Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Economique et Social
Session Septembre 2006 - La Réunion - Métropole

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
Cocher cette réponse sur la feuille fournie ci-dessous.
(Ne cocher qu'une seule réponse par question)

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point.
L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif la note est ramenée à 0.

1. Augmenter une quantité de 8%, puis la diminuer de 8% c'est :
    revenir à la quantité initiale
    augmenter la quantité initiale de 0,64%
    diminuer la quantité initiale de 0,64%

2. Le relevé des ventes de chaussures d'homme dans un magasin, en fonction des pointures, est le suivant :

Pointure	40	41	42	43	44	45	46
Nombre de paires vendues	10	12	15	13	5	5	1

La médiane de cette série est égale à :
    13
    42
    43

3. Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, le nombre $\ln \left(a^2 + 3a\right)$ est égal à :
    $\ln \left(a^2\right) + 3\ln (a)$
    $\ln (a) + \ln (a + 3)$
    $2\ln (a) + \ln (3a)$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On étudie l'évolution de la population d'une ville au cours du temps. Le tableau suivant donne le nombre d'habitants au 1^er janvier de chaque année (exprimé en milliers).

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Nombre d'habitants	10,5	11,5	12,9	14,5	15,4	16,9

Partie A

1. Calculer l'accroissement relatif de la population du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 (donner la valeur décimale arrondie au centième).

2. Si le taux d'augmentation de cette population d'une année à l'autre du 1^er janvier 2000 au 1^er janvier 2005 avait été fixe et égal à 10%, quel résultat aurait-on obtenu pour la population le 1^er janvier 2005 à partir du nombre d'habitants au 1^er janvier 2000 ? (donner la valeur décimale arrondie au dixième)

Partie B

On modélise de façon continue l'évolution de cette population (exprimée en milliers d'habitants pour une période de 8 années en utilisant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 8] par $f(x) =10,5 \times (1,1)^x$ . Le nombre réel $x$ , exprimé en années, représente le temps écoulé depuis le 1^er janvier 2000; ainsi le nombre $f(0) =10,5$ représente le nombre d'habitants (en milliers) au 1^er janvier 2000 (c'est-à-dire la population initiale).

1. a) Calculer le nombre $f(6,5)$ , c'est-à-dire le nombre d'habitants (en milliers), que l'on peut prévoir en utilisant ce modèle pour le 1^er juillet 2006 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
b) En utilisant ce modèle quel nombre d'habitants (en milliers) peut-on prévoir au 1^er janvier 2007 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?

2. Sur l'annexe fournie ci-dessous, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique $(\Gamma)$ de la fonction $f$ , dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Utiliser le graphique (laisser apparents les traits de construction) pour donner le nombre d'habitants (en milliers) au 1^er octobre 2003.

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 9

3. On cherche à évaluer le temps minimum $t$ écoulé depuis le 1^er janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double.
a) À l'aide du graphique et en laissant apparents les traits de construction, donner une valeur approchée de $t$ exprimée en années et en trimestres.
b) Déterminer $t$ par le calcul (donner la valeur décimale arrondie au dixième).

Rappel de définitions

On désigne par $y_{1}$ et $y_{2}$ des nombres réels strictement positifs $y_{2} > y_{1}$ .
L'accroissement absolu de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à $y_{2} - y_{1}$ .
L'accroissement relatif de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à $\dfrac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}}$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors de sa création au 1^er janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.
Pour tout nombre entier naturel $n$ , on appelle $a_{n}$ le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, $n$ années après la création du club.
On a donc $a_{0} = 3$ . On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel $n$ ,
$a_{n+1} = 0,75a_{n} + 1,2$ .

Partie A : Étude graphique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$

Dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté la droite D d'équation $y = 0, 75x + 1,2$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ pour les abscisses comprises entre 0 et 6.

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 2

1. Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et $\Delta$ , placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ (laisser apparents les traits de construction).

2. Quelle semble être la limite de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ?

Partie B :

Étude numérique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_{n} = a_{n} - 4,8$ pour tout nombre entier naturel $n$ .

1. a) Calculer $u_{0}$ .
    b) Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75.
    c) En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n, a_{n} = 4,8 -1,8 \times (0, 75)^n$ .
    d) Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n}$ .

2. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année ? Pourquoi?

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On s'intéresse à une population de 135 000 personnes abonnées à un fournisseur d'accès à Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. On sait qu'un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A.
Par ailleurs, 60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.

On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la fréquence correspondante.
On note :
A, l'évènement : «la personne choisie est abonnée au fournisseur A»
B, l'évènement : «la personne choisie est abonnée au fournisseur B»
H, l'évènement : «la personne choisie accède à Internet par le haut débit».

1. Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.

2. Montrer que la probabilité de l'évènement «la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit» est égale à 0,20.

3. Montrer que la probabilité de l'évènement H : «la personne accède à Internet par le haut débit» est égale à 0,54.

4. Calculer $P_{\text{H}}(\text{A})$ , probabilité de A sachant H, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.

5. On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité de l'évènement :
«exactement deux des personnes choisies accédent à Internet par le haut débit». On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.

8 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée ci-dessous représente dans un repère orthononnal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .
On sait que :
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle [2 ; + $\infty$ [.
    La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O, A et B.
    Le point A a pour coordonnées (1 ; 1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
    Le point B a pour coordonnées $\left(2 ; \dfrac{4}{\text{e}}\right)$ . Au point B, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
    L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ .

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 8

Partie A

1. a) Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ , puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).
b) Montrer que, dans l'intervalle [0 ; + $\infty$ [, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est notée $\alpha$ .

2. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = \ln[f(x)]$ .
Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) =x^2 \times \text{e}^{-x + 1}$ .
1. On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par
$g(x) = \ln [f(x)]$ .
    a) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [,
$g(x) = -x + 1 + 2 \ln x$ .
    b) La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [, on note $g'$ sa fonction dérivée.
Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.

2. Soit la fonction dérivable $h$ définie sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ par $h(x) = \left(x^2 + 2x + 2\right) \times \text{e}^{-x + 1}$ .     a) On note $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [. Calculer $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
    b) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; + $\infty$ [,
$f(x) = - h'(x)$ .
En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [.
    c) Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses et la droite d'équation $x =2$ . Donner, la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. La réponse correcte est : Diminuer la quantité initiale de 0,64 %
En travaillant avec les coefficients multiplicateurs : $\left(1 + \dfrac{8}{100} \right) \left(1 - \dfrac{8}{100} \right) = \left(1 - \dfrac{64}{100^2} \right) = \left(1 - \dfrac{0,64}{100} \right)$

2. La réponse correcte est : 42
L'effectif total de cette série est égal à 61 = 2 × 30 + 1, par conséquent la médiane est la pointure du terme de rang 31.

3. Réponse correcte : $\ln(a)+\ln(a+3)$
$\ln \left(a^2 + 3a\right)=\ln \left[a(a + 3)\right]=\boxed{\ln a+\ln(a+3)}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. L'accroissement relatif de la population du 1er janvier 2000 au 1er janvier 2005 est : $\dfrac{16,9-10,5}{10,5}\approx \boxed{0,6095}$
Soit une augmentation de la population de 60,95%.

2. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10% est : $1+\dfrac{10}{100}=1,1$
En 5 ans avec une augmentation de 10% de la population d'une année sur l'autre on obtient une population de : $\boxed{10,5\times(1,1)^5\approx 16,9}$ soit 16,9 milliers d'habitants au 1er janvier 2005.

Partie B

1. a) On a : $f(6,5)=10,5\times (1,1)^{6,5}\approx \boxed{19,5}$ soit 19,5 milliers d'habitants au au 1er juillet 2006.

1. b) Le 1er janvier 2007 correspond au rang 7, donc : $f(7)=10,5\times(1,1)^7\approx\boxed{20,5}$ soit 20,5 milliers d'habitants au 1er janvier 2007.

2. Le 1er janvier 2007 correspond au réel 3,75 et le point de la courbe $(\Gamma)$ d'abscisse 3,75 a pour ordonnée 15 (Voir traits de construction noirs)
Donc, la population estimée au 1er octobre 2003 est de 15 milliers d'habitants.

3. a) La droite d'équation $y=21$ coupe la courbe $(\Gamma)$ au point d'abscisse $x=7.25$ (Voir traits de construction bleus)
On en déduit que la population aura plus que doublé au bout de 7 ans et deux trimestres.

3. b) On cherche à déterminer la plus petite valeur décimale $x$ arrondie au dixième telle que: $f(x)>21$
$f(x)>21\Longleftrightarrow 10,5 \times (1,1)^x>21\Longleftrightarrow 1,1^x>2\Longleftrightarrow \ln(1,1^x)>\ln 2\Longleftrightarrow x\ln 1,1>\ln2$ $\Longleftrightarrow x>\dfrac{\ln 2}{\ln 1,1}\Longleftrightarrow \boxed{x>7,3}$
Figure :

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 7

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 4

2. La suite $(a_n)$ semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$ . D'après la représentation graphique, la limite semble valoir environ 4,75.

Partie B

1. a) $u_0=a_0 - 4,8 = 3- 4,8=\boxed{-1,8}$

1. b) Pour tout entier naturel $n$ , on a :
$u_{n+1}=a_{n+1}-4,8=(0,75a_n+1,2)-4,8=0,75a_n-3,6=0,75(a_n-4,8)=\boxed{0,75u_n}$

1. c) La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Son premier terme est $u_0=-1,8$
Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=u_0 \times (0,75)^n$ soit $u_n=-1,8\times (0,75)^n$
On en déduit : $a_n - 4,8=-1,8\times (0,75)^n$ d'où : $\boxed{a_n=4,8-1,8\times (0,75)^n}$

1. d) Puisque |0,75| < 1 alors, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} 0,75^n=0$ et, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 4,8-1,8\times 0,75^n=\boxed{4,8}$

2. Pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1}-a_n=(4,8-1,8\times0,75^{n+1})-(4,8-1,8 \times 0,75^n)=1,8\times 0,75^n-1,8\times0,75^{n+1}=1,8\times 0,75^n(1-0,75)=\boxed{0,45\times 0,75^n}$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n+1}-a_n>0$ et donc la suite $(a_n)$ est strictement croissante.
D'autre part, la suite $(a_n)$ est de plus convergente, alors elle est majorée par sa limite.
Donc pour tout entier naturel $n$ , $a_n \le 4,8$
Interprétation : Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le nombre d'adhérents du club ne dépassera pas 480.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1.
Un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A, d'où $P(A)=\dfrac{1}{3}$ et on en déduit que $P(B)=\dfrac{2}{3}$
60% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, d'où $P_A(H)=0,6$ , et on en déduit que $P_A(\overline{H})=0,4$
51% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit, d'où $P_B(H)=0,51$ , et on en déduit que $P_B(\overline{H})=0,49$
D'où l'arbre pondéré :

Bac ES obligatoire et spécialité Métropole La Réunion septembre 2006 - terminale : image 5

2. $P(A\cap H)=P_A(H)\times P(A)=0,6\times 13=\boxed{0,2}$

3. $P(H)=P(H\cap A)+P(H\cap B)=P(H\cap A)+P_B(H)P(B)=P(H\cap A)+P_B(H)\left(1-P(A)\right)=0,2+0,51\times\dfrac{2}{3}=\boxed{0,54}$

4. $P_H(A)=\dfrac{P(H\cap A)}{P(H)}=\dfrac{0,2}{0,54}=\dfrac{10}{27}\approx\boxed{0,37}$

5. Le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. Alors, la loi de probabilité associée au nombre de personnes qui accèdent à Internet par le haut débit est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,54.
Il y a trois issues qui correspondent à l'événement "exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit" : $HH\overline{H},H\overline{H}H$ et $\overline{H}HH$ .
La probabilité de l'événement est donc : $3 \times 0,54^2\times (1-0,54)\approx\boxed{0,40}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a)
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$ , alors :
$\boxed{\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=0}$
$f'(1)$ correspond au coefficient directeur de la droite (OA) qui est la tangente de la courbe $(\mathcal{C})$ au point A(1 ; 1).
Cette tangente admet pour vecteur directeur $\vec{V}(1 ; 1)$ et on obtient : $\boxed{f'(1)=1}$
La fonction $f$ admet un maximum au point $B\left(2 ; \dfrac{4}{\text{e}}\right)$ , et la tangente en ce point est parallèle à l'axe des abscisses, on obtient : $\boxed{f'(2)=0}$

1. b) L'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions car la droite d'équation $y=1$ coupe la courbe $(\mathcal{C})$ en 2 points sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ , le premier est évidemment le point A(1 ; 1), et l'autre on notera son abscisse $\alpha$ .
Dans ce cas, 1 et $\alpha$ sont les deux solutions de l'équation $f(x)=1$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$

2. On a $f$ est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur $[2 ; +\infty[$
Or, $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ , il est immédiat que $g'(x)$ a le même signe que $f'(x)$
On conclut que : $g$ est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur $[2 ; +\infty[$

Partie B

1. a) Pour tout réel positif $x$ : $\ln[f(x)]=\ln[x^2\text{e}^{-x + 1}]=\ln(x^2)+\ln(\text{e}^{-x + 1})=\boxed{2\ln(x)-x+1}$

1. b) $g$ étant dérivable sur $[0 ; +\infty[$ , pour tout réel $x$ positif : $g'(x)=\dfrac{2}{x}-1=\boxed{\dfrac{2-x}{x}}$
Sens de variations :
Le signe de $g'(x)$ est celui de $2-x$ , alors, directement : $g'(x)\le 0$ sur $[2 ; +\infty[$ et $g'(x)\ge 0$ sur [0 ; 2].
Conclusion : $g$ est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur $[2 ; +\infty[$

2. a) $h$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ , et pour tout réel $x$ positif : $h'(x) =(2x+2)\text{e}^{-x + 1}-\left(x^2 + 2x + 2\right)\text{e}^{-x + 1}=\boxed{-x^2\text{e}^{-x + 1}}$

2. b) Pour tout $x$ positif, $f(x)=x^2e^{-x+1}=-\left(-x^2e^{-x+1}\right)=\boxed{-h'(x)}$
On en déduit : $\boxed{ F=-h \text{ est une primitive de }f \text{ sur } [0,+\infty[}$

2. c) La fonction $f$ ne prenant que des valeurs positives, l'aire de la surface comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses et la droite d'équation $x =2$ en unités d'aire est :
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^2 f(x) dx= \left[-h(x)\right]_0^2=h(0)-h(2)=\boxed{2e-\dfrac{10}{e}\text{ (u.a)}}$
Valeur arrondie : $\mathcal{A}=2e-\dfrac{10}{e}\approx \boxed{1,8\text{ (u.a)}}$

Publié par TP/dandave le 02-08-2014

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