Baccalauréat Général
Série Economique et Social
Session Septembre 2006 - La Réunion - Métropole
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
Cocher cette réponse sur la feuille fournie ci-dessous.
(Ne cocher qu'une seule réponse par question)
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point.
L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif la note est ramenée à 0.
1. Augmenter une quantité de 8%, puis la diminuer de 8% c'est :
revenir à la quantité initiale
augmenter la quantité initiale de 0,64%
diminuer la quantité initiale de 0,64%
2. Le relevé des ventes de chaussures d'homme dans un magasin, en fonction des pointures, est le suivant :
Pointure
40
41
42
43
44
45
46
Nombre de paires vendues
10
12
15
13
5
5
1
La médiane de cette série est égale à :
13
42
43
3. Pour tout nombre réel strictement positif, le nombre est égal à :
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution de la population d'une ville au cours du temps. Le tableau suivant donne le nombre d'habitants au 1er janvier de chaque année (exprimé en milliers).
Année
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Nombre d'habitants
10,5
11,5
12,9
14,5
15,4
16,9
Partie A
1. Calculer l'accroissement relatif de la population du 1er janvier 2000 au 1er janvier 2005 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
2. Si le taux d'augmentation de cette population d'une année à l'autre du 1er janvier 2000 au 1er janvier 2005 avait été fixe et égal à 10%, quel résultat aurait-on obtenu pour la population le 1er janvier 2005 à partir du nombre d'habitants au 1er janvier 2000 ? (donner la valeur décimale arrondie au dixième)
Partie B
On modélise de façon continue l'évolution de cette population (exprimée en milliers d'habitants pour une période de 8 années en utilisant la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 8] par
.
Le nombre réel , exprimé en années, représente le temps écoulé depuis le 1er janvier 2000; ainsi le nombre représente le nombre d'habitants (en milliers) au 1er janvier 2000 (c'est-à-dire la population initiale).
1. a) Calculer le nombre , c'est-à-dire le nombre d'habitants (en milliers), que l'on peut prévoir en utilisant ce modèle pour le 1er juillet 2006 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
b) En utilisant ce modèle quel nombre d'habitants (en milliers) peut-on prévoir au 1er janvier 2007 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?
2. Sur l'annexe fournie ci-dessous, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique de la fonction , dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Utiliser le graphique (laisser apparents les traits de construction) pour donner le nombre d'habitants (en milliers) au 1er octobre 2003.
3. On cherche à évaluer le temps minimum écoulé depuis le 1er janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double.
a) À l'aide du graphique et en laissant apparents les traits de construction, donner une valeur approchée de exprimée en années et en trimestres.
b) Déterminer par le calcul (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
Rappel de définitions
On désigne par et des nombres réels strictement positifs .
L'accroissement absolu de à est égal à .
L'accroissement relatif de à est égal à .
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Lors de sa création au 1er janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.
Pour tout nombre entier naturel , on appelle le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, années après la création du club.
On a donc . On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel ,
.
Partie A : Étude graphique de la suite
Dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté la droite D d'équation et la droite d'équation pour les abscisses comprises entre 0 et 6.
1. Placer sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et , placer sur l'axe des abscisses les valeurs (laisser apparents les traits de construction).
2. Quelle semble être la limite de la suite ?
Partie B :
Étude numérique de la suite
On considère la suite définie par pour tout nombre entier naturel .
1. a) Calculer .
b) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,75.
c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel .
d) Déterminer .
2. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année ? Pourquoi?
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On s'intéresse à une population de 135 000 personnes abonnées à un fournisseur d'accès à Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu'un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A.
Par ailleurs, 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.
On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la fréquence correspondante.
On note :
A, l'évènement : «la personne choisie est abonnée au fournisseur A»
B, l'évènement : «la personne choisie est abonnée au fournisseur B»
H, l'évènement : «la personne choisie accède à Internet par le haut débit».
1. Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
2. Montrer que la probabilité de l'évènement «la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit» est égale à 0,20.
3. Montrer que la probabilité de l'évènement H : «la personne accède à Internet par le haut débit» est égale à 0,54.
4. Calculer , probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
5. On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité de l'évènement :
«exactement deux des personnes choisies accédent à Internet par le haut débit». On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.
8 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
La courbe donnée ci-dessous représente dans un repère orthononnal une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +[ à valeurs strictement positives sur l'intervalle .
On note la fonction dérivée de .
On sait que :
La fonction est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle [2 ; +[.
La courbe passe par les points O, A et B.
Le point A a pour coordonnées (1 ; 1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe au point A.
Le point B a pour coordonnées . Au point B, la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe .
Partie A
1. a) Donner , puis et (justifier les résultats).
b) Montrer que, dans l'intervalle [0 ; +[, l'équation admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est notée .
2. On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +[ par .
Déterminer le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; +[.
Partie B
Dans cette partie, on admet que la fonction représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0 ; +[ par :
.
1. On rappelle que la fonction est définie sur l'intervalle [0 ; +[ par
.
a) Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; +[,
.
b) La fonction est dérivable sur l'intervalle [0 ; +[, on note sa fonction dérivée.
Calculer pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; +[.
Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; +[.
2. Soit la fonction dérivable définie sur l'intervalle [0 ; +[ par
.
a) On note la fonction dérivée de sur l'intervalle [0 ; +[. Calculer pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; +[.
b) Vérifier que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; +[,
.
En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle [0 ; +[.
c) Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et la droite d'équation . Donner, la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.
1. La réponse correcte est : Diminuer la quantité initiale de 0,64 % En travaillant avec les coefficients multiplicateurs :
2. La réponse correcte est : 42 L'effectif total de cette série est égal à 61 = 2 × 30 + 1, par conséquent la médiane est la pointure du terme de rang 31.
3. Réponse correcte :
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. L'accroissement relatif de la population du 1er janvier 2000 au 1er janvier 2005 est : Soit une augmentation de la population de 60,95%.
2. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10% est : En 5 ans avec une augmentation de 10% de la population d'une année sur l'autre on obtient une population de : soit 16,9 milliers d'habitants au 1er janvier 2005.
Partie B
1. a) On a : soit 19,5 milliers d'habitants au au 1er juillet 2006.
1. b) Le 1er janvier 2007 correspond au rang 7, donc : soit 20,5 milliers d'habitants au 1er janvier 2007.
2. Le 1er janvier 2007 correspond au réel 3,75 et le point de la courbe d'abscisse 3,75 a pour ordonnée 15 (Voir traits de construction noirs)
Donc, la population estimée au 1er octobre 2003 est de 15 milliers d'habitants.
3. a) La droite d'équation coupe la courbe au point d'abscisse (Voir traits de construction bleus)
On en déduit que la population aura plus que doublé au bout de 7 ans et deux trimestres.
3. b) On cherche à déterminer la plus petite valeur décimale arrondie au dixième telle que: Figure :
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1.
2. La suite semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites et . D'après la représentation graphique, la limite semble valoir environ 4,75.
Partie B
1. a)
1. b) Pour tout entier naturel , on a :
1. c) La suite est une suite géométrique de raison 0,75. Son premier terme est Pour tout entier naturel , soit On en déduit : d'où :
1. d) Puisque |0,75| < 1 alors, et,
2. Pour tout entier naturel :
Ainsi, pour tout entier naturel , et donc la suite est strictement croissante.
D'autre part, la suite est de plus convergente, alors elle est majorée par sa limite.
Donc pour tout entier naturel , Interprétation :
Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le nombre d'adhérents du club ne dépassera pas 480.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A, d'où et on en déduit que 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, d'où , et on en déduit que 51% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit, d'où , et on en déduit que D'où l'arbre pondéré :
2.
3.
4.
5. Le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Alors, la loi de probabilité associée au nombre de personnes qui accèdent à Internet par le haut débit est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,54.
Il y a trois issues qui correspondent à l'événement "exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit" : et .
La probabilité de l'événement est donc :
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. a) L'axe des abscisses est asymptote à la courbe au voisinage de , alors :
correspond au coefficient directeur de la droite (OA) qui est la tangente de la courbe au point A(1 ; 1).
Cette tangente admet pour vecteur directeur et on obtient : La fonction admet un maximum au point , et la tangente en ce point est parallèle à l'axe des abscisses, on obtient :
1. b) L'équation admet exactement deux solutions car la droite d'équation coupe la courbe en 2 points sur l'intervalle , le premier est évidemment le point A(1 ; 1), et l'autre on notera son abscisse .
Dans ce cas,
1 et sont les deux solutions de l'équation sur l'intervalle
2. On a est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur Or, , il est immédiat que a le même signe que On conclut que :
est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur
Partie B
1. a) Pour tout réel positif :
1. b) étant dérivable sur , pour tout réel positif : Sens de variations : Le signe de est celui de , alors, directement : sur et sur [0 ; 2].
Conclusion :
est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur
2. a) est dérivable sur l'intervalle , et pour tout réel positif :
2. b) Pour tout positif, On en déduit :
2. c) La fonction ne prenant que des valeurs positives, l'aire de la surface comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et la droite d'équation en unités d'aire est :
Valeur arrondie :
Publié par TP/dandave
le
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