrac{2,5 - 0}{5 - 4} = 2,5 = \dfrac{5}{2}
L'équation réduite de la droite \mathscr{D} est donc y = \dfrac{5}{2} x + b
Déterminons le coefficient b, l'ordonnée à l'origine. La droite \mathscr{D} passe par le point de coordonnées (4 ; 0), donc : 0 = \dfrac{5}{2} \times 4 + b, donc 0 = 10 + b, donc b = -10.
D'où : l'équation réduite de la droite \mathscr{D} est y = \dfrac{5}{2} x - 10.

3. Le nombre dérivé de f en 0 est 3.
Explication : D'après le graphique, la tangente à \mathscr{C} en 0 a pour coefficient directeur 3.

4. Le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur ]-1 ; +\infty[ est 3.
Explication : la courbe \mathscr{C} coupe trois fois l’axe des abscisses sur ]-1 ; +\infty[.

II. Etude d'une fonction g

1. Déterminons \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) :
Comme \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, alors en posant X = f(x), \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \hspace{2pt} \exp(f(x)) = \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \hspace{2pt} \exp(X) = +\infty
D'où : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

    Déterminons \displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) :
Comme \displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 2, alors \displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) = \displaystyle \lim_{x \to 1} \hspace{2pt} \exp(f(x)) = \displaystyle \lim_{X \to 2} \hspace{2pt} \exp(X) = e^2
D'où : \displaystyle \lim_{x \to 1} g(x) = e^2

2. Etudions les variations de g sur ]-1 ; +\infty[ :
Sur l'intervalle ]-1 ; 1], les fonctions f et exp sont croissantes. Sur cet intervalle, la fonction composée g existe. Or, si deux fonctions ont le même sens de variation sur un intervalle I, alors leur composée est croissante sur I. On en déduit que g = exp(f) est croissante sur ]-1; 1].
De même, sur [3 ; +\infty[, les fonctions f et exp sont croissantes. On en déduit que g = exp(f) est croissante sur [3 ; +\infty[.
Sur [1 ; 3], la fonction f est décroissante et la fonction exp est croissante. Or, si deux fonctions ont des sens de variations contraires sur un intervalle I, alors leur composée est décroissante sur I. On en déduit que g = exp(f) est décroissante sur [1 ; 3].

    Dressons le tableau de variations :
\begin{array}{|c|cccccccc|}  \hline  x & -1 & & & 1 & & 3 & & +\infty\\  \hline  \hspace{1pt} &||& & & e^2& & & & +\infty \\ g(x) &||& & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt}  &||& 0 & & & & e^{-1} & & \\ \hline  \end{array}

3. Déterminons g'(1) et g'(0) :
Rappel : Dérivation d'une fonction composée :

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J tel que, pour tout x de I, u(x) appartient à J,
alors la fonction composée g \circ u est dérivable sur I et pour tout x de I, on a : (g \circ u)'(x) = g'(u(x)) \times u'(x)

En utilisant cette formule, la dérivée de la fonction g est g'(x) = \exp'(f(x)) \times f'(x) = \exp(f(x)) \times f'(x)
f '(0) = 3 et f(0) = 1, donc g'(0) = exp(f(0)) × f '(0) = exp(1) × 3
D'où : g'(0) = 3e

f '(1) = 0, donc g'(1) = exp(f(1)) × f '(1) = exp(f(1)) × 0
D'où : g'(1) = 0

4. Déterminons l'ensemble des solutions sur ]-1 ; +\infty[ de l'inéquation g(x) \leq e^2 :
Pour tout x de ]-1 ; +\infty[,
g(x) \leq e^2\\ \Longleftrightarrow \exp(f(x)) \leq e^2\\ \Longleftrightarrow \ln\left( \exp (f(x)) \right) \leq \ln e^2 \hspace{5pt} \text{ car la fonction logarithme est croissante sur } ]0 ; +\infty[\\ \Longleftrightarrow f(x) \leq 2
Avec la précision permise par le graphique, l’ensemble des solutions est : \mathscr{S} = ]-1 ; 4,6]
Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 3





exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Donnons les probabilités conditionnelles PA(G), PB(G) et la probabilité P(G) :
PA(G) désigne la probabilité qu'un bulbe planté germe sachant que le bulbe planté est une Anémone.
On sait que 50% des bulbes d'Anémones germent, donc PA(G) = \dfrac{50}{100} = 0,5.

PB(G) est la probabilité qu'un bulbe planté germe sachant que le bulbe planté est un bégonia.
On sait que 90% des bulbes de bégonias germent, donc PB(G) = \dfrac{90}{100} = 0,9.

P(G) est la probabilité de l’évènement « le bulbe planté germe ».
On sait que 83% des bulbes germent, donc P(G) = \dfrac{83}{100} = 0,83.

2. Probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe :
L'événement un bulbe planté est un bulbe d'Anémone qui germe correspond à " A \cap G ".
Déterminons P(A \cap G) :
P(A \cap G) = PA(G) × P(A)
Or, le pépiniériste a 100 bulbes d'Anémones sur un mélange de 400 bulbes de fleurs. Donc, P(A) = \dfrac{100}{400} = 0,25.
P(A \cap G) = PA(G) × P(A) = 0,5 × 0,25 = 0,125
D'où : la probabilité qu'un bulbe planté soit un bulbe d'Anémone qui germe est 0,125.

3. Probabilité que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de Bégonias :
La probabilité de cet évènement est P(G \cup B) = P(G) + P(B) - P(G \cap B).
Or, le pépiniériste a 180 bulbes de bégonias sur un mélange de 400 bulbes de fleurs. Donc P(B) = \dfrac{180}{400} = 0,45. Et P(G \cap B) = PB(G) × p(B) = 0,9 × 0,45 = 0,405.
Donc : P(G \cup B) = P(G) + P(B) - P(G \cap B) = 0,83 + 0,45 - 0,405 = 0,875.
D'où : la probabilité pour que le bulbe planté soit un bulbe qui germe ou soit un bulbe de Bégonias est de 0,875.

4. a) Calculons la probabilité conditionnelle PC(G) :
P(G) = P(A \cap G) + P(B \cap G) + P(C \cap G), donc :
P(C \cap G) = P(G) - P(A \cap G) - P(B \cap G)
Or, P(C \cap G) = PC(G) × P(C), donc :
PC(G) × P(C) = P(G) - P(A \cap G) - P(B \cap G), soit :
PC(G) = \dfrac{P(G) - P(A \cap G) - P(B \cap G)}{P(C)}.
Le pépiniériste a 120 bulbes de crocus sur un mélange de 400 bulbes de fleurs. Donc P(C) = \dfrac{120}{400} = 0,3.
Donc : PC(G) = \dfrac{0,83 - 0,125 - 0,405}{0,3} = \dfrac{0,3}{0,3}
D'où : PC(G) = 1

4. b) Comme PC(G) = 1, alors on peut en déduire que tous les bulbes de croucus germent.

5. On considère un bulbe ayant germé. Déterminons la probabilité pour que ce soit un bulbe de Crocus :
On doit donc déterminer la probabilité PG(C) :
PG(C) = \dfrac{P(C \cap G)}{P(G)} = \dfrac{P_C(G) \times P(C)}{P(G)} = \dfrac{1 \times P(C)}{P(G)} = \dfrac{0,3}{0,83}
D'où : en considérant un bulbe ayant germé, la probabilité pour que ce soit un bulbe de Crocus est de 0,361 à 10-3 près.

6. Déterminons la probabilité pour qu'au moins un des trois bulbes choisis germe :
En choisissant au hasard trois bulbes successivement dans le stock (les trois prélévements sont effectués indépendamment les uns des autres), on répète trois fois une épreuve de Bernoulli.
La loi de probabilité est donc une loi binomiale de paramètres 3 (trois épreuves de Bernoulli indépendantes) et 0,83 (probabilité qu'un bulbe germe).
L'événement " au moins un des trois bulbes choisis germe " est l'évènement contraire de l'évènement " les trois bulbes ne germent pas ".
La probabilité pour qu'un bulbe ne germe pas est égale à 1 - 0,83.
Donc la probabilité qu’aucun des trois bulbes germent est de :(1 - 0,83)^3.
Ainsi la probabilité qu’au moins un des trois bulbes germe est de 1 - (1 - 0,83)^3 = 1 - 0,17^3 \approx 0,995 (à 10-3 près).




exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) On cherche le nombre chromatique. Le sous-graphe BCD est un sous-graphe complet d'ordre maximal, donc le nombre chromatique est minoré par 3.
Le degré le plus grand est 3 donc le nombre chromatique est majoré par 4. Par conséquent, le nombre minimal de couleur est compris entre 3 et 4.
Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 8

On a donc trouvé une coloration comportant exactement 3 couleurs, par conséquent, le nombre minimal de couleur est 3.

1. b) Puisque la chaîne A-B-C-D-E passe par tous les sommets du graphe, ce graphe G est connexe
Or, le graphe contient exactement deux sommets de degré impair. Donc, d'après le théorème d'Euler, il existe une chaîne passant par toutes arêtes du graphe, une fois et une seule. Cela veut dire qu'il est possible de parcourir toutes les allées du parc sans passer deux fois par la même allée.

2. a) On a :
M=\begin{pmatrix} 0&1&0&0&1 \\ 0&0&1&1&0\\0&1&1&0&0\\0&0&1&0&1\\1&0&0&1&0\end{pmatrix}

2. b) Dans la matrice M^{5}, le coefficient m_{42} est 5. Il y a donc 5 chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B.
Ces chemins sont : D-C-B-D-C-B, D-C-D-E-A-B, D-E-D-E-A-B, D-E-A-B-C-B et D-E-A-E-A-B.

2. c) Un cycle est une chaîne ayant le départ identique à l'arrivée.
Dans la matrice M^{5}, le coefficient m_{11} est 1, donc il existe une unique cycle de longueur 5 partant de A. Ce cycle est A-B-C-D-E-A.
Dans la matrice M^{5}, le coefficient m_{22} est 5, donc il existe 5 cycles de longueur 5 partant de B.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Calculons le nombre, en millions, de personnes équipées d'un téléphone mobile en 1999 et en 2004 :
En 1999, il y a 34,2% des 60,32 millions de personnes qui sont équipées d’un téléphone portable, c'est-à-dire : \dfrac{34,5}{100} \times 60,32 = 20,62944
Il y a 20,63 millions de personnes (arrondi à 10-2 près) équipées d’un téléphone portable en 1999.

En 2004, il y a 71,6% des 62,18 millions de personnes qui sont équipées d’un téléphone portable, c'est-à-dire :
\dfrac{71,6}{100} \times 62,18 = 44,52088
Il y a 44,52 millions de personnes (arrondi à 10-2 près) équipées d’un téléphone portable en 2004.

1. b) Déterminons le pourcentage d'augmentation du taux de pénétration entre ces deux années :
\dfrac{71,6 – 34,2}{34,2} \times 100 \approx 109,36 à 10-2 près.
Entre 1999 et 2004, le taux de pénétration a augmenté de 109,36%.

2. Plaçons dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnees (x_i; yi) :
Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 4


3. a) Complétons le tableau :

x_i 1 2 3 4 5 6 7
zi 0 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79 1,95
Taux de pénétration yi 18,7 34,2 48,9 60,6 62,8 67,5 71,6


3. b) Donner la valeur approchée décimale à 10-2 près par défaut des coefficients a et b :
\bar{z} = \dfrac{0,69 + 1,10 + 1,39 + 1,61 + 1,79 + 1,95}{7} \approx 1,22\\ \bar{y} = \dfrac{18,7 + 34,2 +  48,9 + 60,6 + 62,8 + 67,5 + 71,6}{7} \approx 52,04

C_{zy} = \dfrac{(0 - 1,22)(18,7 - 52,04) + (0,69 - 1,22)(34,2 - 52,04) + (1,10 - 1,22)(48,9 - 52,04) + (1,39 - 1,22)(60,6 - 52,04)}{7} \\ + \dfrac{(1,61 - 1,22)(62,8 - 52,04) + (1,79 - 1,22)(67,5 - 52,04) + (1,95 - 1,22)(71,6 - 52,04)}{7}\\ \approx 11,30

V(z) = \dfrac{(0 - 1,22)^2 + (0,69 - 1,22)^2 + (1,10 - 1,22)^2 + (1,39 - 1,22)^2 + (1,61 - 1,22)^2 + (1,79 - 1,22)^2 + (1,95 - 1,22)^2}{7} \approx 0,40
a = \dfrac{C_{zy}}{V(z)} \approx 28,11
b = \bar{y} - a \bar{z} \approx 17,80
D'où : y = 28,11z + 17,8

4. a) Déterminons le taux de pénétration en 2006 que l'on peut envisager :
En 2006, x = 1 + (2 006 - 1 998) = 9
Donc : y = 28,11 \times ln(9) + 17,80 \approx 79,58
Le taux de pénétration en 2006 que l'ont peut envisager est 79,58 %.

4. b) On veut que le taux de pénétration dépasse 85 %, donc y > 85, donc :
28,11 \times \ln(x) + 17,80 > 85\\ \ln(x) > \frac{85 - 17,80}{28,11}\\ x > e^{\frac{85 - 17,80}{28,11}}\\ x > 10,9
D'où x doit au moins être égal à 11.
1998 + 10 = 2008
On peut penser que le taux de pénétration dépassera 85 % en 2 008.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. On a pour tout x \in [4 ; 20] :
\begin{matrix} f'(x) &=& (x-4)' e^{-0.25x+5}  + (x-4)[ e^{-0.25x+5} ]^{'} \\  &=& e^{-0.25 x + 5} - 0.25 \times (x - 4)  e^{-0.25 x + 5}\\  &=& e^{-0.25 x + 5} +(-0.25 x + 1)  e^{-0.25 x + 5} \\  &= &(1 - 0.25 x +1)  e^{-0.25 x + 5} \\ & =& (-0.25 x + 2)  e^{-0.25 x + 5}\end{matrix}

2. La fonction exponentielle est toujours positive, ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [4,20] \text{ , } e^{-0.25 x + 5} \geq 0
Le signe de la fonction f' dépend entièrement de celui de l'expression -0.25 x + 5.
Or, on a: -0.25 x + 5 = 0 \Longleftrightarrow  x = 8
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline  x               &4      &          &8               &             &20\\ \hline f^{'}(x)         &       & +        &0               & -           &   \\ \hline \niveau{2}{2} f  &0      &\croit    &    4e^{3}      &\decroit     &16 \\ \hline \end{tabvar}


3. a)
\begin{matrix}F'(x) &=& -4 e^{-0.25 x + 5} - 0.25 \times (-4) x \times e^{-0.25 x + 5} \\  &=&-4e^{-0.25 x + 5} + x e^{-0.25 x + 5} \\  &=&f(x)\end{matrix}
Ainsi F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [4,20]

3. b)
\displaystyle\int_4^{20} f(x)  dx = \left[F(x)\right]_4^{20} = F(20)  - F(4)  = -80 + 16 e^{4}

Partie B:

1. Le bénéfice est obtenu par le calcul : \text{ (prix de vente - prix de revient) } \times \text{ nombre d'acheteurs }, donc c'est bien f(x).

2. D'après le tableau de variation, f admet un maximum en x = 8.
Ainsi l'entreprise doit vendre une centrale pour réaliser un bénéfice maximal à 800 euros
f(8) = 4 e^{3} \approx 80.3
Ce bénéfice maximal est 8 000 euros
Bac ES Liban Juin 2006 - Terminale : image 9


3.
\displaystyle \dfrac{1}{20-4} \int_4^{20} f(x)  dx \approx 50
La valeur moyenne est à peu près 50 euros.
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