Fiche de mathématiques
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Bac Général
Série Économique et Social
Polynésie Française - Session 2006

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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (ou 7 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité)     Durée de l'épreuve : 3 heures
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la bonne affirmation. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

1. Si la fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R} alors l'équation f(x) = 0 admet :
  • Au moins une solution.
  • Au plus une solution.
  • Exactement une solution.


2. Si la fonction f est continue sur [a ; b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 admet :
  • Au moins une solution.
  • Au plus une solution.
  • Exactement une solution.


3. Si la fonction f est continue et positive sur [a ; b] et \mathscr{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
En unités d'aire, l'aire A du domaine délimité par \mathscr{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b est donnée par la formule :
  • A = \displaystyle \int_b^a f(x) \text{d}x.
  • A = \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x.
  • A = f(b) - f(a).


4. Un produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20%.
Si l'on veut revenir au prix initial, il faut :
  • Diminuer le prix de 20%.
  • Diminuer le prix de \frac{1}{20}%.
  • Diminuer le prix de 100 euros.



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On sait que la courbe \mathscr{C}_f d'une fonction numérique f définie sur ]-2 ; +\infty[, passe par les points O(0 ; 0) et A(-1 ; 0), que la tangente à \mathscr{C}_f en O a pour coefficient directeur \ln(2) et la tangente à \mathscr{C}_f en A apour équation y = x + 1.

1. a) A l'aide des données ci-dessus, donner la valeur de f(0), de f'(0), de f(-1) et de f'(-1).
   b) Donner une équation de la tangente en O à \mathscr{C}_f.

2. Nous savons qu'il existe des réels a, b et c tels que pour tout x > -2 :
f(x) = (ax^2 + bx + c) \ln(x + 2)

   a) Exprimer f(0) à l'aide de a, b et c.
   b) Exprimer f'(x) à l'aide de a, b et c.
   c) En déduire f'(0) et f'(-1) à l'aide de a, b et c.
   d) En déduire les valeurs de a, b et c.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une compagnie aérienne propose des vols directs entre certaines villes, notées A, B, C, D, E, F et G.
Cela conduit au graphe \mathscr{G} suivant, dont les sommets sont les villes et les arêtes représentent les liaisons aériennes :
sujet du bac ES Polynésie 2006 : image 1


1. Le graphe \mathscr{G} est-il complet ? Quel est l?ordre de \mathscr{G} ?

2. a) Sur les cartes d?embarquement, la compagnie attribue à chaque aéroport une couleur, de sorte que deux aéroports liés par un vol direct aient des couleurs différentes.
Proposer un coloriage adapté â cette condition.
   b) Que peut-on en déduire sur le nombre chromatique de \mathscr{G} ?

3. a) Quelle est la nature du sous graphe formé par les sommets A, B, C et D ?
   b) Quel est le nombre minimal de couleurs que la compagnie doit utiliser pour pouvoir attribuer une couleur à chaque aéroport en respectant les conditions du 2. ?

4. a) En considérant les sommets dans l?ordre alphabétique, construire la matrice M associée à \mathscr{G}.
   b) On donne : M8 = \left( \begin{array}{ccccccccccccc} 6945&\;&9924&\;&8764&\;&8764 &&9358  &\;&3766 &\;&5786\\ 9924&&14345  &&12636   &&12636 &&13390  &&5486    &&8310\\ 8764&&12636  &&11178   &&11177 &&11807  &&4829    &&7369\\ 8764&&12636  &&11177   &&11178 &&11807  &&4829    &&7369\\ 9358&&13390  &&11807   &&11807 &&12634  &&5095    &&7807\\ 3766&&5486   &&4829    &&4829  &&5095  &&2116   &&3181\\ 5786&&8310   &&7369    &&7369  &&7807   &&3181   &&4890\\ \end{array} \right)
Combien y a-t-il de chemins de longueurs 8 qui relient B à D ?

5. a) Pourquoi est-il impossible pour un voyageur de construire un itinéraire qui utilise chaque liaison aérienne une et une seule fois ?
   b) Montrer qu'il est possible de construire un tel itinéraire en ajoutant une seule liaison qui n'existe pas déjà et que l'on précisera.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une enquête est réalisée auprès des clients d?une compagnie aérienne. Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons.
Sur l?ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe.
En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe.

On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client a la même probabilité d?être choisi.
On note :
A l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles »
T l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons touristiques »
D l'événement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
V l'événement « le client interrogé voyage en première classe ».

Si E et F sont deux événements, on note p(E) la probabilité que E soit réalisé, et pF(E) la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé. D?autre part, on notera \bar{\text{E}} l'événement contraire de E.

1. Déterminer : p(A), p(T), p(V), pA(V) et pT(V).

2. a) Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.
   b) Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.
   c) En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.

3. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu?il a choisi la première classe.

4. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.
On note pn la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.
    a) Prouver que : pn = 1 - 0,4n.
    b) Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn > 0,9999.


6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout x \in \mathbb{R} par : f(x) = \left(x^2 + x + 1\right)e^x.
Dans le repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) d'unité graphique 2 cm sur chaque axe, on note \mathscr{C}_f sa représentation graphique et \mathscr{C}_{\text{\exp}} la représentation graphique de la fonction exponentielle.

1. a) Déterminer la limite de f en +\infty.
   b) Donner les valeurs de \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 e^x et de \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x e^x.
   c) En déduire que \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0. Que peut-on en déduire graphiquement ?

2. a) On note f' la fonction dérivée de f sur \mathbb{R}, montrer que f'(x) = (x + 1)(x + 2)e^x.
   b) Etudier le signe de f'(x) sur \mathbb{R}.
   c) En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3. Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

4. a) Préciser les positions relatives de \mathscr{C}_f et de \mathscr{C}_{\text{\exp}}.
   b) Construire ces deux courbes dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).

5. Soit F la fonction définie pour tout x \in \mathbb{R} par : \text{F}(x) = \left(x^2 - x + 2\right)e^x.
Prouver que F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

6. a) Déterminer la valeur exacte de l?aire en cm² du domaine D délimité par la courbe \mathscr{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = -1 et x = 0.
   b) Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm² du domaine D' délimité par les courbes \mathscr{C}_f et \mathscr{C}_{\text{\exp}}, et les droites d?équations x = -1 et x = 0.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Affirmation 2
Explication: Si la fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R}=]-\infty,+\infty[ , deux réels différents de ]-\infty,+\infty[ auront deux images par f différentes. En particulier, on ne peut pas trouver deux réels de \mathbb{R} qui ont tout les deux 0 comme image par f.

2. Affirmation 1
Explication: f est continue sur [a,b] et f(a) et f(b) sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet donc au moins une solution.

3. Affirmation 2
Explication: D'après la définition de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction positive et continue sur un segment [a,b] et par x=a \text{ et } x=b (Cours)

4. Affirmation 3
Explication: 20% de 500 euros est: \displaystyle \frac{20}{100}.500=100 \text{ euros}




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a)
f(0)=0 car: \text{   }O(0,0)   \in \mathcal{C}_f
f^{'}(0)= \ln(2) car: \text{   } la tangente en O a pour coefficient directeur \ln(2)
f(-1)= 0 car: \text{   } A(-1,0)\in \mathcal{C}_f
f^{'}(-1)= 1 car: \text{   } la tangente à \mathcal{C}_f en A a pour équation (y = x+1)\Longleftrightarrow (y=f^{'}(-1)(x+1)+f(-1)) , et puisque f(-1)=0, donc f^{'}(-1)=1

1.b)
L'équation de la tangente en a=0 est donnée par la formule:
\begin{matrix} y=f^{'}(a)(x-a)+f(a)&\Longleftrightarrow& y=f^{'}(0)(x-0) +f(0) \\ &\Longleftrightarrow& y= x \ln(2) +0 \\&\Longleftrightarrow& \boxed{y= x\ln(2)}\end{matrix}

2.a)
Simple calcul: f(0)= c\ln(2)

2.b)
\forall x \in ]-2,+\infty[ \text{ : } f^{'}(x)=(2ax+b)\ln(x+2)+\displaystyle \frac{1}{x+2} (ax^{2}+bx+c)

2.c)
f^{'}(0)=b\ln(2) +\displaystyle \frac{1}{2}c
f^{'}(-1)=(-2a+b)\ln(1)+(a-b+c)= a-b+c \text{ car }\ln(1)=0

2.d)
On avait vu dans 1.a) que: \begin{cases} f(0)=0\\ f^{'}(0)= \ln(2) \\ f^{'}(-1)= 1 \end{cases}
On obtient donc: \begin{matrix} \begin{cases} c\ln(2)=0\\ b\ln(2) +\displaystyle \frac{1}{2}c= \ln(2) \\ a-b+c= 1 \end{cases} &\Longleftrightarrow & \begin{cases} c=0\\ b\ln(2)= \ln(2) \\ a-b= 1 \end{cases} &\Longleftrightarrow & \begin{cases} c=0\\ b=1 \\ a-1= 1 \end{cases} &\Longleftrightarrow & \boxed{\begin{cases} c=0\\ b=1\\ a=2\end{cases}} \end{matrix}

Remarque: La fonction f devient alors: \forall x \in ]-2,+\infty[ \text{ : } f(x) =(2x^2+x)\ln(x +2)




exercice 2 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ



1.
Puisque les sommets ne sont pas tous 2 à 2 joints par une arête (par exemple A et G, ou encore F et C, ...), le graphe n'est pas complet.
Le graphe comprend 7 sommets, l'ordre est donc 7

2.a)
On attribue à \begin{cases} \text{A la couleur n°1}\\ \text{B la couleur n°2} \\ \text{C la couleur n°3}\\ \text{D la couleur n°4} \end{cases}

Donc\begin{cases} \text{E aura la couleur n°1 car E n'est pas adjacent à A}\\ \text{F aura la couleur n°2 car F n'est pas adjacent à B} \\ \text{G aura la couleur n°3 car G n'est pas adjacent à C} \end{cases}

On dénombre ainsi 4 couleurs différentes.

sujet du bac ES Polynésie 2006 : image 3


2.b)
Le nombre chromatique d'un graphe est le plus petit nombre de couleurs permettant de colorier les sommets de ce graphe de façon que deux sommets adjacents soient toujours de couleurs différentes.Le nombre chromatique est donc 4.

3.a)
Le sous-graphe A,B,C,D est un sous-graphe complet d'ordre 4 car les sommets sont tout les quatre 2 à 2 joints par une arête.

3.b)
Puisque le sous-graphe formé par les quatre points A, B, C et D est complet, les sommets A, B, C et D doivent tous être de couleurs différentes. Le nombre minimal de couleurs est donc 4.

4.a)
La matrice est la suivante:
M=\begin{pmatrix} 0 &1&1&1&0&0&0 \\1&0&1&1&1&0&1\\1&1&0&1&1&0&0\\1&1&1&0&1&0&0\\0&1&1&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&0&1\\0&1&0&0&1&1&0 \end{pmatrix}


4.b)
Le point d'intersection de la 2ème ligne avec la 4ème colonne donne: 12636
On a donc 12636 chemins de longueur 8 qui relient B à D.

5.a)
Sommet A B C D E F G
Degré 3 5 4 4 5 2 3


On sait qu'un graphe est eulérien si et seulement si il a au plus deux sommets de degré impair, dans notre cas, il y en a 4, donc le graphe n'est pas eurélien, Il est donc impossible pour un voyageur de définir un itinéraire utilisant chaque liaison aérienne une fois et une seule.

5.b)
Afin que le graphe ait deux sommets de degré impair, il suffit d'établir une liaison entre deux sommets impairs qui ne sont pas encore joints (comme entre A et E ou encore entre A et G).Le graphe a 2 sommets de degré impair et il s'agit d'un graphe eurélien.




exercice 3



1.
40\% des voyageurs utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles donc: p(A) = \displaystyle\frac{40}{100}= 0.4
35\% des voyageurs utilisent la compagnie pour des raisons touristiques donc: p(T) =\displaystyle\frac{35}{100}= 0.35
40\% des clients voyagent en 1ère classe,donc: p(V) = \displaystyle\frac{40}{100}=0.4
60\% des clients voyagent en 1ère classe pour raisons professionnelles: p_{A}(V) = \displaystyle\frac{60}{100}=0.6
20\% des clients voyagent en 1ère classe pour raison touristiques: p_{T}(V) = \displaystyle\frac{20}{100}=0.2

2.a)
p(A\cap ­V)= p(A)\times p_{A}(V)=0.4 \times 0.6= 0.24

2.b)
p(T\cap ­V)= p(T)\times p_{T}(V)=0.35 \times 0.2= 0.07

2.c)
0n a: p(V)=p(A\cap V)+p(T\cap V)+p(D\cap V)
Donc: p(D\cap V)=p(V)-p(A\cap V)+p(T\cap V)=0.4-0.24-0.07=0.09

3.
p_{V}(A)=\displaystyle \frac{p(A\cap V)}{p(V)}=\frac{0.24}{0.4}=0.6

4.a)
La probabilité que "tous les clients voyagent en première classe" est: 0.4^{n}
L'événement "au moins un de ces clients voyage en 2nd classe" est l'événement contraire de: "tous les clients voyagent en première classe"
Et puisque p_{n} représente la probabilité de ce dernier, alors: p_{n}=1-0.4^{n}

4.b)
Soit n\in\mathbb{N}^{*}-\lbrace 1\rbrace:
\begin{matrix} p_{n}>0.9999 &\Longleftrightarrow& 1-0.4^{n}>0.9999 \\&\Longleftrightarrow& 0.4^{n}<1-0.9999\\&\Longleftrightarrow& 0.4^{n}<0.0001 \\&\Longleftrightarrow& \ln(0.4^{n})<\ln(0.0001) \\&\Longleftrightarrow& n\ln(0.4) <\ln(0.0001) \\&\Longleftrightarrow& n> \displaystyle \frac{\ln(0.0001)}{\ln(0.4)} \\&\Longleftrightarrow& n>10.05... \\&\Longleftrightarrow& n\geq 11 \end{matrix}

n=11 est le plus petit entier pour lequel p_n > 0,9999



exercice 4



\forall x\in\mathbb{R} \text{ : } f(x)=(x^{2}+x+1)e^{x}

1.a)
D'après le cours: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^2+x+1=+\infty \text{ et } \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty
Donc par produit: \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2+x+1)e^{x}=+\infty

1.b)
Puisqu'à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, alors:
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{x}=0 \text{ et } \lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}=0

1.c)
\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^2+x+1)e^{x}=\lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}+xe^{x}+e^{x}
On a: \displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^{x}=0 \text{ et d'après 1.b) } \begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{x}=0 \\\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}=0\end{cases}

0n en déduit que: \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=0

Graphiquement: On en déduit que l'axe des abscisses (y=0) est asymptote à \mathcal{C}_{f} en -\infty.

2.a)
f est dérivable sur \mathbb{R}. Donc \forall x\in\mathbb{R}:
\begin{matrix} f^{'}(x)&=& [(x^2+x+1)e^{x}]^{'} \\&=&(x^2+x+1)^{'}e^{x}+(x^2+x+1)(e^{x})^{'} \\&=& (2x+1)e^{x} +(x^{2}+x+1)e^{x}\\&=& (x^{2}+3x+2)e^{x} \end{matrix}

D'autre part: \forall x\in\mathbb{R} \text{ : } (x+1)(x+2)=x^{2}+2x+x+2=x^{2}+3x+2

On en déduit que: \forall x\in\mathbb{R} \text{ : } f^{'}(x)=(x+1)(x+2)e^{x}

2.b)
On sait que: \forall x\in\mathbb{R} \text{ : } e^{x}>0. Donc, le signe de f^{'}(x) est le signe du produit (x+1)(x+2).

Le signe d'une fonction polynomiale de 1er degré est simple: \begin{cases} \forall x\leq -2 \text{ : } x+2\leq 0  \text{ et  }  \forall x\geq -2 \text{ : } x+2\geq 0 \\ \forall x\leq -1 \text{ : } x+1\leq 0  \text{ et  }  \forall x\geq -1 \text{ : } x+1\geq 0 \end{cases}

Table de signes:
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCCCCC|} \hline x        & -\infty &   &  & -2 &  &  &  & -1  & &   & +\infty &\\ \hline x+1      &         &  -&  &  | &  & -&  &  0  & & + &         &\\ \hline x+2      &         &  -&  & 0  &  & +&  &  |  & & + &         &\\ \hline f^{'}(x) &         &  +&  & 0  &  & -&  &  0  & & + &         &\\ \hline \end{tabvar}


2.c)
On déduit directement de la question 2.b) la table de variations de la fonction f:

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCCCCC|} \hline x                  & -\infty &        &         & -2       &   &           &     & -1      &   &        & +\infty &\\ \hline f^{'}(x)           &         &  +     &         & 0        &   & -         &     &  0      &   & +      &         &\\ \hline \niveau{2}{2} f(x) & 0       & \croit &         &  3e^{-2} &   & \decroit  &     &  e^{-1} &   & \croit & +\infty &\\ \hline \end{tabvar}



3.
Puisque: 3e^{-2}>0 \text{ et } e^{-1}>0
Alors d'après la table de variations de f , \forall x\in\mathbb{R} \text{ : } f(x)>0
On en déduit que f est positive sur \mathbb{R}

4.a)
Rappelons que \mathcal{C}_{f} est la représentation graphique de la fonction f tandis que \matchal{C} est la représentation de la fonction x\to\e^{x}
Pour trouver les positions relatives de \mathcal{C}_{f} et de \mathcal{C}. Il faut étudier le signe de la fonction x\to f(x)-e^{x} sur \mathbb{R} :
\forall x\in\mathbb{R}:
\begin{matrix} f(x)-e^{x}&=&(x^{2}+x+1)e^{x}-e^{x}\\&=&(x^{2}+x+1-1)e^{x}\\&=&(x^{2}+x)e^{x}\\&=&x(x+1)e^{x} \end{matrix}
Sachant que: \forall x\in\mathbb{R} \text{ : } e^{x}>0. Le signe de f(x)-e^{x} est celui de x(x+2)

Table de signes et de positions:

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCCCCC|} \hline x                      & -\infty &   &  & -1 &  & 0&  &  & &   & +\infty &\\ \hline x                      &         &   & -&  | & -& 0&  &  &+&   &         &\\ \hline x+1                    &         &   & -&  0 & +& |&  &  &+&   &         &\\ \hline  f(x)-e^{x}            &         &   & +&  0 & -& 0&  &  &+&   &         &\\ \hline \niveau{2}{2} \text{Position} &        &   & \mathcal{C}_{f} \text{ est en dessus de } \mathcal{C} &  |\overbrace{\text{Intersection (-1,f(-1))}} | &  \mathcal{C}_{f} \text{ est en dessous de } \mathcal{C}&  |\overbrace{\text{Intersection (0,f(0))}}|&  &  &\mathcal{C}_{f} \text{ est en dessus de } \mathcal{C} &   &         &\\ \hline  \end{tabvar}


4.b)

sujet du bac ES Polynésie 2006 : image 2


5.
\begin{matrix}\forall x\in\mathbb{R} \text{ : }  F^{'}(x)&=&[(x^2-x+2)e^x]^'\\&=& (2x-1)e^x+(x^2-x+2)e^x \\&=& (x^2+x+1)e^x \\&=& f(x) \end{matrix}

F est bien une primitive de  f

6.a)

On sait que l'aire en unités d'aires est: \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)dx , or, l'unité de longueur vaut 2 cm et donc l'unité d'aire vaut: 2x2 = 4 cm2
On en déduit que:
\begin{matrix} \mathcal{A}&=&4\displaystyle \int_{-1}^{0}f(x)dx\\&=&4\displaystyle[F(x)]_{-1}^{0}\\&=&4\displaystyle[(x^2-x+2)e^x]_{-1}^{0}\\&=&4\displaystyle(2-4e^{-1})\\&=&\displaystyle 8(1-2e^{-1})\text{ cm }\end{matrix}

6.b)
Calculons l'aire délimitée par \mathcal{C} \text{ , } x=-1 \text{ , } x=0 \text{ et l'axe des abscisses}:
\begin{matrix} \mathcal{A}'&=&4\displaystyle \int_{-1}^{0}e^x dx \\&=&4\displaystyle [e^x]_{-1}^{0}\\&=&4(1-e^{-1}) \text{ cm} \end{matrix}

On en déduit L'aire demandé: \mathcal{A}'-\mathcal{A}=4(1-e^{-1})-8(1-2e^{-1})=-4+12e^{-1} = 4(3e^{-1}-1) \text{ cm}
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