Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat général
Série Économique et Social
Asie - Session Juin 2006

Partager :
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :      f(x) = \text{e}^{-x} -1.
La courbe (\mathcal{C}) donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 1


On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
On note F la primitive de la fonction f sur \mathbb{R} telle que F(0)=0.

Pour chacune des affirmations suivantes, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).
Aucune justification n'est demandée.

Notation : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.

AffirmationVraiFaux
a) f(\ln(2))= -3.  
b) \lim \limits_{x\to +\infty} f(x) = -1.  
c) Pour tout nombre réel x, on a f'(x)= \text{e}^{-x}.  
d) \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \, \text{d}x > 1.  
e) La fonction F est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].  
f) Pour tout nombre réel x, on a F(x) = 1 - \text{e}^{-x} - x.  



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du profit annuel d'une entreprise de l'année 1999 à l'année 2005.

Année1999200020012002200320042005
Rang de l'année (x_i)1234567
Profit annuel en millions d'euros (y_i)1,261,982,282,622,843,003,20


1. Construire le nuage de points associé à la série (x_i~;~y_i) dans le repère orthogonal représenté ci-dessous.

bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 2


2. La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc d'étudier la série (x_i~;~z_i)z_i = \text{e}^{y_i}.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les valeurs décimales arrondies au centième.

x_i1234567
z_i = \text{e}^{y_i}3,53  13,7417,1220,0924,53

3. Donner l'équation de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les résultats obtenus à la calculatrice seront arrondis au centième (avec ces arrondis, on obtient une équation de la forme : z = ax).

4. En déduire que la courbe d'équation y = \ln(x) + 1,23 approche le nuage de points.

5. On suppose que l'évolution du profit annuel se poursuit suivant ce modèle.
    a) Calculer le profit annuel, exprimé en millions d'euros, attendu pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
    b) Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c'est à dire celui de l'année 1999) aura au moins triplé.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté à un repère orthogonal.
bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 3

On a représenté ci-dessous la surface (S) d'équation z = 3(x^2+y), avec x appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5], et y appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5].

bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 10

Partie I : Exploitation du graphique

On considère le plan (P) d'équation z=6.

1. Sur la figure donnée, placer le point A de coordonnées (1 ; 1 ; 6).

2. Surligner en couleur la partie visible de l'intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée.

Partie II : Recherche d'un coût minimum

Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs.
On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois.
Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par :     C(x~;~y) = 3\left(x^2+y\right).
On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l'entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.

1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants : on a donc x+y=2.
Exprimer C(x~;~y) en fonction de la seule variable x.
On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que f(x) = 3x^2 - 3x + 6.

2. Montrer que sur l'intervalle [0 ; 1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x = 0,5.

3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l'entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production ? Quel est ce coût ?

4. Placer sur la figure donnée le point K correspondant au coût minimum.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré « secteurs repéré ».
On note p_1 la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne p_1 = 0,2.
On note p_2 la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne p_2 = 0,3.

1. Calculer la probabilité, notée p_3, que le secteur C soit repéré.

Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

2. Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A , B) est égale à 0,06.

3. Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C , C) est égale à 0,25.

Secteur repéré au premier lancer
Secteur repéré au deuxième lancer
ABC
A0,04  
B0,06  
C  0,25

4. Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.

5. De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le " gain " dépend du nombre de secteurs C repérés :
      obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
      obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
      n'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
    a) Compléter le tableau suivant :

Gain (en euros)-1018
Probabilité  0,25

    b) Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle [0~;~+\infty[ par :     f(x) = \text{e}^x-1 \text{ et } g(x) = \dfrac{3}{\text{e}^x+1}. Les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle [0~;~+\infty[. Le plan est rapporté un repère orthonormal (O~;~\vec{i},\vec{j}).

1. La fonction f est représentée par la courbe {\cal C} figurant ci-dessous.

bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 8

    a) Donner une équation de la tangente T à cette courbe au point O origine du repère.
    b) Tracer la droite T dans le repère donné.

2. Étude de la fonction g
    a) Calculer g(0).
    b) Déterminer la limite de la fonction g en +\infty. En donner une interprétation graphique.
    c) Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle [0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations.
    d) Tracer la représentation graphique (\mathcal{C}_{g}) de la fonction g dans le repère donné.

3. La lecture graphique montre que l'équation f(x) = g(x) admet dans l'intervalle [0~;~+\infty[ une unique solution, notée m.
    a) Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées (m~;~f(m)).
    b) Prouver, par le calcul, que m = \ln (2).

4. On considère le nombre suivant : \mathcal{A} = \displaystyle \int_{0}^{\ln(2)} g(x) \, \text{d}x
    a) Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en unités d'aires, est égale à \mathcal{A}.
    b) Soit la fonction dérivable G définie sur l'intervalle [0~;~+\infty[ par :   G(x) = 3x - 3 \ln \left(\text{e}^x+1\right).
Montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0~;~+\infty[.
    c) Calculer \mathcal{A}.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

AffirmationVraiFaux
a) f(\ln(2))= -3. \bullet
b) \lim \limits_{x\to +\infty} f(x) = -1.\bullet 
c) Pour tout nombre réel x, on a f'(x)= \text{e}^{-x}. \bullet
d) \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \, \text{d}x > 1. \bullet
e) La fonction F est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].\bullet 
f) Pour tout nombre réel x, on a F(x) = 1 - \text{e}^{-x} - x.\bullet 

Puisqu'aucune justification n'est demandée, la lecture de la représentation graphique lorsque cela est possible est suffisante pour répondre aux questions le jour de l'épreuve.
Explications :
a) \ln2\approx0.69 . La représentation graphique laisse penser que la proposition est fausse. En effet, f(\ln2)=\text{e}^{-\ln2}-1=\dfrac{1}{\text{e}^{\ln2}}-1=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}

b) La représentation graphique laisse penser que la proposition est vraie. En effet, \lim \limits_{x\to +\infty} e^{-x} = 0 \text{ donc }\lim \limits_{x\to +\infty}e^{-x}-1 = -1

c) f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x)=-\text{e}^{-x} (dérivée de \text{e}^{u} )

d) f ne prenant que des valeurs positives sur [-1 ; 0], cette intégrale est égale à l'aire géométrique du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation x=-1 et x=0
En évaluant le nombre de carreaux de ce domaine (environ 3 carreaux, ce qui donne une aire d'environ 0,75), il semble que cette affirmation soit fausse. En effet, \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \, \text{d}x=\left[-\text{e}^{-x}-x\right]_{-1}^0=(-1)-(-\text{e}^{1}+1)=-2+\text{e}\approx 0.72

e) Par définition, F'(x)=f(x). Comme f est positive sur [-1 ; 0], alors F est croissante sur le même intervalle.

f) Si F(x)=1-\text{e}^{-x}-x alors F'(x)=-(-\text{e}^{-x})-1=\text{e}^{-x}-1=f(x)




exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

1.
bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 6


2.
x_i1234567
z_i = \text{e}^{y_i}3,537,249,7813,7417,1220,0924,53


3. Avec un arrondi au centième près des coefficients, la droite de régression a pour équation \boxed{z=3,43x}

4. On a z=e^{y} et z=3,43x, alors pour tout réel x strictement positif :
e^y=3.43x\Longleftrightarrow  y=\ln(3,43x)\Longleftrightarrow y=\ln(x)+ln (3,43)
Or, l'arrondi au centième de \ln 3,43 est 1,23, donc, la courbe d'équation \boxed{y=\ln(x)+1,23} approche le nuage de points.

5. a) Le rang de l'année 2008 est 10. Une estimation du profit annuel à partir du modèle précédent est donc : y_{10}=\ln(10)+1,23\Longleftrightarrow y_{10}\approx 3,53
On en déduit :
Le profit annuel attendu pour l'année 2008 est de 3,53 millions d'euros.


5. b) Le profit annuel initial aura au moins triplé pour le plus petit rang x tel que :
\ln(x)+ 1,23 \geq 3\times 1,26\Longleftrightarrow \ln(x)\geq 3,78 - 1,23 \Longleftrightarrow x \geq e^{2,55}
Or, e^{2,55}\approx 12,81
Donc :
Le rang de l'année à partir duquel le profit annuel aura au moins triplé est 13, c'est-à-dire l'année 2011.





exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie I

1. Voir figure.

2. Voir figure (ligne orangée frontière de la surface jaune et de la surface verte)

Partie II

1. Sous la contrainte de production x+y=2, le coût mensuel de production C(x,y) répond au système d'équations :
\begin{cases}C(x,y)=3(x^2+y)\\x+y=2\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}C(x,y)=3(x^2-x+2)\\y=2-x\end{cases}

Sous la contrainte de production x+y=2, le coût mensuel de production C(x,y) exprimé en fonction de la seule variable x est \boxed{C(x,y)=3(x^2-x+2)}.
On a : f(x)=3(x^2-x+2)=3x^2-3x+2\times 3=\boxed{3x^2-3x+6}

2. La fonction f est la restriction sur l'intervalle [0 ; 1,5] d'une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré est positif, alors, f est minimale pour x=-\dfrac{-3}{2\times3}=\boxed{0,5}

3. Sous la contrainte de production x+y=2, le coût mensuel de production C(x,y) est minimal pour x=0,5. Donc :
y=1-0,5=1,5 et C(0,5 ; 1,5)=3(0,5^2+1,5)=\boxed{5,25}

4. Le point K a donc pour coordonnées (0,5~;~1,5~;~5,25)
bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 7





exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. On a : p_1+p_2+p_3=1 \text{ donc } p_3=1-p_2-p_1\text{ et } p_3=1-0,2-0,3=\boxed{0,5}

2. P(A~,~ B)=p_1p_2=0,2 \times 0,3 =\boxed{0,06}

3.
Secteur repéré au premier lancer
Secteur repéré au deuxième lancer
ABC
A0,040,060,10
B0,060,090,15
C0,100,150,25


4. p=P(A,A)+P(A,B)+P(B,A)+P(B,B)=0,04+0,06+0,06+0,09=\boxed{0,25}

5. a)
Gain (en euros)-1018
Probabilité0,20,50,25


5. b) E = -10 \times 0,25+0,5+8\times 0,25=\boxed{0}
L'espérance de gain pour ce jeu est nulle.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a)
f(0) = e^0 -1 = 0
D'autre part, on sait que pour tout réel x positif : f'(x)=e^x donc f'(0)=1
On en déduit que, une équation de (T) est :
\boxed{(T): y=x}


1. b) Voir figure.

2. a) g(0)=\dfrac{3}{e^{0}+1}=\dfrac{3}{1+1}=\boxed{\dfrac{3}{2}}

2. b) Puisque \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty, alors \displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x)=\lim_{x\to +\infty} \dfrac{3}{e^x+1}=\boxed{0}
Interprétation géométrique : \boxed{\text{ La droite d'équation y=0 est asymptote à } \cal{C} \text{ en } +\infty}

2. c) Pour tout x de [0;+\infty[ : x\mapsto \text{e}^x+1 est croissante, donc x\mapsto \dfrac{3}{\text{e}^x+1} est décroissante.
]Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x  & 0       &     & +\infty   \\  \hline \niveau{2}{3} g      & \dfrac{3}{2} &\decroit&  0  \\ \hline \end{tabvar}


2. d) Voir figure

3. a) Voir figure

3. b) Notons m la solution de l'équation f(x)=g(x) sur \mathbb{R}^+ :
\begin{matrix}f(m)=g(m)&\Longleftrightarrow&  \text{e}^m-1  = \dfrac{3}{\text{e}^m+1}&\\&\Longleftrightarrow& (e^m-1)(e^m+1)=3&\\&\Longleftrightarrow& \left(e^{m}\right)^2-1=3&\\&\Longleftrightarrow &\left(e^{m}\right)^2-2^2=0\\&\Longleftrightarrow& e^m=2 \text{ ou } e^m = -2&\\&\Longleftrightarrow& e^m=2 &\text{ car } e^m=-2 \text{ n'a pas de solutions sur} [0,+\infty[\\&\Longleftrightarrow &\boxed{m=\ln2}\end{matrix}&

4. a)
bac ES obligatoire et spécialité Asie juin 2006 - terminale : image 9


4. b) Pour tout réel x positif :
G'(x)=3-3\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{3e^x+3-3e^x}{e^x+1}=\dfrac{3}{e^x+1}=\boxed{g(x)}
Conclusion :
\boxed{G\text{ est une primitive de la fonction } g \text{ sur l'intervalle }  [0~,~+\infty[}


4. c) La fonction g ne prenant que des valeurs positives pour x dans [0~;~\ln2],
\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\ln 2} g(x) dx =\left[G(x)\right]_0^{\ln 2}= G(\ln 2)-G(0)= 3\ln 2- 3 \ln \left(2+1\right)+ 3 \ln \left(1+1\right)=\boxed{6\ln 2 - 3\ln 3 \text{ (u.a)}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
dandave
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1324 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !