Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Antilles - Guyane - Session Septembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1. L'ensemble des solutions de l'équation $\ln \left(x^2\right) = 2$ est...
    $\lbrace\text{e}\rbrace$
    $\lbrace-2 ; 2\rbrace$
    $\lbrace-\text{e} ; \text{e}\rbrace$

2. $\text{exp} (2x - 6)$ est égal à ...
    $\text{e}^{2x} - \text{e}^6$
    $\dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^6}$
    $\left(\text{e}^{x-3}\right)^2$

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation $- 1 < \text{e}^x < 9$ est ...
    $]0 ; \ln 9[$
    $]- \infty ; 2\ln 3[$
    $]\text{e}^{-1} ; \text{e}^9[$

4. Si $\displaystyle\int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x = 1,9$ et $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = -0,9$ , alors $\displaystyle\int_{2}^5 f(x)\:\text{d}x =$ ...
    1
    - 2,8
    2,8

5. La valeur moyenne de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{(x + 1)}$ sur [0 ; 4] est égale à ...
    $\dfrac{1}{2}\ln 2$
    $\dfrac{1}{4}\ln 5$
    $\ln 4$

6. Laquelle de ces limites est exacte ?
    $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x}\right) = - \infty$
    $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^x = - \infty$
    $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 1$

7. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. Si le coût marginal est $C_{m}(q) = \dfrac{6 + 6\ln q}{q}$ exprimé en milliers d'euros pour $q > 0$ , alors le coût total exprimé en milliers d'euros est égal à
    $\text{C}_{\text{T}}(q) = 3 \ln q(2 + \ln q)$
    $\text{C}_{\text{T}}(q) = \dfrac{- 6\ln q}{q^2}$
    $\text{C}_{\text{T}}(q) = 6 \ln q + 3\ln \left(q^2\right)$

8. Si $f$ est la fonction définie sur $[1 ; + \infty[$ par : $f(x) = 2\ln x - 3x + 5$ , alors dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse 1 est ...
    $y = -x + 2$
    $y = -x + 3$
    $y = -3x - 2$

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A : Utilisation d'un graphique

La courbe $\mathcal{C}_{g}$ donnée ci-dessous représente, dans un repère du plan, une partie de la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur [0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = \dfrac{a}{\text{e}^{bx} + 1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
Soient A et B les points de coordonnées respectives A(0 ; 6) et B(4 ; 0).

1. Sachant que la droite (AB) est tangente à la courbe au point A, déterminer $g(0)$ , puis $g'(0)$ .

2. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ la dérivée $g'(x)$ .

3. à l'aide des résultats précédents prouver que $a = 12$ et $b = 0,5$ .

Partie B : Étude de fonctions

1. On donne $f(x) = \text{e}^{0,5x} - 1$ pour tout réel $x$ dans [0 ; + $\infty$ [
    a) Calculer $f(0)$ , puis étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ .
    b) Étudier le sens de variations de $f$ , puis dresser son tableau de variations sur [0 ; + $\infty$ [.
    c) Tracer, sur le graphique en annexe, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ .

2. On rappelle que $g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^{0,5x} + 1}$ et on admet que l'équation $f(x) = g(x)$ admet une solution unique $p$ sur [0 ; + $\infty$ [.
    a) Déterminer la valeur exacte de $p$ . Contrôler graphiquement ce résultat.
    b) En déduire la valeur exacte de $n = f(p)$ .
    c) Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\ln 13} f(x)\:\text{d}x$ ; que représente graphiquement cette intégrale ? Le préciser sur le graphique.

Partie C : Interprétation économique

Pour un prix de vente unitaire $x$ , exprimé en centaines d'euros, $f(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, proposés sur le marché et $g(x)$ est le nombre d'objets, exprimé en centaines, que les consommateurs sont prêts à acheter.
La fonction $f$ est appelée fonction d'offre et la fonction $g$ fonction de demande.
À l'aide des calculs réalisés dans la partie B, répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le prix d'équilibre arrondi à 1 euro ?

2. On appelle rente du producteur le nombre R $= np - \displaystyle\int_{0}^p f(x)\:\text{d}x$ ( $n$ et $p$ étant définis en B 2).
Calculer la valeur exacte de R, puis son approximation décimale arrondie à la centaine d'euros.

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 4

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une bibliothécaire a constaté que
    Lorsqu'un étudiant choisit un livre, ce livre est une bande dessinée avec une probabilité égale à 0,3 ou un roman une fois sur cinq ; sinon c'est un livre de cours.
    Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux.
    La probabilité qu'il emprunte à la fois une bande dessinée et un magazine est 0,24.
    Lorsqu'il prend un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine.

1. Un étudiant entre dans la bibliothèque.
On notera :
B l'évènement «il emprunte une bande dessinée»,
R l'évènement «il emprunte un roman»,
C l'évènement «il emprunte un livre de cours»,
M l'évènement «il emprunte un magazine».
    a) Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
    b) Calculer la probabilité qu'il choisisse un livre de cours.
    c) Calculer la probabilité qu'il emprunte un magazine sachant qu'il a déjà pris une bande dessinée.
    d) Calculer la probabilité qu'il reparte avec un magazine.
    e) Quelle est la probabilité qu'il emprunte un roman sachant qu'il a pris un magazine ? Le résultat sera arrondi au millième.

2. Trois étudiants sont entrés en même temps et choisissent, de manière indépendante, des ouvrages. On note $X$ le nombre total de magazines qu'ils empruntent. On suppose dans cette question que $p(\text{M}) = 0,34$ où M est l'évènement défini dans la question 1.
    a) Déterminer la probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun.
    b) Quelles sont les valeurs possibles de $X$ ?
    c) Déterminer la loi de probabilité de $X$ ; on présentera les résultats sous forme d'un tableau.
Les résultats seront arrondis au millième.

$x_{i}$
$p\left(X = x_{i}\right)$

d) Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise a créé un site internet et a noté sa fréquentation chaque mois pendant six mois.

$x_{i}$ rang du mois	1	2	3	4	5	6
$y_{i}$ nombre de visiteurs	15	32	60	125		491

1. Quel est le pourcentage d'augmentation de la fréquence de visite de ce site entre les mois 2 et 3 ?

2. Quel est le nombre de visiteurs le cinquième mois sachant qu'il y a eu une moyenne de 157 personnes sur les six premiers mois ?

3. Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (unités graphiques : 2 cm pour un mois en abscisse et 2 cm pour 100 personnes en ordonnée).

4. On veut estimer le nombre de visiteurs au 10^ème mois d'existence de ce site.
a) Un ajustement affine est-il indiqué ? Justifier votre réponse.
b) On note $z_{i} = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{10}\right)$ .
Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
Les résultats seront arrondis au millième.

$x_{i}$	1	2	3	4	5	6
$z_{i}$					3,086

    c) À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ obtenu, par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
    d) En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = k \times \text{e}^{px}$ . Les réels $k$ et $p$ seront arrondis au centième.
    e) Combien de visiteurs peut-on espérer le 10^ème mois en utilisant ce modèle ? Qu'en pensez-vous ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 40 % des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. On néglige les nouveaux abonnés.
On suppose de plus qu'en 2005, 25 % de cette population est abonnée à l'opérateur A.

Partie A

1. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à cette situation. En déduire la matrice de transition, notée M.

2. On note :
    $a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année $2005 + n$
    $b_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année $2005 + n$
    E $_{n}$ la matrice $(a_{n}\quad b_{n})$ , correspondant à l'état probabiliste l'année $2005 +n$ .
    a) Préciser E $_{0}$ .
    b) Calculer E $_{1}$ en faisant apparaître vos calculs.
    c) Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2013.
On pourra utiliser la calculatrice et on donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
    d) Soit E la matrice $(a \quad b)$ où $a$ et $b$ sont deux réels positifs tels que $a + b = 1$ .
Déterminer $a$ et $b$ tels que E = E $\times$ M. Interpréter ce résultat.

Partie B

1. Montrer que $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,1$ .

2. On pose, pour tout entier naturel $n, u_{n} = a_{n} - 0,2$ .
    a) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b) En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $a_{n}$ en fonction de $n$ .
    c) Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ . Que retrouve-t-on ?

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. L'ensemble des solutions de l'équation $\ln \left(x^2\right) = 2$ est $\lbrace -e,e\rbrace$
Cette équation a un sens pour $x\neq0$ et $\ln \left(x^2\right) = 2\Longleftrightarrow x^2=e^2\Longleftrightarrow x^2-e^2=0\Longleftrightarrow (x-e)(x+e)=0\Longleftrightarrow x=-e\text{ ou } x=e$

2. $\text{exp} (2x - 6)$ est égal à $\left(e^{x-3}\right)^2$
$\text{exp} (2x - 6)=e^{2x-6}=e^{2(x-3)}=\left(e^{x-3}\right)^2$

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation $- 1 < \text{e}^x < 9$ est $]-\infty,2\ln 3[$
$- 1 < \text{e}^x < 9\Longleftrightarrow \begin{cases}-1<\text{e}^x\\\text{e}^x<9\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} x\in\mathbb{R} \\ x<\ln 9\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\in \mathbb{R} \\ x\in ]-\infty,2\ln 3[ \end{cases} \Longleftrightarrow x\in \mathbb{R}\cap]-\infty,2\ln 3[=]-\infty,2\ln 3[$

4. Si $\displaystyle\int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x = 1,9$ et $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = -0,9$ , alors $\displaystyle\int_{2}^5 f(x)\:\text{d}x =2,8$
$\displaystyle\int_{2}^5 f(x)\:\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x+\displaystyle\int_{2}^0 f(x)\:\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^5 f(x)\:\text{d}x-\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x=1,9-(-0,9)=2,8$

5. La valeur moyenne de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{(x + 1)}$ sur [0 ; 4] est égale à $\dfrac{\ln 5}{4}$
$\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 \dfrac{1}{(x + 1)} dx=\dfrac{1}{4}\left[\ln(x+1)\right]_0^4=\dfrac{\ln 5}{4}$

6. La limite exacte est $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x}\right) = - \infty$
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{2}{\text{e}^x}\right) =\lim_{x\to+\infty} \ln 2-\ln e^x=\lim_{x\to+\infty}\ln 2 - x=-\infty$

7. Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. Si le coût marginal est $C_{m}(q) = \dfrac{6 + 6\ln q}{q}$ exprimé en milliers d'euros pour $q > 0,$ alors le coût total exprimé en milliers d'euros est égal à : $\text{C}_{\text{T}}(q) = 3 \ln q(2 + \ln q)$
$\text{C}_{\text{T}}'(q) = \left(3 \ln q(2 + \ln q)\right)'=\dfrac{3}{q}(2+\ln q)+3\ln q \dfrac{1}{q}=\dfrac{6+3\ln q+3\ln q}{q}=\dfrac{6+6\ln q}{q}=\text{C}_{\text{m}}(q)$

8. Si $f$ est la fonction définie sur $[1 ; + \infty[$ par : $f(x) = 2\ln x - 3x + 5$ , alors dans un repère du plan, une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse 1 est : $y = -x + 3$
$y=f'(1)(x-1)+f(1)\Longleftrightarrow y=-(x-1)+2\Longleftrightarrow y=-x+3$ car : $f'(x)= \dfrac{2}{x}-3 \text{ et alors } \begin{cases} f(1)=2\\f'(1)=-1\end{cases}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A : Utilisation d'un graphique

1. $A(0~;~6)\in\mathcal{C}_g}$ donc $g(0)=6$
La droite (AB) admet pour vecteur directeur $\vec{V}(4~;~-6)$ donc le coefficient directeur de cette droite est $-\dfrac{3}{2}$ .
Donc $g'(0)=-\dfrac{3}{2}$
Conclusion : $\boxed{g(0)=6 \text{ et } g'(0)=-\dfrac{3}{2}}$

2. $g$ est définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$
Pour tout réel positif : $g'(x) = \boxed{-\dfrac{ab\text{e}^{bx}}{(\text{e}^{bx} + 1)^2}}$

3. On a : $\begin{cases}g(0)=6\\g'(0)=\dfrac{-3}{2}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} \dfrac{a}{2}=6\\\dfrac{-ab}{4}=-\dfrac{3}{2}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}a=12\\b=\dfrac{6}{a}=\dfrac{6}{12}\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{\begin{cases}a=12\\b=0.5\end{cases}}$

Partie B : Étude de fonctions

1. a)
$f(0)=e^{0}-1=\boxed{0}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^{0,5x}-1= \boxed{+\infty}$

1. b) $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ , et $f'(x)=\boxed{0,5e^{0,5 x}}$ . On conclut directement que $f'(x)>0$ pour tout réel positif $x$
Et donc : $\boxed{ f \text{ est strictement croissante sur } [0 ; +\infty[ }$
Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCC|} \hline x & 0 & & +\infty \\\hline f'(x)& &+&\\\hline \niveau{2}{3} f & 0 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

1. c) Voir la figure à la fin de la partie B.

2. a) $p$ est un réel positif solution de l'équation $f(x)=g(x)$ , donc :
$f(p)=g(p)\Longleftrightarrow e^{0,5p}-1= \dfrac{12}{\text{e}^{0,5p} + 1}\Longleftrightarrow (e^{0,5p}-1)(e^{0,5p}+1)=12\Longleftrightarrow e^p-1=12\Longleftrightarrow e^p=13\Longleftrightarrow \boxed{p=\ln 13}$
Figure à la fin pour l'interprétation graphique.

2. b) Déduction : $n=f(p)=f(\ln 13)=e^{0,5\ln 13}-1=e^{\ln (13^{0,5})}-1=13^{0,5}-1=\boxed{\sqrt{13}-1}$

2. c) $\displaystyle\int_{0}^{\ln 13} f(x)\:\text{d}x=\int_0^{\ln 13} (e^{0,5x}-1)\:\text{d}x=\left[2e^{0,5x}-x\right]_0^{\ln 13}=2e^{0,5\ln 13}-\ln 13 -2=\boxed{2\sqrt{13}-\ln 13 -2}$
La fonction $f$ ne prenant que des valeurs positives, cette intégrale représente en unités d'aire (u.a) l'aire du domaine plan délimité par $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 13$ . Celle-ci est représentée par le domaine orange sur la figure ci-dessous.
Figure :

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 11

Partie C : Interprétation économique

1. Le point d'équilibre correspond au point de coordonnées $(p ; n)$ et le prix d'équilibre qui en est l'abscisse vaut donc : $\ln(13)\approx 2,56 \text{ centaines d'euros soit }\boxed{256\text{ euros}}$

2. $R = np - \displaystyle\int_{0}^p f(x)\:\text{d}x =\ln (13)(\sqrt{13}-1)-\left[2\sqrt{13}-\ln 13 -2\right]=\boxed{\sqrt{13}\ln 13-2\sqrt{13}+2}$
Approximation : La rente du producteur vaut donc environ 4 centaines d'euros.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) On a :
$\bullet$ Le livre choisi est :
Soit une bande dessinée avec une probabilité égale à $P(B)=0,3$
Soit un roman une fois sur cinq, donc avec une probabilité $P(R)=\dfrac{1}{5}=0,2$
Soit un livre de cours, donc avec une probabilité : $P(C)=1-(P(R)+P(B))=0,5$
$\bullet$ Lorsque l'étudiant choisit un roman, il prend aussi un magazine une fois sur deux d'où $P_R(M)=0,5$ et $p_R(\overline{M})=1-0,5=0,5$
$\bullet$ Lorsque l'étudiant un livre de cours, il n'emprunte pas de magazine d'où $P_C(M)=0$ et $P_C(\overline{M})=1$
On obtient l'arbre pondéré suivant :

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 9

1. b) On a : $P(R)+P(B)+P(C)=1$ , d'où : $P(C)=1-P(R)-P(B)=1-(0,3+0,2)=\boxed{0,5}$

1. c) On a : $P_B(M)=\dfrac{P(B\cap M)}{P(B)}$ , donc $P_B(M)=\dfrac{0,24}{0,3}=\boxed{0,8}$

1. d) On a : $P(R\cap M)=P_R(M)\times P(R)$ .
Soit alors $P(R\cap M)=0,5\times 0,2 = 0,1$
D'où : $P(M)=0,24+0,1=\boxed{0,34}$

1. e) $P_M(R)=\dfrac{P(R\cap M)}{P(M)}=\dfrac{0,1}{0,34}\approx \boxed{0,294}$

2. a) Les trois étudiants choisissent, de manière indépendante, des ouvrages, l'expérience aléatoire est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
La loi de probabilité associée au nombre d'étudiants qui choisissent un magazine est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,34.
La probabilité que les trois étudiants empruntent un magazine chacun est : $P(X=3)=(0,34)^3\approx \boxed{0,039}$

2. b) La variable $X$ peut prendre les valeurs $\boxed{0 ; 1 ; 2\text{ ou } 3}$

2. c) Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 13

Nous avons donc :
$P(X=0)=0,66^3\approx \boxed{0,287}$
$P(X=1)=3\times 0,34\times 0,662\approx \boxed{0,444}$
$P(X=2)=3\times 0,66\times 0,342\approx\boxed{ 0,229}$
La loi de probabilité de la variable $X$ peut être récapitulée dans ce tableau :

$x_i$	0	1	2	3
$P(X=x_i)$	0,287	0,444	0,229	0,039

2. d) L'espérance de cette loi est : $E(X)=0\times 0,287 + 1\times 0,444 + 2\times 0,229 + 3\times 0,039=\boxed{1,019}$
Lorsque trois étudiants entrent, un magazine en moyenne est emprunté.

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Entre le deuxième et troisième mois, le nombre de visiteurs a augmenté de : $\dfrac{60-32}{32}= 0,875 \text{ soit }\boxed{87,5\%}$
2. Notons $N$ le nombre de visiteurs le cinquième mois : $\dfrac{15+32+60+125+N+491}{6}=157\Longleftrightarrow \boxed{N=219}$

3. Le nuage :

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 12

4. a) Les points du nuage ne sont pas "presque alignés", un ajustement affine ne serait pas adéquat.

4. b)

$x_i$	1	2	3	4	5	6
$z_i$	0,405	1,163	1,792	2,526	3,086	3,894

4. c) En utilisant la calculatrice, on obtient : $\boxed{ z=0,684x-0,250}$

4. d) Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln \left(\dfrac{y}{10} \right)\Longleftrightarrow \dfrac{y}{10}=e^{z}$
D'où $y=10e^{0,684x-0,250} \Longleftrightarrow y=10e^{0,250}e^{0,684x}\Longleftrightarrow \boxed{y=7,79e^{0,68x}}$

4. e) Pour $x=10$ on obtient : $y=7,79 e^{0,68 \times 10}\approx \boxed{7279}$
En utilisant ce modèle, on peut donc espérer environ 7279 visiteurs, ce qui semble très important.

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Notons :
$A_n$ l'événement : "Une personne prise au hasard, est abonnée à l'opérateur A l'année $2005 + n$ "
$B_n$ l'événement : "Une personne prise au hasard, est abonnée à l'opérateur B l'année $2005 + n$ "
Chaque année, 40% des abonnés à l'opérateur A le quitte pour l'opérateur B et 10% des abonnés à l'opérateur B le quitte pour l'opérateur A. D'où $E_{A_n}(B_n+1)=0.4$ et $E_{B_n}(A_n+1)=0,1$ .
On en déduit que $E_{A_n}(A_n+1)=0,6$ et $E_{B_n}(B_n+1)=0,9$ , d'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

Bac ES obligatoire et spécialité Antilles Guyane septembre 2006 - terminale : image 8

La matrice de transition est donc : $\boxed{\begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,1&0,9\end{pmatrix}}$

2. a) En 2005, 25% de cette population est abonnée à l'opérateur A, d'où $a_0=0,25 \text{ et } b_0=1-a_0=0,75$
L'état probabiliste initial est donc : $\boxed{ E_0=\begin{pmatrix} 0,25&0,75\end{pmatrix}}$

2. b) $E_1=E_0\times M\Longleftrightarrow E_1=\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,6 & 0,1\\0,4&0,9\end{pmatrix}$ $\Longleftrightarrow E_1=\begin{pmatrix}0,25\times 0,6+0,75\times 0,1 & 0,25\times 0,4+ 0,75\times 0,9\end{pmatrix}$ $\Longleftrightarrow \boxed{E_1=\begin{pmatrix}0,225&0,775\end{pmatrix}}$

2. c) La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2013 est $E_8$ :
$E_8=E_0 \times M^8\Longleftrightarrow E_8=\begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,6&0,1\\0,4&0,9\end{pmatrix}^8$
Avec la calculatrice, on trouve : $\boxed{E_8=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}}$

2. d) On a $E=E\times M$ et $a+b=1$ alors : $\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,1&0,9 \end{pmatrix}$ avec $a+b=1$ .
D'où : $\begin{cases} a=0,6a+0,1b\\b=0,4a+0,9b\\a+b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}0,4a-0,1b=0\\-0,4a+0,1b=0\\a+b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 4a-b=0\\a+b=1\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{\begin{cases}a=0,2\\b=0,8\end{cases}}$
L'état stable du système est $\boxed{E=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}}$ .
Interprétation : À long terme, d'une année sur l'autre, 20% de cette population sera abonnée à l'opérateur A.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ :
$E_{n+1}=E_n\times M\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_{n+1}&b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,6&0,1\\0,4&0,9\end{pmatrix}\Longleftrightarrow \begin{cases}a_{n+1}=0,6a_n+0,1b_n\\ b_{n+1}=0,4a_n+0,9b_n\end{cases}$
Or pour tout entier naturel $n$ : $a_n+b_n=1$
D'où : $\begin{cases}a_{n+1}=0,6 a_n + 0,1 b_n\\a_n+b_n=1\end{cases}\Longleftrightarrow a_{n+1}=0,6a_n+0,1(1-a_n)\Longleftrightarrow \boxed{a_{n+1}=0,5a_n+0,1}$

2. a) Pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=a_{n+1}-0,2\Longleftrightarrow u_{n+1}=0,5a_n+0,1-0,2\Longleftrightarrow u_{n+1}=0,5a_n-0,1\Longleftrightarrow u_{n+1}=0,5\times(a_n-0,2)\Longleftrightarrow \boxed{u_{n+1}=0,5u_{n}}$

2. b) $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_0=0,05$ , alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=0,05\times (0,5)^n$
Or pour tout entier naturel $n$ : $u_n=a_n-0.2$
Donc : $u_n=a_n-0,2\Longleftrightarrow a_n=u_n+0,2a_n=\boxed{0,05\times (0,5)^n+0,2}$

2. c) Puisque $0 < 0,5 < 1$ , donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} 0,5^n=0$ et on en déduit :
$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n = \lim_{n\to +\infty} 0,05 \times 0,5^n+0,2=\boxed{0,2}$
La suite $(a_n)$ converge vers 0,2. On retrouve le résultat établi dans la partie A : sur le long terme, d'une année sur l'autre, d'une année sur l'autre, 20% de cette population sera abonnée à l'opérateur A.

Publié par TP/dandave le 06-08-2014

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