Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
La Réunion - Session Juin 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la vente de pots de plantes vertes en milliers de pots en France, de 1999 à 2004.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_{i}$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre $y_{i}$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180

Vente de pots de plantes

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 1

Pour ce nuage de points, un ajustement affine ne semble pas adapté. On cherche alors un ajustement exponentiel.
1. On pose $z_{i} = \ln y_{i}$ .
a) Calculer les valeurs $z_{i}$ , du tableau associées aux rangs $x_{i}$ , en arrondissant au centième et pour $i$ variant de 1 à 6. On portera ces valeurs dans le tableau ci-dessous.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_{i}$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre $y_{i}$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180
$z_i = \ln y_i$

    b) Construire, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points $N_{i}(x_{i}~ ;~ z_{i})$ , dans le repère orthogonal défini de la manière suivante :
    sur l'axe des abscisses, on place O à l'origine et on prend 2 cm pour représenter 1 année
    sur l'axe des ordonnées, on place 8,50 à l'origine et on prend 1 cm pour représenter 0,01.

2. a) A l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés (on ne demande pas le détail des calculs). Les coefficients seront arrondis au centième.
    b) Tracer la droite $d$ dans le repère précédemment défini.
    c) Déterminer la relation entre $y$ et $x$ , sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ , qui traduit l'équation de la droite d'ajustement $d$ . Le nombre $A$ est arrondi à l'unité et le nombre $B$ arrondi au centième.

3. a) On suppose que l'évolution de la vente reste conforme à l'ajustement calculé à la question 2. Donner alors une estimation du nombre de pots qu'on peut espérer vendre en 2006, exprimé en milliers de pots (résultat arrondi à l'unité).
    b) Une étude concurrente donne une estimation pour 2006 de 5085 milliers de pots vendus. Calculer la différence entre les deux estimations. Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à la premiere estimation ? (on donnera une valeur approchée arrondie au centième de ce résultat).

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de transports routiers dispose de 16 camions dont :
    9 sont considérés comme « anciens »
    4 sont considérés comme « récents »
    3 sont considérés comme « neufs ».

Partie A

L'entreprise décide d'observer l'état des 16 camions pendant une période donnée. On sait de plus que, pendant cette période, la probabilité que :
un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08

un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05
un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,0025.

On choisit au hasard un camion parmi les 16. On note les évènements suivants :
A : « le camion est ancien »
R : « le camion est récent »
N: « le camion est neuf »
D : « le camion a une panne ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant les éventualités associées au choix d'un camion.
2. Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (on donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur approchée du résultat arrondie à 10^-4 près).
3. Calculer la probabilité que le camion choisi ait une panne.
4. Calculer la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse seulement aux camions « neufs ».
(on donnera, pour chacune des questions suivantes, une valeur approchée du résultat arrondie au millième).

Un camion peut être indisponible pour des raisons de matériel ou de personnel. Chaque camion neuf a de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de 0,01.
Déterminer la probabilité pour qu'un jour donné :
1. tous les camions « neufs » soient indisponibles (évènement T)
2. un camion « neuf » au moins soit indisponible (évènement M)
3. deux camions « neufs » exactement soient disponibles (évènement S).

5 points

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{1} = 12 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + 5 \text{ pour tout entier naturel } n \geqslant 1$

1. Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = \dfrac{1}{3}x + 5$ pour construire les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
(Cette construction est à faire sur le graphique ci-dessous).

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 8

Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

2. Soit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , par : $v_{n} = u_{n} - \dfrac{15}{2}$ .
    a) Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ .
    b) Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ puis en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

3. Est-il possible de déterminer $n$ de sorte que :
    a) $u_{n} - \dfrac{15}{2} \leqslant 10^{-6}$ ?
    b) $u_{n} - \dfrac{15}{2} \geqslant 10^{6}$ ?

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $\Gamma$ d'une fonction $g$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . La courbe $\Gamma$ passe par les points O(0 ; 0) et A (2 ; 2).
La droite (AB) est la tangente en A à la courbe $\Gamma$ .
La tangente à $\Gamma$ au point C d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 3

1. Déterminer graphiquement les valeurs de $g(0),~ g(2),~ g'(1),~ g'(2)$ .

2. Une des représentations graphiques présentées ci-dessous, représente la fonction dérivée $g'$ de $g$ et une autre représente une primitive $G$ de $g$ sur $\mathbb{R}$ .

Courbe 1	Courbe 2
Courbe 3	Courbe 4

Déterminer la courbe associée à la fonction $g'$ et celle associée à $G$ ; vous justifierez votre choix à l'aide d'arguments basés sur l'examen des représentations graphiques.

3. On suppose que la fonction $g$ est de la forme : $g(x) = (x + a)\text{e}^{bx+c}$ où $a,~ b$ et $c$ sont des nombres réels.
    a) Démontrer que $a = 0$ et que $c = -2b$ .
    b) Déterminer $g'(x)$ en fonction de $b$ et de $x$ .
    c) Calculer alors les valeurs de $b$ et de $c$ .

4. Démontrer que la fonction $G$ définie par $G(x) = - (x+ 1)\text{e}^{2 - x}$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ .

5. Calculer l'aire $\mathcal{K}$ , exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$ .

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte.
Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si le total de point est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

1. L'expression $f(x) = x\left(1 + \text{e}^{-x}\right) + 1$ peut aussi s'exprimer ainsi :
    a) $f(x) = \ln \text{e} + \text{e}^{-x}\left(x + x\text{e}^{x}\right)$
    b) $f(x) = x\text{e}^{-x}$
    c) $f(x) = x\text{e}^{-x} + 1 + \text{e}^{x}$

2. Deux fonctions $u$ et $g$ sont connues par leurs tableaux de variations.
$\begin{tabvar}{|C|LCCCCCR|} \hline x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline \niveau{3}{5} u(x) & 4 & \decroit & 2 & \decroit & -2 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

$\begin{tabvar}{|C|LCCCCCR|} \hline x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{3} g(x) & -\infty & \croit & 0 & \decroit & -1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$ On a alors :
    a) $g[u(-1)] = - 1$
    b) $g[u(-2)] = - 2$
    c) $g[u(-1)] = -2$

3. En considérant les fonctions $u$ et $g$ précédentes , on a :
    a) $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g[u(x)] = 4$
    b) $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g[u(x)] = -\infty$
    c) $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g[u(x)] = +\infty$

4. En considérant la fonction $g$ de la question 2, l'équation $g (x) = 3$ admet :
    a) exactement une solution sur [-4 ; 2]
    b) exactement une solution sur $[-3 ~;~ +\infty [$
    c) exactement une solution sur $]-\infty~ ;~ -2]$

5. Dire que la droite d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique en $+ \infty$ à la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan, revient à dire que :
    a) $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - 1$
    b) $\displaystyle\lim_{x \to 0} [f(x) - (x - 1)] = + \infty$
    c) $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$

6. La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \text{e}^{- x^2 + 1}$ est :
    a) une primitive de la fonction qui à $x$ associe : $-x\text{e}^{- x^2 + 1}$
    b) une primitive de la fonction qui à $x$ associe : $-2 x \text{e}^{1 - x^2}$
    c) la dérivée de la fonction qui à $x$ associe : $-2x \text{e}^{1 - x^2}$

7. Une fonction $f$ est connue par son tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|LCCCCCR|} \hline x & -\infty & & 3 & & 5 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f(x) & -\infty & \croit & 1 + e & \decroit & 1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$ Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ . On peut affirmer que :
    a) $F$ est croissante sur $]- \infty~ ;~ 3]$
    b) $F'$ est positive sur $\mathbb{R}$
    c) $F$ est croissante sur [3 ; 5]

8. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} - \lbrace 4 \rbrace$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 4}$ a pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}$ , dans un repère donné. On peut dire alors que :
    a) la droite d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .
    b) la droite d'équation $x = - 4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$
    c) la droite d'équation $x = 4$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ en $+\infty$ .

9. Pour toute fonction $f$ continue et positive sur [- 1 ; 1] si $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère donné du plan, alors $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \:\text{d}x$ est :
    a) la valeur moyenne de $f$ sur [- 1 ; 1].
    b) l'aire, en unités d'aire, du domaine sous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ , entre les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 1$ .
    c) égale à $f(1) - f(-1)$ .

10. $a$ et $b$ étant deux nombres réels strictement positifs, $\ln (a + b)$ est égale à :
    a) $(\ln a) \times (\ln b)$ .
    b) $\ln a + \ln \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) + \ln b$ .
    c) $\ln a + \ln b$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a)

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x_{i}$ de l'année	1	2	3	4	5	6
Nombre $y_{i}$ de pots de plantes (en milliers de pots)	5702	5490	5400	5319	5200	5180
$z_i = \ln y_i$	8,65	8,61	8,59	8,58	8,56	8,55

1. b) Voir figure en 2. b)

2. a) Avec un arrondi au centième des coefficients, une équation de la droite $d$ est : $\boxed{z=-0,02x+8,66}$

2. b)

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 12

2. c) On a $z=\ln(y)$ avec $z=-0,02x+8.66$ , alor s: $\ln(y)=-0,02x+8,66\Longleftrightarrow y=e^{-0,02x+8,66}\Longleftrightarrow y=e^{-0,02x}e^{8,66}$
Or : $e^{8,66}\approx 5767,53$ , on pose alors $A=5768$ et $B=-0,02$ . L'ajustement exponentiel du nuage de points proposé est : $\boxed{y=Ae^{Bx} \text{ avec } A=5768\text{ et }B=-0,02}$

3. a) Le rang associé à l'année 2006 est 8 et $5768e^{-0,02\times 8}\approx 4915,17$
En 2006, avec cet ajustement, on peut espérer vendre 4 915 milliers de pots

3. b) Entre les deux estimations, il y a une différence de 5 085 - 4 915 = 170 milliers de pots et $\dfrac{170}{4915}\approx 0,0346$
Avec la deuxième estimation, la prévision des ventes est en augmentation de 3,46% par rapport à la première estimation.

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. L'entreprise de transports routiers dispose de 16 camions dont :
9 sont considérés comme anciens, d'où $P(A)=\dfrac{9}{16}$
4 sont considérés comme récents, d'où $P(R)=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$
3 sont considérés comme neufs, d'où $P(N)=\dfrac{3}{16}$

D'autre part, la probabilité que :
Un camion ancien ait une panne, est égale à 0,08 d'où $P_A(D)=0,08$
Un camion récent ait une panne, est égale à 0,05 d'où $P_R(D)=0,05$
Un camion neuf ait une panne, est égale à 0,0025 d'où $P_N(D)=0,0025$
D'où l'arbre probabiliste ci-dessous :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 11

2. $P(R\cap D)=P_R(D)\times P(R)=0,05\times \dfrac{1}{4}=\boxed{0,0125}$

3. $P(D)=P(A\cap D)+P(R\cap D)+P(N\cap D)$ |nl] $P(D) = P_A(D)\times P(A)+P(R\cap D)+P_N(D)\times P(N) = 0,08\times \dfrac{9}{16}+0,0125+0,0025\times\dfrac{3}{16}\approx\boxed{0,0580}$

4. $P_{\overline{D}}(N)=\dfrac{P(N\cap \overline{D})}{P(D)}=\dfrac{(1-P_N(D))P(N)}{P({\overline{D}})}=\dfrac{(1-0,0025) \times \dfrac{3}{16}}{0.942}\approx \boxed{0,1985}$

Partie B

Il y a 3 camions neufs et chaque camion neuf ayant de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de 0,01, la loi de probabilité associée au nombre de camions neufs indisponibles un jour donné est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,01.
Notons $L$ l'événement : "un camion neuf est indisponible".
La réalisation de trois expériences aléatoires successives et indépendantes les unes des autres peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 9

1. $P(T)=(0,01)^3=0,000001\approx \boxed{0}$

2. $P(M)=1\times(0,99)^3=0,029701\approx\boxed{0,030}$

3. $P(S)=3\times(0,99)^2\times 0,01=0,029403\approx\boxed{0,029}$

exercice 2 - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

bac ES obligatoire et spécialité La Réunion juin 2006 - terminale : image 10

Graphiquement, la suite $(u_n)$ semble converger vers 7,5.

2. a) Pour tout entier $n\ge 1$ :
$v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{15}{2}= \left(\dfrac{1}{3}u_n+5 \right)-\dfrac{15}{2}=\dfrac{1}{3}u_n-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{3} \left(u_n - \dfrac{15}{2} \right)=\boxed{\dfrac{1}{3}v_n}$
Pour tout entier $n\ge 1$ , $v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n$
Alors : $\boxed{\text{ La suite } (v_n) \text{ est une suite géométrique de raison } \dfrac{1}{3}}$

2. b) $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1=u_1-\dfrac{15}{2}=\dfrac{9}{2}$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ .
On en déduit : $\boxed{\text{ Pour tout entier } n\ge 1 \text{ , } v_n=\dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}$

2. c) On a $0<\dfrac{1}{3}<1$ , donc: $\boxed{ (v_n) \text{ converge vers 0}}$
On en déduit alors : $\boxed{ \text{ La suite } (u_n) \text{ converge vers } \dfrac{15}{2}}$

3. a) $u_{n} - \dfrac{15}{2} \leq 10^{-6}\Longleftrightarrow v_n\le 10^{-6}\Longleftrightarrow \dfrac{9}{2} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} \le 10^{-6}\Longleftrightarrow n\ge \dfrac{ \ln9-\ln(2\times10^{-6})}{\ln 3}+1$
Or, on a : $\dfrac{ \ln9-\ln(2\times10^{-6})}{\ln 3}+1\approx 14,9445$ donc:
$\boxed{ u_{n} - \dfrac{15}{2} \leqslant 10^{-6} \text{ pour } n\ge 15}$

3. b) Non il n'existe pas d'entier $n$ vérifiant $u_{n} - \dfrac{15}{2} \geq 10^{6}$ car $(v_n)$ est décroissante et $v_1=\dfrac{9}{2}<10^6$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1.
La courbe passe par les points O(0 ; 0) et A(2 ; 2), donc : $\boxed{g(0)=0 \text{ et } g(2)=2}$
$g'(2)$ correspond au coefficient directeur de la droite (AB) qui est la tangente de la courbe $\Gamma$ au point A(2 ; 2).
Cette tangente admet pour vecteur directeur $\vec{V}(1 ; -1)$ et on obtient : $\boxed{g'(2)=-1}$
La tangente à $\Gamma$ au point C d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses alors $\boxed{g'(1)=0}$ .

2. Puisque $g'(1)=0$ et puisque la seule courbe qui passe par le point de coordonnées (1 ; 0) est la courbe 2.
Donc : La courbe 2 représente la fonction $g'$
Sur $]-\infty ; 0]$ , $g(x) \leq 0$ et sur $[0 ; +\infty[$ , $g(x)\geq 0$ et par conséquent, la fonction $G$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et croissante sur $[0 ; +\infty[$ .
La seule courbe susceptible de représenter la fonction $G$ est la courbe 4.

3. a)
$g(0)=0\Longleftrightarrow ae^c=0$ , or pour tout réel $x$ , $e^x>0$ donc $\boxed{a=0}$
$g(2)=2\Longleftrightarrow 2e^{2b+c}=2\Longleftrightarrow e^{2b+c}=1\Longleftrightarrow 2b+c=0\Longleftrightarrow \boxed{c=-2b}$

3. b) On a $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = x\text{e}^{bx-2b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
Donc, pour tout réel $x$ : $g'(x)=\text{e}^{bx-2b}+bx\text{e}^{bx-2b}=\boxed{(1+bx)\text{e}^{bx-2b}}$

3. c) On a $g'(1)=0\Longleftrightarrow (1+b)e^{-b}=0\Longleftrightarrow 1+b=0\text{ ou } e^{-b}=0$ $\Longleftrightarrow 1+b=0 \text{ (car la fonction exp ne s'annule pas } \Longleftrightarrow \boxed{b=-1}$

4. Soit la fonction $G$ définie par $G(x) = - (x+ 1)\text{e}^{2 - x}$ sur $\mathbb{R}$ .
Donc, pour tout réel $x$ : $G'(x)=-\text{e}^{2 - x}+(x+1)e^{2-x}=(-1+x+1)e^{2-x}=xe^{2-x}=\boxed{g(x)}$

5. Sur [2 ; 3], la fonction $g$ est toujours positive, donc l'aire $\mathcal{K}$ , exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$ est :
$\displaystyle \int_2^3 g(x) dx =\left[G(x)\right]_2^3=G(3)-G(2)=\boxed{-4e^{-1}+3\text{ (u.a)}}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Réponse exacte a)
$\ln \text{e} + \text{e}^{-x}\left(x + x\text{e}^{x}\right)=1+xe^{-x}+xe^{-x}e^{x}=1+xe^{-x}+x=1+x(e^{-x}+1)=\boxed{f(x)}$

2. Réponse exacte a)
On a $u(-1)=2$ et $g(2)=-1$ , donc $\boxed{g(u(-1))=-1}$

3. Réponse exacte c)
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} u(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$ , donc : $\boxed{\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g[u(x)] = +\infty}$

4. Réponse exacte b)
3 appartient à $[1 ; +\infty[$

5. Réponse exacte c)
Voir cours

6. Réponse exacte b)
$g'(x) = \left(\text{e}^{- x^2 + 1}\right)'=\boxed{-2xe^{-x^2+1}}$

7. Réponse exacte c)
$f$ est positive sur [3 ; 5]

8. Réponse exacte a)
c) n'a mathématiquement pas de sens et b) est faux car $\displaystyle \lim_{x\to-4}f(x)=-\dfrac{21}{8} \neq \infty$

9. Réponse exacte b)
Voir cours

10. Réponse exacte b)
$\ln a + \ln \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) + \ln b=\ln \left[a\times\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)\times b\right]=\ln \left[ab\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)\right]=\ln (b+a)=\boxed{\ln (a+b)}$

Publié par Cel/dandave le 01-08-2014

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