Baccalauréat général
Série Économique et Social
Asie - Session Juin 2006
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Soit la fonction définie sur par : La courbe donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal.
On note la fonction dérivée de la fonction sur On note la primitive de la fonction sur telle que
Pour chacune des affirmations suivantes, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).
Aucune justification n'est demandée.
Notation :Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.
Affirmation
Vrai
Faux
a)
b)
c) Pour tout nombre réel , on a
d)
e) La fonction est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].
f) Pour tout nombre réel , on a
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
Le tableau suivant donne l'évolution du profit annuel d'une entreprise de l'année 1999 à l'année 2005.
Année
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Rang de l'année
1
2
3
4
5
6
7
Profit annuel en millions d'euros
1,26
1,98
2,28
2,62
2,84
3,00
3,20
1. Construire le nuage de points associé à la série dans le repère orthogonal représenté ci-dessous.
2. La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc d'étudier la série où Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les valeurs décimales arrondies au centième.
1
2
3
4
5
6
7
3,53
13,74
17,12
20,09
24,53
3. Donner l'équation de la droite de régression de en obtenue par la méthode des moindres carrés. Les résultats obtenus à la calculatrice seront arrondis au centième (avec ces arrondis, on obtient une équation de la forme : ).
4. En déduire que la courbe d'équation approche le nuage de points.
5. On suppose que l'évolution du profit annuel se poursuit suivant ce modèle.
a) Calculer le profit annuel, exprimé en millions d'euros, attendu pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
b) Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c'est à dire celui de l'année 1999) aura au moins triplé.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'espace est rapporté à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la surface d'équation avec appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5], et appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5].
Partie I : Exploitation du graphique
On considère le plan d'équation
1. Sur la figure donnée, placer le point A de coordonnées (1 ; 1 ; 6).
2. Surligner en couleur la partie visible de l'intersection de la surface et du plan sur la figure donnée.
Partie II : Recherche d'un coût minimum
Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs.
On appelle le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois.
Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l'entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.
1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants : on a donc Exprimer en fonction de la seule variable On note la fonction ainsi obtenue. Vérifier que
2. Montrer que sur l'intervalle [0 ; 1,5], la fonction admet un minimum atteint pour
3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l'entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production ? Quel est ce coût ?
4. Placer sur la figure donnée le point K correspondant au coût minimum.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré « secteurs repéré ».
On note la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne On note la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne
1. Calculer la probabilité, notée , que le secteur C soit repéré.
Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.
2. Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A , B) est égale à 0,06.
3. Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C , C) est égale à 0,25.
Secteur repéré au premier lancer Secteur repéré au deuxième lancer
A
B
C
A
0,04
B
0,06
C
0,25
4. Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.
5. De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le " gain " dépend du nombre de secteurs C repérés :
obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
n'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
a) Compléter le tableau suivant :
Gain (en euros)
-10
1
8
Probabilité
0,25
b) Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
On considère les fonctions et définies sur l'intervalle par : Les fonctions et sont dérivables sur l'intervalle Le plan est rapporté un repère orthonormal
1. La fonction est représentée par la courbe figurant ci-dessous.
a) Donner une équation de la tangente à cette courbe au point O origine du repère.
b) Tracer la droite dans le repère donné.
2. Étude de la fonction g a) Calculer b) Déterminer la limite de la fonction en En donner une interprétation graphique.
c) Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle et dresser son tableau de variations.
d) Tracer la représentation graphique de la fonction dans le repère donné.
3. La lecture graphique montre que l'équation admet dans l'intervalle une unique solution, notée .
a) Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées .
b) Prouver, par le calcul, que .
4. On considère le nombre suivant : a) Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en unités d'aires, est égale à b) Soit la fonction dérivable définie sur l'intervalle par : Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle c) Calculer
e) La fonction est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].
f) Pour tout nombre réel , on a
Puisqu'aucune justification n'est demandée, la lecture de la représentation graphique lorsque cela est possible est suffisante pour répondre aux questions le jour de l'épreuve.
Explications : a) . La représentation graphique laisse penser que la proposition est fausse. En effet,
b) La représentation graphique laisse penser que la proposition est vraie. En effet,
c)est dérivable sur et (dérivée de )
d) ne prenant que des valeurs positives sur [-1 ; 0], cette intégrale est égale à l'aire géométrique du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation et En évaluant le nombre de carreaux de ce domaine (environ 3 carreaux, ce qui donne une aire d'environ 0,75), il semble que cette affirmation soit fausse. En effet,
e) Par définition, . Comme est positive sur [-1 ; 0], alors est croissante sur le même intervalle.
f) Si alors
exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité
1.
2.
1
2
3
4
5
6
7
3,53
7,24
9,78
13,74
17,12
20,09
24,53
3. Avec un arrondi au centième près des coefficients, la droite de régression a pour équation
4. On a et , alors pour tout réel strictement positif :
Or, l'arrondi au centième de est 1,23, donc, la courbe d'équation approche le nuage de points.
5. a) Le rang de l'année 2008 est 10. Une estimation du profit annuel à partir du modèle précédent est donc : On en déduit :
Le profit annuel attendu pour l'année 2008 est de 3,53 millions d'euros.
5. b) Le profit annuel initial aura au moins triplé pour le plus petit rang tel que :
Or, Donc :
Le rang de l'année à partir duquel le profit annuel aura au moins triplé est 13, c'est-à-dire l'année 2011.
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie I
1. Voir figure.
2. Voir figure (ligne orangée frontière de la surface jaune et de la surface verte)
Partie II
1. Sous la contrainte de production , le coût mensuel de production répond au système d'équations :
Sous la contrainte de production , le coût mensuel de production exprimé en fonction de la seule variable est .
On a :
2. La fonction est la restriction sur l'intervalle [0 ; 1,5] d'une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré est positif, alors, est minimale pour
3. Sous la contrainte de production , le coût mensuel de production est minimal pour . Donc :
et
4. Le point K a donc pour coordonnées
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. On a :
2.
3.
Secteur repéré au premier lancer Secteur repéré au deuxième lancer
A
B
C
A
0,04
0,06
0,10
B
0,06
0,09
0,15
C
0,10
0,15
0,25
4.
5. a)
Gain (en euros)
-10
1
8
Probabilité
0,2
0,5
0,25
5. b) L'espérance de gain pour ce jeu est nulle.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. a) D'autre part, on sait que pour tout réel positif : donc On en déduit que, une équation de est :
1. b) Voir figure.
2. a)
2. b) Puisque , alors Interprétation géométrique :
2. c) Pour tout de : est croissante, donc est décroissante.
]Tableau de variations :
2. d) Voir figure
3. a) Voir figure
3. b) Notons la solution de l'équation sur :
4. a)
4. b) Pour tout réel positif :
Conclusion :
4. c) La fonction ne prenant que des valeurs positives pour dans ,
Publié par Cel/dandave
le
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