Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Session 2006

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 5 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 7 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 3 heures

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [-3 ; + $\infty$ [, croissante sur les intervalles [-3 ; -1] et [2 ; + $\infty$ [ et décroissante sur l’intervalle [-1 ; 2].
On note $f'$ sa fonction dérivée sur l’intervalle [-3 ; + $\infty$ [.
La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Elle passe par le point A(-3 ; 0) et admet pour asymptote la droite $\Delta$ d’équation y = 2 $x$ - 5.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse). Les réponses ne seront pas justifiées.
NOTATION : une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.

    a) L'équation $f(x) = 4$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-3 ; + $\infty$ [.
    b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .
    c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (2x - 5)\right] = +\infty$ .
    d) $f'(0) = 1$ .
    e) $f'(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [-2 ; 1].
    f) $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx \geq 7$ . 5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés.
Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres.

On choisit au hasard un de ces DVD.
On note :
D l'événement « le DVD a été reçu en dotation » et $\bar{\text{D}}$ l'événement contraire,
U l'événement « le DVD est de production européenne » et $\bar{\text{U}}$ l’événement contraire.
On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités :
par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est p(D) = 0,25.

On donne, de plus, la probabilité de l'événement U : p(U) = 0,7625.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

1. a) Donner la probabilité de U sachant D.
b) Calculer p( $\bar{\text{D}}$ ).

2. a) Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte).
b) Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à 0,6.

3. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de production européenne.

Partie B :

On choisit trois DVD au hasard. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à 0,25.

Déterminer la probabilité de l'événement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation ». (Donner la valeur décimale arrondie au millième). 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :
- si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
- si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.

Première partie :

On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».

1. Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.

2. En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est M = $\left(\begin{array}{ccc} 0,40&&0,60\\ 0,35&&0,65\\ \end{array}\right)$ .
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne (70 120).
En donner une interprétation.

Deuxième partie :

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle X_n (n entier naturel) le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l’année 2000 + n. On a donc X₀ = 60.

On admet que pour tout entier naturel n, X_n+1 = 0,05X_n + 66,5.

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel n par u_n = X_n - 70.

1. Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, X_n = 70 - 10 × 0,05ⁿ.
Est-il possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ? 5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.

Le tableau ci-dessous donne la consommation médicale (exprimée en milliards d'euros) de la population d’un pays :

Année	1990	1995	2000	2001	2002	2003
Rang de l'année $x_i$	0	5	10	11	12	13
Consommation y_i	38	49,1	51,81	57	62,7	68,97

D'après INSEE.

Partie A :

Le but de cette partie est de mettre en oeuvre deux modélisations de cette consommation médicale.

1. Premier modèle :
    a) On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au centième.
    b) En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, en déduire une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).

2. Deuxième modèle :
    a) Calculer l'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2000 à l'année 2001, puis de l'année 2001 à l'année 2002 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
    b) À partir de l'année 2000, on modélise la consommation médicale par : y = 51,81 × 1,1ⁿ pour l'année 2000 + n avec n entier naturel.
En utilisant ce deuxième modèle, en déduire une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).

Partie B : Réduction des dépenses

Pour l'année 2005, la consommation médicale réelle s'est élevée à 83,44 milliards d’euros.
Il a été décidé de réduire les dépenses et de les ramener en 2006 à 69,79 milliards d'euros.
De quel pourcentage (arrondi à 1 %) la consommation médicale doit-elle baisser pour atteindre cet objectif ?

Rappel de définitions

On désigne par a₁ et a₂ des nombres réels strictement positifs a₂ > a₁.
L'accroissement absolu de a₁ à a₂ est égal à a₂ - a₁.
L'accroissement relatif de a₁ à a₂ est égal à $\frac{a_2 - a_1}{a_1}$ . 7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = e^{x - 3} - \frac{1}{x + 4}$ .

Partie A :

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, on note $f'$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0 ; + $\infty$ [.

2. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.

3. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

4. a) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [.
b) On admet qu'il existe un unique nombre réel positif $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ .
Donner le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.

5. a) Compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième) :

$x$	1,32	1,325	1,33
$f(x)$

b) En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ .

Partie B :

1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = e^{x - 3} - \ln(x + 4)$ .
a) La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [. On note g ' sa fonction dérivée.
Calculer g ' ( $x$ ) pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
b) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [ en utilisant les résultats de la PARTIE A.

2. Calculer l'intégrale I = $\displaystyle \int_0^3 f(x) dx$ .
(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

a) L'équation $f(x) = 4$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-3 ; + $\infty$ [ :
Réponse : affirmation fausse
Pour information : la droite d’équation y = 4 coupe en trois points la courbe $\Gamma$ .

b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ :
Réponse : affirmation vraie
Pour information : la courbe admet une asymptote d’équation y = 2 $x$ – 5. Et cette droite est croissante.

c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - (2x - 5)\right] = +\infty$ :
Réponse : affirmation fausse
Pour information : par définition de l’asymptote.

d) $f'(0) = 1$ :
Réponse : affirmation fausse
Pour information : la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur un nombre négatif (car la courbe est décroissante). Par suite $f'(0) < 0$ .

e) $f'(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [-2 ; 1] :
Réponse : affirmation fausse
Pour information : la courbe est décroissante sur [-1 ; 1], donc pour tout nombre réel $x$ de cet intervalle $f'(x) < 0$

f) $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \text{d}x \geq 7$ :
Réponse : affirmation vraie
Pour information : cette intégrale représente l’aire comprise entre la courbe $\Gamma$ , l’axe des abscisse et les droites d'équation $x$ = -1 et $x$ = 1. Nous pouvons facilement trouver une minoration de cette aire.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A :

1. a) Donnons la probabilité de U sachant D :
D’après l’arbre, p_D(U) = 0,65

1. b) Calculons $\text{p(\bar{D})}$ :
$\text{p(\bar{D})}$ = 1 - p(D) = 1 - 0,25 = 0,75

2. a) Calculons la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne :
Cette probabilité est égale à p(D $\cap$ U) :
p(D $\cap$ U) = p_D(U) × p(D)
p(D $\cap$ U) = 0,65 × 0,25
p(D $\cap$ U) = 0,1625
D'où : la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne est 0,1625.

2. b) Calculons la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne :
Nous cherchons : $p(\bar{D} \cap U)$ .
Nous avons :
$p(U) = p((D \cup \bar{D}) \cap U)\\ p(U) = p((D \cap U) \cup (\bar{D} \cap U))\\ p(U) = p(D \cap U) + p(\bar{D} \cap U)$
Donc :
$p(\bar{D} \cap U) = p(U) - p(D \cap U)\\ p(\bar{D} \cap U) = 0,7625 - 0,1625$
D'où : $p(\bar{D} \cap U) = 0,6$

3. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculons la probabilité qu’il soit de production européenne :
Cette probabilité se traduit par : $p_{\bar{D}}(U)$ .
$p_{\bar{D}}(U) = \frac{p(\bar{D} \cap U)}{p(\bar{D})}\\ p_{\bar{D}}(U) = \frac{0,6}{0,75}\\ p_{\bar{D}}(U) = 0,8$
D'où : sachant que le DVD choisi a été acheté, la probabilité qu’il soit de production européenne est de 0,8.

Partie B :

Déterminons la probabilité de l'événement : « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation » :
On effectue trois tirages successifs indépendants avec remise. On répète donc trois fois de manière indépendante la même épreuve de bernoulli de probabilité p(D) = 0,25.
La probabilité cherchée est donc égale à :
${1 \choose 3} \times 0,25^2 \times 0,75 = 0,140625$
D'où : la probabilité de l'événement « exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation » est égale à environ 0,141.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Première partie :

1. Dessinons un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite :

2. Vérifions que l'état stable du système correspond à la matrice ligne (70 120) :
$(70 \; 120) \times \left(\begin{array}{ccc}0,40&&0,60\\0,35&&0,65\\\end{array}\right) = \left(70 \times 0,40 + 120 \times 0,35 \hspace{15pt} 70 \times 0,60 + 120 \times 0,65\right) = (70 \; 120)$
Cette matrice ligne signifie que dans un grand nombre d'années, 70 milliers de personnes pratiqueront le co-voiturage et 120 milliers de personnes qui se déplaceront seul en voiture.

Deuxième partie :

1. Prouvons que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique :
Pour tout entier naturel n,
$u_{n+1} = X_{n+1} - 70\\ u_{n+1} = 0,05X_n + 66,5 - 70\\ u_{n+1} = 0,05X_n - 3,5\\ u_{n+1} = 0,05(u_n + 70) - 3,5\\ u_{n+1} = 0,05u_n$
D'où : la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,05 et de premier terme $u_0 = X_0 - 70 = 60 - 70 = -10$ .

2. Montrons que pour tout entier naturel n, X_n = 70 - 10 × 0,05ⁿ :
Comme la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,05 et de premier terme -10, alors nous avons pour tout entier naturel n : u_n = -10(0,05)ⁿ
Ainsi, nous avons pour tout entier naturel n : X_n = u_n + 70 = 70 - 10 × 0,05ⁿ

Regardons s'il est possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région :
La population de cette région est 60 + 130 = 190 milliers. La moitié est 95 milliers.
Nous recherchons à savoir si il existe un entier naturel n, tel que $x_n \geq 95$
Supposons que tel est le cas.
$\begin{array}{ccc} 70 - 10 \times 0,05^n & \geq &95\\ -10 \times 0,05^n& \geq & 25\\ \end{array}$
Or, un nombre négatif ne peut pas être plus grand qu’un nombre positif, donc durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage ne peut pas atteindre la moitié de la population de cette région.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A :

1. a) Donnons l'équation de la droite de régression de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés :
A l’aide d’une calculatrice TI, l’équation de la droite de régression de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés est : y = 2,03 $x$ + 37,31.
Sur une ti voyage 200 :

1. b) Donnons une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 :
2 008 – 1 990 = 18
Ainsi le rang de l’année 2 008 est 18.
y = 2,03 × 18 + 37,31 = 73,85
En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, la consommation médicale pour l'année 2008 est à peu près de 73,85 milliards d'euros.

2. a) Calculons l'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2 000 à l'année 2 001 :
$\frac{57 - 51,81}{51,81} \approx 0,1$
L'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2 000 à l'année 2 001 est à peu près de 0,1, soit 10 %.

Calculons l'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2 001 à l'année 2 002 :
$\frac{62,7 - 57}{57} = 0,1$
L'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2 001 à l'année 2 002 est de 0,1, soit 10 %.

2. b) Donnons une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 :
y = 51,81 × 1,1⁸ $\approx$ 111,059
En utilisant ce deuxième modèle, une estimation de la consommation médicale est 111,06 milliards d'euros pour l'année 2008.

Partie B : Réduction des dépenses

Déterminons de quel pourcentage la consommation médicale doit-elle baisser pour atteindre l'objectif fixé :
83,44 – 69,79 = 13,65
La baisse de la consommation entre 2 005 et 2 006 doit s’élever à 13,65 milliards d’euros.
Ainsi nous avons :

consommation en 2005 (milliards d'euros)	83,44	100
baisse (en milliards d'euros)	13,65	...

Ce qui peut aussi se lire :
Nous avons une baisse de 13,65 milliards d’euros pour une consommation de 83,44 milliards d’euros.
Nous avons une baisse de ......... milliards d’euros pour une consommation de 100 milliards d’euros.
Ainsi : $\frac{100 \times 13,65}{83,44} \approx 16,3$
La consommation médicale doit baisser d'environ 16 %.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A :

1. Calculons $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
La fonction $f$ est dérivable sur [0 ; + $\infty$ [.
La fonction $f$ est de la forme (u + v) où les fonctions u et v sont dérivable sur [0 ; + $\infty$ [ et sont définies par :
Pour tout $x$ de l’intervalle [0 ; $\infty$ [, $u(x) = e^{x-3}$ et $v(x) = \frac{1}{x+4}$
Or $u'(x) = e^{x-3}$
(la dérivée de la fonction $x$ fleche2

$x - 3$ est la fonction $x$ fleche2

1).
$v'(x) = \frac{1}{(x+4)^2}$
(la dérivé de la fonction $\frac{1}{w}$ est $\frac{-w'}{w^2}$ )
Par suite, nous avons :
$f'(x) = u'(x) + {v}'(x) = e^{x - 3} + \frac{1}{(x+4)^2}$

2. Déduisons-en que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
Pour tout $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, $e^{x-3} > 0$ (une exponentielle est toujours strictement positive).
Et $\frac{1}{(x+4)^2} > 0$
Ainsi pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, $f'(x) > 0$

Et par suite, la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [.

3. Déterminons $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x - 3) = +\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{x-3} = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x + 4) = +\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x + 4} = 0$

Par suite, nous avons : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

4. a) Dressons le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & 0& & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \\ \hline \;& & & +\infty\\ f(x) & & \nearrow & \\ \; & e^{-3} - \frac14 & & \\ \hline \end{array}$

4. b) Donnons le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [, nous avons :
Pour tout réel $x$ sur l’intervalle [0 ; $\alpha$ [, $f(x)$ < 0.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle ] $\alpha$ ; + $\infty$ [, $f(x) > 0$ .
Et $f(\alpha) = 0$

5. a) Complétons le tableau :

$x$	1,32	1,325	1,33
$f(x)$	-0,0016	-0,0005	0,0006

5. b) Déduisons-en la valeur décimale du nombre $\alpha$ :
Comme $f(1,325) < 0$ et $f(1,33) > 0$ , donc $f(1,325) < f(\alpha) < f(1,33)$
De plus, $f$ est croissante sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [, donc 1,325 < $\alpha$ < 1,33
La valeur décimale arrondie au centième du nombre $\alpha$ est 1,33.

Partie B :

1. a) Calculons g'( $x$ ) pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
Comme
$(e^{u})' = u' \time e^{u}$ avec u une fonction dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
Ainsi, pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, nous avons :
$(e^{x-3})' = e^{x-3}$
De même, comme $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ avec u une fonction dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.

Ainsi, pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, nous avons :
$(\ln(x + 4))' = \frac{1}{x+4}$
Par suite, pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [,
$g'(x) = e^{x-3} - \frac{1}{x+4} = f(x)$

1. b) Étudions le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [ :
D'après la question 4. b) de la partie A, nous avons :
Pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; $\alpha$ [, g'( $x$ ) < 0.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle ] $\alpha$ ; + $\infty$ [, g'( $x$ ) > 0.
Ainsi, la fonction g est décroissante sur l’intervalle [0 ; $\alpha$ [ et croissante sur ] $\alpha$ ; + $\infty$ [.

2. Calculons l'intégrale I = $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) \text{d}x$ :
Comme pour tout réel $x$ de l’intervalle [0 ; + $\infty$ [, g'( $x$ ) = $f(x)$ , alors g est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; + $\infty$ [. D’où :
$\text{I} = \displaystyle \int_{0}^{3} f(x) \text{d}x \\ \text{I} = \left[g(x)\right]_{0}^{3}\\ I = g(3) - g(0)\\ I = 1 - \ln(7) - (e^{-3} - \ln(4))\\ I = \ln\left(\frac{4}{7}\right) - e^{-3} + 1$
D'où : I $\approx$ 0,39

Publié par Océane/Muriel le 19-07-2006

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