Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Polynésie Française - Session Septembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez la réponse exacte sans justifier votre choix.
Barème : À chaque question est attribué un certain nombre de points.
Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points attribué.
Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [-2 ; 10] et la fonction composée $g = \ln \circ f$ .
Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
La courbe $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ .
Les points A(-1 ; 0), B(0 ; 2,5), C(2 ; 4,38), D(6 ; 0), E(8 ; -1,35) et F(10 ; 0) sont des points de $\mathcal{C}$ .
La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point B.
Les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points C et E sont parallèles à l'axe des abscisses.

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 1

1. Quelle est la valeur de $f'(0)$ nombre dérivé de $f$ en 0 ?

a) $f'(0) = 2,5$ ;

b) $f'(0) = 2$ ;

c) $f'(0) = 0,5$ .

2. Quel est l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?

a) $S = \emptyset$ ;

b) $S = \lbrace -1 ; 6 ; 10 \rbrace$ ;

c) $S = \lbrace 2 ; 8 \rbrace$ .

3. À quel intervalle appartient le réel $I = \displaystyle\int_{-1}^5 f(t)\,\text{d}t$ ?

a) $I \in [-1 ; 5]$ ;

b) $I \in [0 ; 4,38]$ ;

c) $I \in [15 ; 30]$ .

4. Quel est l'ensemble de définition de la fonction $g$ , noté D $_{g}$ ?

a) D $_{g}= ]-1 ; 6[$ ;

b) D $_{g}= ]0 ; 10[$ ;

c) D $_{g} = ]-2 ; 10[$ .

5. Quelle est la valeur de $g(0)$ ?

a) $g(0)=2,5$ ;

b) $g(0)=0$ ;

c) $g(0)= \ln(2,5)$ .

6. Quelle est la valeur du coefficient directeur $m$ de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 0 ?

a) $m=2$ ;

b) $m= \dfrac{1}{2}$ ;

c) $m=0,8$ .

7. Quel est l'ensemble $S'$ des solutions de l'équation $g'(x) = 0$ ?

a) $S' = \emptyset$ ;

b) $S'= \lbrace -1 ; 6 ; 10 \rbrace$ ;

c) $S' = \lbrace 2 \rbrace$ .

8. Quelle est la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers -1 ?

a) $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x) = 0$ ;

b) $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x) = - \infty$ ;

c) $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x) = + \infty$ .

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On suppose qu'un indice, calculé quotidiennement, n'évolue d'un jour à l'autre que de trois façons possibles soit il diminue de 10%, soit il est stable, soit il augmente de 10%. On note $i_{0} = 100$ l'indice de départ et $i_{n}$ l'indice au bout de $n$ jours.

1. a) Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, quel serait, arrondi au centième, l'indice final $i_{10}$ ?
Quelle serait l'évolution en pourcentage par rapport à $i_{0}$ ?
    b) On suppose que l'indice augmente tous les jours. Montrer que la suite $\left(i_{n}\right)$ des indices est une suite géométrique, dont on précisera le terme initial et la raison.
Dans ce cas déterminer au bout de combien de jours cet indice dépassera la valeur 1 000.

2. Une étude a montré que, chaque jour, l'indice augmente de 10% avec une probabilité égale à 0,3, diminue de 10% avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5.
L'évolution d'un jour à l'autre est indépendante de l'évolution des jours précédents.
On s'intéresse maintenant à l'évolution de cet indice sur deux jours.
On note $X$ la valeur de l'indice $i_{2}$ au bout de deux jours.
    a) Construire un arbre de probabilités illustrant l'évolution de cet indice sur deux jours.
    b) Recopier et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de $X$ où les $x_{i}$ sont les valeurs possibles de $X$ et $p_{i}$ la probabilité que $X$ soit égale à $x_{i}$ .

$x_{i}$	81	90		100	110	121
$p_{i}$		0,2	0,12	0,25

c) Calculer l'espérance mathématique de $X$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une commune possède deux clubs de sport que l'on note A et B.
Le club A est installé depuis 1990, le club B a ouvert ses portes au cours de l'année 2004. Au premier janvier 2005, on constate que 1 100 personnes sont abonnées au club A et 400 au club B.
Le prix de l'abonnement est moins coûteux au club A ; les activités proposées sont plus nombreuses au club B. Aussi, chaque année, 14% des abonnés au club A changent pour le club B et 6% des abonnés au club B changent pour le club A. On suppose que la population totale des abonnés reste constante et qu'une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps.

On note $a_{n}$ le nombre d'abonnés au club A et $b_{n}$ le nombre d'abonnés au club B au premier janvier de l'année 2005+ $n$ .
$E_{n}$ désigne la matrice ligne $\left(a_{n} \; b_{n}\right)$ ; ainsi $E_{0} = \left(a_{0} \; b_{0}\right) = \left(1 100 \; 400\right)$ .

1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

2. a) Écrire la matrice de transition $M$ telle que $E_{n+1} = E_{n} \times M$ .
En déduire $E_{n}$ en fonction de $E_{0}, M$ et $n$ . On ne demande pas de démontrer le résultat.
    b) Calculer $M^2$ . En déduire le nombre d'abonnés aux deux clubs au premier janvier 2007.

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $a_{n+1} = 0,8 \times a_{n} + 90$ .
    b) Pour $n$ entier naturel, on pose : $u_{n} = a_{n} - 450$ . Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.
    c) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $a_{n+1} = 650 \times 0,8^n + 450$ .
    d) Déterminer la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ . Interpréter ce résultat pour les deux clubs sportifs.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux PME. Cette société a mené une enquête dans une région auprès de 300 entreprises équipées d'ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, ceci afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants :

$x$ prix proposé pour le nouveau logiciel en centaines d'euros	$y$ nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix
30 25 20 15 10	90 120 170 200 260

1. Représenter graphiquement le nuage de points de la série $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 200 euros en abscisses et 5 cm pour 100 entreprises en ordonnées).
Placer le point moyen G après avoir déterminé ses coordonnées.

2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$ .
Aucun détail des calculs n'est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
Tracer D sur le graphique précédent.

3. En utilisant l'ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel.

4. On note $R(x)$ la recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de $y$ logiciels au prix de $x$ centaines d'euros.
a) En utilisant la relation entre $y$ et $x$ obtenue à la question 2, donner l'expression de $R(x)$ pour $x$ variant entre 5 et 30.
b) Étudier les variations de la fonction $R$ sur [5 ; 30] et en déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que la recette $R(x)$ soit maximale. Déterminer alors le montant de cette recette ainsi que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On a étudié l'évolution du taux d'alcoolémie dans le sang d'une certaine personne (exprimé en grammes d'alcool par litre de sang) pendant les cinq heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool. On donne ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{1}$ représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé à jeun (graphique n° 1) et la courbe $\mathcal{C}_{2}$ représentant le taux d'alcoolémie lorsque l'alcool est absorbé après ingestion d'aliments (graphique n° 2).

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 2

Graphique n°1 : courbe $\mathcal{C}_{1}$

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 3

Graphique n°2 : courbe $\mathcal{C}_{2}$

Partie A : Observation graphique

À l'aide des deux graphiques précédents, répondre aux questions suivantes :

1. Dans chacun des deux cas, donner une approximation du taux d'alcoolémie maximal et du temps au bout duquel il est atteint.

2. Depuis le 15 septembre 1995, le taux maximum d'alcoolémie autorisé au volant est 0,5 g/L. Dans chacun des deux cas, indiquer si la personne aura respecté la législation en prenant le volant au bout de trois heures.

Partie B : Modélisation

On suppose que le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) pendant les cinq heures suivant l'absorption est modélisé en fonction du temps (exprimé en heures) :
    par une fonction $f_{1}$ lorsque l'alcool est absorbé à jeun,
    par une fonction $f_{2}$ lorsque l'alcool est absorbé après ingestion d'aliments,
On admet que :
    les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ de la première partie sont les représentations graphiques respectives des fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ;
    la fonction $f_{1}$ est définie sur l'intervalle [0 ; 5] par $f_{1}(t) = 4t\text{e}^{-t}$ .
    la fonction $f_{2}$ est définie sur l'intervalle [0 ; 5] par $f_{2}(t) = a t\text{e}^{bt}$ où $a$ et $b$ désignent des nombres réels non nuls.

1. On désigne par $f'_{2}$ la fonction dérivée de $f_{2}$ sur l'intervalle [0 ; 5].
Déterminer $f'_{2}(t)$ .
On admet que $f'_{2}\left(\dfrac{3}{2}\right) = 0$ . En déduire le réel $b$ .

2. En utilisant le taux d'alcoolémie au bout de trois heures, déterminer une valeur approchée de $a$ et en donner la valeur décimale arrondie à 0,1.

3. Résoudre l'équation $f_{1}(t) = t \text{e}^{-\frac{2}{3}t}$ . Interpréter le résultat.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse correcte a)
$f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ qui est la tangente de la courbe $\mathcal{C}$ au point B(0 ; 2,5).
Cette tangente admet pour vecteur directeur $\vec{V}(1~;~2)$ et on obtient : $\boxed{f'(0)=2}$

2. Réponse correcte b)
$\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisse en 3 points A, D, F respectivement d'abscisses -1, 6, 10.

3. Réponse correcte c)
L'aire délimitée par $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisse et les droites d'équations $x=-1$ et $x=5$ est supérieure à 15. Il suffit d'évaluer le nombre de carrés "unité d'aire" sous la courbe.

4. Réponse correcte a)
D'après le tracé, la fonction $f$ est strictement positive sur cet intervalle, donc $g$ y est bien définie.

5. Réponse correcte c)
$g(0)=\ln (f(0))=\boxed{\ln(2,5)}$

6. Réponse correcte c)
$g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\text{ donc }g'(0)=\dfrac{f'(0)}{f(0)}=\dfrac{2}{2,5}= \boxed{0,8}$

7. Réponse correcte c)
$g'(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)}=0\text{ et } x\in\mathcal{D}_{g'}\Longleftrightarrow f'(x)=0\text{ et } x\in\mathcal{D}_{g'}\Longleftrightarrow \boxed{x=2}$

8. Réponse correcte b)
$\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) =0 \text{ donc }\lim_{x\to -1} \ln(f(x))=\boxed{-\infty}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Calculons premièrement les coefficients multiplicateurs :
Hausse de 10% soit un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{10}{100}=1,1$
Stabilité d'une valeur soit un coefficient multiplicateur de 1
Baisse de 10% soit un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{10}{100}=0,9$
L'indice final $i_{10}$ est donc égal à : $i_{10}=100 \times 1,1^3\times 1^4\times 0,9^3$ (trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse)
On en déduit finalement que : $i_{10}=97,0299 \approx \boxed{97,03}$
L'évolution en pourcentage par rapport à $i_{0}$ :
Puisque : $i_{10}-i_{0}=97,03-100=\boxed{-2,97}$
Ce qui correspond à une baisse de 2,97% par rapport à l'indice $i_0$

1. b) Puisque l'indice augmente de jours en jours de 10% alors, l'expression de l'indice de rang $n+1$ en fonction de l'indice de rang $n$ est : $i_{n+1}=1,1 i_n$
On en déduit que la suite $(i_n)$ des indices est une suite géométrique de raison $q=1,1$ et de terme initial $i_0=100$ , et donc : $\boxed{i_n=100\times 1,1^n}$
Le dépassement la valeur 1000 :
$100\times1,1^n>1000\Longleftrightarrow 1,1^n>10\Longleftrightarrow \ln(1,1^n)>\ln 10\Longleftrightarrow n\ln(1,1)>\ln 10 \Longleftrightarrow\boxed{n>\dfrac{\ln 10}{\ln 1,1}\approx 24,16}$
Conclusion : Cet indice dépassera la valeur 1000 au bout de 25 jours.

2. a)

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 4

2. b)
$P(X=81)=P(D\cap D)=P(D)^2=0.2^2=\boxed{0,04}$
$P(X=99)=P(A\cap D)+P(D\cap A)=2P(A\cap D)=2\times P(A)\times P(D)=2\times 0.3\times 0.2=\boxed{0.12}$
$P(X=110)=P(A\cap S)+P(S\cap A)=2P(A\cap S)=2\times P(A)\times P(S)=2\times 0.3\times 0.5=\boxed{0.3}$
$P(X=121)=P(A\cap A)=P^2(A)=0.3^2=\boxed{0.09}$
Le tableau complété :

$x_i$	81	90	99	100	110	121
$p_i$	0,04	0,2	0,12	0,25	0,3	0,09

2. c) L'espérance mathématique de $X$ vaut : $E(X)=81\times 0,04+90\times 0.2+99\times 0,12+100\times 0,25+110\times 0,3+121\times 0,09=\boxed{102,01}$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Chaque année, 14% des abonnés au club $A$ changent pour le club $B$ et 6% des abonnés au club $B$ changent pour le club $A$ donc :
La probabilité de passer de l'état $A$ à l'état $B$ est $P_A(B)=\boxed{0,14}$ et la probabilité de rester dans l'état $A$ est donc $P_A(A)=1-0,14=\boxed{0,86}$
La probabilité de passer de l'état $B$ à l'état $A$ est $P_B(A)=\boxed{0,06}$ et la probabilité de rester dans l'état $B$ est donc $P_B(B)=1-0.06=\boxed{0,94}$
Donc :

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 6

2. a) La matrice de transition de ce graphe est $\boxed{M =\begin{pmatrix}0.86 &0.14\\ 0.06 & 0.94\end{pmatrix}}$
Déduction : Pour tout entier $n$ : $E_n=E_0 M^n= \boxed{\begin{pmatrix} 1100 & 400\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,86 &0,14\\ 0,06 & 0,94\end{pmatrix}^n}$

2. b) $M^2=\begin{pmatrix}0,86 &0,14\\ 0,06 & 0,94\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,86 &0,14\\ 0,06 & 0,94\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,86^2+0,06\times 0,14 &0,86\times 0,14+0,14\times 0,94\\ 0,06\times 0,86+0,06\times 0,94 &0,06\times 0,14+ 0,94^2\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}0,748 &0,252\\ 0,108 & 0,892\end{pmatrix}}$
Donc : $E^2=E_0 M^2=\begin{pmatrix} 1100 & 400\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,86 &0,14\\ 0,06 & 0,94\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} 1100 & 400\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,748 &0,252\\ 0,108 & 0,892\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 866 & 634\end{pmatrix}}$
Conclusion : Au premier janvier 2007, le club A aura 866 abonnés et le club B 644 abonnés.

3. a) La matrice représentant l'état à l'étape $n + 1$ est $E_{n+1}=E_n\times M$ , d'où :
$\begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,86&0,14\\0,06&0,94\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,86a_n+0,06b_n& 0,14a_n+0,94b_n\end{pmatrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ , on a : $a_{n+1}=0,86a_n+0,06b_n$
Or la population totale des abonnés reste constante et une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps d'où :
$a_n+b_n=1500\Longleftrightarrow b_n=1500-a_n$ et donc : $a_{n+1}=0,86a_n+0,06(1500-a_n)=\boxed{0,8a_n+90}$
Conclusion : $\boxed{\text{ Pour tout entier naturel n, on a: } a_{n+1}=0.8a_n+90}$

3. b) On a pour tout entier $n$ : $u_n=a_n-450$ , alors pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=a_{n+1}-450=(0,8a_n+90)-450=0,8a_n-360= 0,8(a_n-450)=\boxed{0,8u_n}$

3. c) On a $u_0=a_0-450=1100-450=650$ , donc, puisque $(u_n)$ est géométrique de raison 0,8, alors pour tout entier $n$ : $u_n= 650\times 0,8^n$
On en déduit pour tout entier $n$ : $a_n= 450+u_n=\boxed{650\times 0,8^n+450}$

3. d) Puisque 0 < 0,8 < 1 donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0,8^n=0$ et donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_n=\lim_{n\to+\infty} 650\times 0,8^n+450=\boxed{450}$
Interprétation : À long terme, le nombre d'adhérents du club A se stabilisera à 450 membres et celui du club B à 1050.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Voir figure ci-dessous
Coordonnées du point moyen G : $\begin{cases} x_G=\dfrac{30+25+20+15+10}{5}=\boxed{20}\\y_G=\dfrac{90+120+170+200+260}{5}=\boxed{168} \end{cases}$
Le point moyen G a pour coordonnées G(20 ; 168)

2. Une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : $\boxed{y=-8,4x+336}$
Tracé :

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 7

3. À partir de l'ajustement précédent, on peut estimer que les 300 entreprises acceptent d'acquérir ce logiciel pour un prix de vente $x$ solution de l'équation $-8,4x+336=300\Longleftrightarrow x=\dfrac{30}{7}$ , soit $\boxed{x\approx 4,2857}$
Conclusion : La société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel pour un prix de vente de 428,57 euros.

4. a) $R(x)=xy=x(-8.4x+336)=\boxed{-8,4x^2+336x}$

4. b) La fonction $R$ est une fonction polynôme, donc $R$ est définie et dérivable sur [5 ; 30], et :
Pour tout $x\in[5;30]$ , $R'(x)=-2\times 8,4 x+336=\boxed{-16,8x+336}$
$R'(x)$ est un polynôme de 1^er degré de coefficient du plus haut degré négatif et qui s'annule en $x=\dfrac{336}{16,8}=\boxed{20}$ , donc :
$R'(x)$ est positif sur [5 ; 20] et négatif sur [20 ; 30]
On peut présenter les variations de $R$ sous forme d'un tableau de variations, avec : $R(5)= 1470 \text{ , } R(20)=3360 \text{ et } R(30)=2520}$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 5 & &20& & 30 \\ \hline R'(x) & &+ & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} R & 1470 & \croit &3360&\decroit& 2520 \\ \hline \end{tabvar}$
La recette maximale est de 336 000 euros pour un prix de vente du logiciel de 2 000 euros.
Le nombre d'entreprises susceptibles d'acheter ce logiciel à ce prix est estimé à : $y=-8,4\times20+336 =\boxed{168}\text{ entreprises.}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A Observation graphique

1. Par lecture graphique :
À jeun, le taux d'alcoolémie maximal est de environ 1,45 g/L atteint au bout d'une heure.
Après ingestion d'aliments, le taux d'alcoolémie maximal est de 0,55 g/L atteint au bout d'une heure et demie

2. Par lecture graphique :
À jeun, le taux d'alcoolémie au bout de trois heures est de environ 0,6 g/L.
Après ingestion d'aliments, le taux d'alcoolémie au bout de trois heures est de environ 0,4 g/L.
Donc :
Seule la personne qui a absorbé de l'alcool après ingestion d'aliments respecte la législation en prenant le volant au bout de trois heures.

Partie B : Modélisation

1. La fonction $f_2$ est définie et dérivable sur [0 ; 5], et pour tout $t$ de [0 ; 5], $f_2'(t)=ae^{bt}+at(be^{bt})=\boxed{a(1+bt)e^{bt}}$
Calcul de b : On sait que $a\neq 0$ donc $ae^{bt}\neq 0$
$f_2'\left(\dfrac{3}{2}\right)=0\Longleftrightarrow 1+\dfrac{3b}{2}=0\Longleftrightarrow \boxed{b=\dfrac{-2}{3}}$

2. Puisque $b=\dfrac{-2}{3}$ , on a donc pour tout $t$ de [0 ; 5] : $f_2(t)=ate^{-\frac{2}{3}t}$
Mais : $f_2(3)=0,4\Longleftrightarrow 3ae^{-2}=0,4\Longleftrightarrow \boxed{a=\dfrac{0,4e^2}{3}}$ et donc $\boxed{a\approx 1}$

3. $f_1(t)=te^{-\frac{2}{3}t}\Longleftrightarrow 4te^{-t}=te^{-\frac{2}{3}t}\Longleftrightarrow t(4e^{-t}-e^{-\frac{2}{3}t})=0\Longleftrightarrow t=0 \text{ ou } 4e^{-t}-e^{-\frac{2}{3}t}=0$
Il nous reste à résoudre l'équation $4e^{-t}-e^{-\frac{2}{3}t}=0$
$4e^{-t}-e^{-\frac{2}{3}t}=0\Longleftrightarrow 4e^{-t}=e^{-\frac{2}{3}t}\Longleftrightarrow 4=\dfrac{e^{-\frac{2}{3}t}}{e^{-t}}\Longleftrightarrow 4=e^{\frac{1}{3}t}\Longleftrightarrow \boxed{t=3\ln(4)}$
On en déduit : $\boxed{S=\lbrace 0 ; 3\ln 4 \rbrace}$
$t=3\ln4\approx4,16 \text{ h}$ est donc le temps pour lequel le taux d'alcoolémie est identique dans les deux situations.

Publié par TP/dandave le 01-08-2014

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