Baccalauréat Économique et Social
Centres étrangers - Session Juin 2006
Partager :
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Questionnaire à choix multiples Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demande d'indiquer la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est 0.
Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
On désigne par la courbe représentative de .
1. Sur l'intervalle , l'équation :
admet une seule solution
admet deux solutions
admet quatre solutions.
2. Sur l'intervalle la courbe :
admet une seule asymptote la droite d'équation admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations et admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations et
3. On sait que . L'équation de la tangente à au point d'abscisse est :
.
4. On sait que l'équation de la tangente à au point de coordonnées (1 ; 2) est . On a :
5. Sur l'intervalle , la fonction définie par :
est croissante
est décroissante
n'est pas monotone.
6. On pose Alors la fonction :
est décroissante sur ;
est positive sur n'est pas définie sur
5 points
exercice 2 - Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité
Les résultats seront arrondis à 10-3 près.
Un musée très fréquenté propose à la vente trois sortes de billets :
au prix de 5 € un billet pour visiter uniquement le fonds permanent des collections ;
au prix de 3 € un billet pour visiter uniquement une exposition temporaire ;
au prix de 6 € un billet pour visiter le fonds permanent et l'exposition temporaire.
On sait que :
85 % des visiteurs visitent le fonds permanent
35 % des visiteurs visitent l'exposition temporaire.
Un visiteur se présente à l'entrée du musée et achète un billet. On considère les évènements suivants :
F : « Le visiteur achète un billet à 5 € »
E : « Le visiteur achète un billet à 3 € »
M : « Le visiteur achète un billet à 6 € ».
1. a) Établir que et b) Calculer le prix de vente moyen d'un billet.
Le musée propose à la vente un catalogue sur l'exposition temporaire.
On sait que :
35 % des personnes qui ne visitent que l'exposition temporaire achètent le catalogue.
25 % des personnes qui visitent le fonds permanent et l'exposition temporaire achètent le catalogue.
97 % des visiteurs du seul fonds permanent n'achètent pas le catalogue.
On considère l'évènement C : « Le visiteur achète le catalogue ».
2. Démontrer que (on pourra s'aider d'un arbre).
3. Un visiteur a acheté le catalogue. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas visité l'exposition temporaire ?
4. Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue ?
5 points
exercice 2 - Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité
Les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.
1. Dans une région, on considère trois types de temps : beau, variable, pluvieux.
On sait que :
S'il fait beau un jour donné, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est et la probabilité qu'il pleuve est Si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est et la probabilité qu'il pleuve est S'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est et la probabilité qu'il fasse beau est On note
B : « le temps est beau » ;
V : « le temps est variable » ;
P : « le temps est pluvieux ».
a) Représenter la situation par un graphe probabiliste.
b) Donner la matrice de transition de ce graphe.
Les sommets B, V, P seront rangés dans cet ordre.
c) Pour tout entier naturel , l'état probabiliste dans jours est défini par la matrice ligne où désigne la probabilité qu'il fasse beau dans jours, la probabilité que le temps soit variable dans jours et la probabilité qu'il pleuve dans jours.
Aujourd'hui il fait beau, on a donc matrice ligne décrivant l'état initial.
Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans 2 jours.
2. Dans une autre région, on note B : « il fait beau » : « il ne fait pas beau ».
Les variations du temps sont représentées par le graphe suivant :
a) Donner la matrice de transition de ce graphe.
b) Soit avec Déterminer et tels que et interpréter le résultat.
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On désigne par la fonction définie sur ]0 ; 5] par La courbe donnée ci-dessous est la représentation graphique de dans un repère orthogonal (unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées).
1. Calculer la limite de en .
2. Calculer et étudier les variations de . Dresser le tableau des variations de .
3. a) Calculer b) Justifier que l'équation admet sur [3 ; 4] une solution unique puis donner une valeur approchée à 10-2 près par défaut de c) En déduire le signe de suivant les valeurs de
4. On appelle la fonction définie sur ]0 ; 5] par a) Montrer que est une primitive de sur ]0 ; 5].
b) Sur le graphique ci-dessous, on considère le domaine limité par l'axe des abscisses et la partie de la courbe située au-dessus de cet axe. Montrer que l'aire de ce domaine est égale, en unités d'aire, à c) Calculer une valeur approchée de l'aire exprimée en cm2. On utilisera la valeur approchée de trouvée au 3. b).
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Les résultats seront arrondis à 10-2 près.
Le tableau ci-dessous donne le PIB de la Chine. en milliards de dollars, entre 1982 et 2002.
Année
1982
1986
1990
1994
1998
2002
Rang de l'année
0
4
8
12
16
20
PIB
280
300
384
546
945
1232
(Source : Le Monde du 26/01/2004)
1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l'axe des ordonnées.
2. a) Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés.
b) Tracer cette droite sur le graphique.
c) Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul le PIB de la Chine en 2004. Commenter le résultat obtenu.
3. On envisage dans cette question un ajustement exponentiel.
En posant on obtient une droite d'ajustement de en d'équation a) On se propose de déterminer alors en fonction de sous la forme où et sont deux réels.
Montrer que b) Tracer sur le graphique la courbe d'équation , pour c) Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul, le PIB de la Chine en 2004.
4. Le PIB de la Chine pour 2004 était de 1650 milliards de dollars (Source internet).
Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2. et 3..
1. Sur l'intervalle , l'équation : admet deux solutions , l'une entre 0 et 2, la seconde supérieure à 2.
En effet , et
2. Sur l'intervalle la courbe admet exactement deux asymptotes, les droites d'équationset Car et
3. On sait que . L'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est : En effet, la tangente passe par le point de coordonnées (2 ; 4), et en ce point la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
4. On sait que l'équation de la tangente à au point de coordonnées (1 ; 2) est . On a : En effet, le coefficient directeur de cette tangente vaut 3, mais également d'où l'égalité.
5. Sur l'intervalle , la fonction définie par est croissante Sur
6. On pose . Alors la fonction est décroissante sur On remarquera déjà que si , alors et la fonction est bien définie.
, or est décroissante sur donc sur cet intervalle, on en déduit que
exercice 2 - Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité
1. a) On a :
85 % des visiteurs visitent le fonds permanent alors : 35 % des visiteurs visitent l'exposition temporaire alors : D'autre part, donc on retrouve , et en résolvant le système :
1. b) Le prix de vente moyen est :
2., et forment une partition alors, d'après la formule des probabilités totales : Or, on a : , et , d'où .
Donc :
3.
4. Interroger au hasard et de façon indépendante trois visiteurs du musée pour savoir s'ils ont acheté un catalogue, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de visiteurs qui ont acheté un catalogue est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,122.
L'évènement "au moins un des trois visiteurs n'a pas acheté le catalogue" est l'évènement contraire de l'évènement "les trois visiteurs ont acheté le catalogue".
Or la probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est égale à :
La probabilité qu'au moins un des visiteurs n'ait pas acheté le catalogue est donc :
exercice 2 - Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité
1. a) On a :
et donc et donc et donc Donc :
1. b) La matrice de transition de ce graphe est :
1. c) Donc :
Dans deux jours, la probabilité qu'il fasse beau est égale à , la probabilité que le temps soit variable est égale à et la probabilité qu'il pleuve est égale à 2. a) La matrice de transition de ce graphe est
2. b) On a : De plus de , prenons par exemple , on obtient le système suivant :
On en déduit que Interprétation : Ainsi est la solution de l'équation , donc d'après le cours, représente l'état stable de ce système et on conclut que :
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Puisque et
2. est une fonction définie et dérivable sur ]0 ; 5], et pour tout , Le signe de est celui de puisque est positif, donc on obtient : pour tout de ]0 ; 2] et pour tout de [2 ; 5].
On en déduit les variations de présentées dans le tableau de variation suivant :
Remarquons que :
3. a)
3. b) On a et D'autre part, la fonction est strictement décroissante sur [3 ; 4], et d'après le théorème des valeurs intermédiaires :
D'autre part et donc :
3. c) Sur ]0 ; 2] la fonction est strictement croissante et alors :
Pour tout de ]0 ; 1], Pour tout de [1 ; 2], Sur [2 ; 5[ la fonction est strictement décroissante et alors :
Pour tout de , Pour tout de , Conclusion :
4. a) Pour tout de , est dérivable et
4. b) Le domaine limité par l'axe des abscisses et la partie de la courbe située au-dessus de cet axe est en fait le domaine délimité par les droites d'équations et , l'axe des abscisses et la courbe dans l'intervalle (qui est au-dessus de l'axe des abscisses)
Donc, l'aire de ce domaine en unité d'aire est :
4. c)Or , donc : On prend , donc :
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. Voir figure à la fin
2. a) La droite d'ajustement affine pour équation
2. b) Voir figure à la fin
2. c) D'après la figure (Voir à la fin, pointillés en rouge), on obtient : Par le calcul, on trouve : Interprétation : L'estimation du PIB pour 2004 est inférieure au PIB de 2002. L'ajustement affine ne traduit pas correctement la tendance observée d'un PIB en constante augmentation.
3. a) On a, pour tout réel .
Or, on a Ainsi, l'ajustement exponentiel du nuage est la courbe d'équation
3. b) Voir figure à la fin
3. c) Graphiquement (voir pointillés en magenta), on obtient : Calcul : on a
4. Erreur commise avec l'ajustement affine :
L'erreur est de 27,14 %.
Erreur commise avec l'ajustement exponentiel :
L'erreur est de : 17,18 %.
Figure :
Publié par Cel/dandave
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à dandave pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ![]-5~;~+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-5~;~+\infty[)
dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
 &\dbarre -\infty & \croit & -3 & \decroit & -5 & \croit & 4 & \decroit & -4,5 \\ \hline \end{tabvar})
la courbe représentative de  = -2)
:
et 
et 
 = 0)
. L'équation de la tangente à 
est :
)
.
. On a :
 = 1)
 = -1)
 = 3.)
, la fonction 
définie par  =\text{e}^{- f(x)})
:
 = \ln \left( f(x) + 5\right).)
Alors la fonction 
:
 = 0,2 ~;~ p(\text{F}) = 0,65)
et  = 0,15.)
 = 0,122)
(on pourra s'aider d'un arbre).
et la probabilité qu'il pleuve est 
et la probabilité qu'il pleuve est 
, l'état probabiliste dans )
où 
désigne la probabilité qu'il fasse beau dans 
la probabilité que le temps soit variable dans 
la probabilité qu'il pleuve dans )
matrice ligne décrivant l'état initial.
: « il ne fait pas beau ».
de ce graphe.
)
avec 
et 
tels que 
et interpréter le résultat.
 = 1 - x + 2\ln x.)
.
)
et étudier les variations de .)
 = 0)
admet sur [3 ; 4] une solution unique 
puis donner une valeur approchée à 10-2 près par défaut de 
)
suivant les valeurs de 
 = x \left(- \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1\right).)
de ce domaine est égale, en unités d'aire, à  - g(1).)
)
dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l'axe des ordonnées.
on obtient une droite d'ajustement de 
en 
où 
sont deux réels.
, pour ![x \in [0~ ;~24].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in [0~ ;~24].)
![]-5,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-5,+\infty[)
, l'équation ![-2\in[-5 ; 4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-2\in[-5 ; 4])
et ![-2\in [-4,5 ; 4]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-2\in [-4,5 ; 4])
![]-5 ; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-5 ; +\infty[)
la courbe 
et 
=-\infty)
et =-4,5)
=3)
)
d'où l'égalité.
, la fonction =-f'(x)e^{-f(x)})
\le 0 \text{ et }g'(x) \ge 0)
 = \ln \left( f(x) + 5\right))
. Alors la fonction 
, alors +5 > 0)
et la fonction =\dfrac{f'(x)}{f(x)+5})
, or \le0)
sur cet intervalle, on en déduit que \le0 \text{ sur } [2 ; +\infty[)
+P(M)=0,85)
+P(M)=0,35)
+P(E)+P(M)=1)
)
, )
et )
en résolvant le système :
+P(M)=0.85\\P(E)+P(M)=0.35\\P(F)+P(E)+P(M)=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}P(F)=0.85-P(M)\\P(E)=0,35-P(M)\\P(F)+P(E)+P(M)=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}P(F)=0,85-P(M)\\P(E)=0,35-P(M)\\0,85-P(M)+0,35-P(M)+P(M)=1\end{cases})
=0.85-P(M)\\P(E)=0.35-P(M)\\P(M)=0.85+0.35-1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}P(F)=0.85-P(M)\\P(E)=0.35-P(M)\\P(M)=0.2\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases}P(F)=0,65\\P(E)=0,15\\P(M)=0,2\end{cases}})
, 
et 
forment une partition alors, d'après la formule des probabilités totales : =P(C\cap E)+P(C\cap F)+P(C\cap M))
 = 0,35)
, =0,25)
et =0,97)
, d'où =1-0,97=0,03)
.
&=&P(C\cap E)+P(C\cap F)+P(C\cap M)\\&=&P_E(C)P(E)+P_F(C)P(F)+P_M(C)P(M)\\&=&0,35\times 0,15+0,03\times 0,65+0,25\times 0,2\\&=&0,0525+0,0195+0,05\\&=&\boxed{0,122}\end{matrix})
=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)}=\dfrac{0,0195}{0,122} \approx \boxed{0,160})
^3=0,122^3)
^3=1-0,122^3=\boxed{0,998})
=\dfrac{1}{3})
et =\dfrac{1}{6})
donc =1- \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \right)=\dfrac{1}{2})
=\dfrac{1}{4})
et =\dfrac{1}{2})
donc =1- \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{4})
=\dfrac{1}{4})
et =\dfrac{1}{2})
donc =1- \left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{4})
, la probabilité que le temps soit variable est égale à 
, prenons par exemple 
, on obtient le système suivant :
\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y=1-x\\\dfrac{17}{12}x=\dfrac{3}{4}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}y=1-\dfrac{9}{17}\\x=\dfrac{9}{17}\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{\begin{cases}y=\dfrac{8}{17}\\x=\dfrac{9}{17}\end{cases}})
, donc d'après le cours, 
représente l'état stable de ce système et on conclut que :
et 
 = -\infty})
![x \in ]0 ; 5]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \in ]0 ; 5])
, =-1+\dfrac{2}{x}=\boxed{\dfrac{2-x}{x}})
puisque \ge 0)
pour tout \le 0)
pour tout  & \dbarre& &+ & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre&-\infty & \croit &2\ln 2-1&\decroit& 2\ln 5-4 \\ \hline \end{tabvar})
=2\ln 2-1 \text{ et } f(5)=2\ln 5-4)
=1-1+2\ln 1= \boxed{0})
=-2+2\ln3\approx 0,197 > 0)
et  = -3 + 2\ln 4 \approx -0,227 < 0)
![\boxed{\text{ L'équation }f(x)=0 \text{ admet une solution unique } \alpha \text{ sur [3 ; 4]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ L'équation }f(x)=0 \text{ admet une solution unique } \alpha \text{ sur [3 ; 4]}})
 \approx 0,001 > 0)
et \approx -0,003< 0)
donc : 
=0)
alors :
 \le 0)
 \ge 0)
=0)
alors :
![[2 ; \alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[2 ; \alpha])
, \ge 0)
![[\alpha ; 5]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\alpha ; 5])
, \le 0)
![\boxed{f\text{ est positive sur } [1 ; \alpha] \text{ et négative sur } ]0,1]\cup[\alpha ; 5]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f\text{ est positive sur } [1 ; \alpha] \text{ et négative sur } ]0,1]\cup[\alpha ; 5]})
![]0 ; 5]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ; 5])
,  =- \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1+x\left(- \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{x}- 1\right)=- \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1- \dfrac{x}{2} + 2=-x+1+2\ln x=\boxed{f(x)})
et 
, l'axe des abscisses et la courbe ![[1 ; \alpha]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1 ; \alpha])
(qui est au-dessus de l'axe des abscisses)
![\displaystyle\int_{1}^{\alpha} f(x) dx =\left[g(x)\right]_1^{\alpha}=\boxed{g(\alpha)-g(1)\text{ (u.a)}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\int_{1}^{\alpha} f(x) dx =\left[g(x)\right]_1^{\alpha}=\boxed{g(\alpha)-g(1)\text{ (u.a)}})
, donc : ![\mathcal{A}=10\left[g(\alpha)-g(1)\right] \text{ (cm}^2\text{)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}=10\left[g(\alpha)-g(1)\right] \text{ (cm}^2\text{)})
, donc :
-1\right)-10\left(-\dfrac{1}{2}+2\ln 1-1\right)\approx \boxed{6,44 \text{ (cm}^2\text{)}})
.
Voir la correction
forum de terminale