Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Amérique du Sud - Session Novembre 2006

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s'intéresse aux prises de sang effectuées dans cet hôpital.

Partie A - Dans le service de soins A

Dans le tableau suivant figure le nombre de prises de sang effectuées dans le service de soins A lors des premiers mois de l'année 2006.
moisjanvierfévriermarsavrilmai
rang du mois x_{i}12345
nombre de prises de sang effectuées y_{i}5149484644

1. En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.

2. Avec cet ajustement, quel nombre de prises de sang peut-on prévoir pour le mois de décembre 2006 ? (arrondir à l'unité).

Partie B - Dans l'ensemble des trois services de soins


On a constaté après l'observation d'une assez longue période que :
    40 % des prises de sang sont effectuées dans le service de soins A,
    un tiers le sont dans le service de soins B,
    les autres dans le service de soins C.
Les aiguilles utilisées pour effectuer les prises de sang sont fournies soit par le laboratoire GLOBULEX, soit par le laboratoire HÉMATIS ;
    dans le service de soins A, 60 % des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX ;
    dans le service de soins B, \dfrac{4}{5} des prises de sang effectuées le sont avec des aiguilles fournies par le laboratoire HÉMATIS ;
    dans le service de soins C, il y a autant de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire GLOBULEX que de prises de sang effectuées avec des aiguilles fournies par le laboratoire HÉMATIS.
On choisit au hasard un patient qui a subi une prise de sang dans l'hôpital.
On considère les évènements suivants :
    A : « La prise de sang a été effectuée dans le service de soins A. »
    B : « La prise de sang a été effectuée dans le service de soins B. »
    C : « La prise de sang a été effectuée clans le service de soins C. »
    G : « L'aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire GLOBULEX. »
    H : « L'aiguille utilisée a été fournie par le laboratoire HÉMATIS. »
Pour toutes les questions, en donnera les valeurs exactes des probabilités demandées

1. Représenter la situation par un arbre en complétant cet arbre autant qu'il est possible.

2. Déterminer la probabilité de l'évènement « Le patient a subi une prise de sang dans le service de soins B avec une aiguille fournie par le laboratoire HÉMATIS ».

3. Calculer la probabilité de l'évènement H.

4. Le patient a subi une prise de sang avec une aiguille fournie par le laboratoire HÉMATIS.
Déterminer la probabilité que cette prise de sang ait été effectuée dans le service de soins B.


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

1. La fonction f définie sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels par f (x) = 2^x a pour dérivée la fonction f' telle que pour tout réel x,~ f'(x) = x~2^{x - 1}.

2. L'équation \ln (x + 1) + \ln(x + 3) = \ln (3x + 5) a une autre solution réelle que le nombre 1.

3. En 20 ans, la population d'une commune rurale a augmenté de 40 %. Le taux d'accroissement moyen annuel, arrondi à 10^{-2}, est de 1,70 %.

4. La valeur moyenne sur l'intervalle [0 ; 4] de la fonction qui à x associe \text{e}^{-x} est \dfrac{1 - \text{e}^{-4}}{4}.

5. Une étude statistique sur des séances de « tir au but » a montré que 75 % des tirs au but étaient réussis. Au cours d'un match de football, 4 tirs au but, que l'on suppose être des épreuves aléatoires indépendantes, ont été effectués.
Affirmation : « La probabilité qu'au moins un des quatre tirs au but échoue est 0,25^4. »


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. à l'occasion de la coupe du monde de football 2006 en Allemagne, une agence touristique organise des voyages en car à travers les différentes villes où se joueront les matchs d'une équipe nationale. Les routes empruntées par les cars sont représentées par le graphe ci-dessous. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres séparant les villes.
Les lettres B, D, F, H, K, M, N et S représentent les villes Berlin, Dortmnd, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart.
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 1
En précisant la méthode utilisée, déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin en utilisant les cars de cette agence.

2. Pour des raisons de sécurité, les supporters de certaines équipes nationales participant à la coupe du monde de football en 2006 ne peuvent être logés dans le même hôtel.
L'objectif de cette question consiste à rechercher une répartition des supporters afin d'utiliser le minimum d'hôtels.
On donne ci-dessous le graphe d'incompatibilité entre les supporters de différentes équipes : par exemple, un supporter de l'équipe A ne peut être logé avec un supporter de l'équipe B.
Ce même graphe figure sur la feuille annexe qui peut être rendue avec la copie.
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 2
    a) Déterminer le nombre chromatique de ce graphe en justifiant la valeur trouvée.
    b) Proposer une répartition des supporters par hôtel en utilisant un nombre minimum d'hôtels.


7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Résoudre, dans l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, l'équation :
2X^2 - 15X + 18 = 0.

2. En déduire
    a) les solutions de l'équation : 2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 = 0 ;
    b) le signe de 2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 selon les valeurs de x.

Partie B

Soit f la fonction définie par :
pour tout nombre réel x de l'intervalle ]ln 3 ; +\infty[, f(x) = 2x -2 + \dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}.
On note \left(\mathcal{C}_{f}\right) la courbe représentative de la fonction f relativement à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

1. Déterminer la limite de la fonction f en \ln 3. Que peut-on en déduire pour \left(\mathcal{C}_{f}\right) ?

2. Démontrer que la droite (D) d'équation y = 2x - 2 est asymptote à la courbe \left(\mathcal{C}_{f}\right) en + \infty.
Quelle est la limite de la fonction f en + \infty ?

3. étudier la position relative de \left(\mathcal{C}_{f}\right) et (D).

4. La fonction f est dérivable sur l'intervalle ]\ln 3 ~;~ +\infty[ ; on note f' sa dérivée.
Montrer que :
pour tout nombre réel x de l'intervalle ]ln 3 ; +\infty[, f'(x) = \dfrac{2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18}{(\text{e}^x - 3)^2}.
En déduire, à l'aide de la partie A, le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variations de f.

5. Tracer la courbe \left(\mathcal{C}_{f}\right) ainsi que ses asymptotes. (Si la fonction présente un minimum ou un maximum, le mettre en évidence.)

6. a) Montrer que :
pour tout réel x de l'intervalle ]ln 3 ; +\infty[, f(x) = 2x - 3 + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3}.

    b) Soit g la fonction définie par :
pour tout réel x de l'intervalle ]ln 3 ; +\infty[, g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3}.
Déterminer une primitive de la fonction g sur l'intervalle ]\ln 3~ ;~ +\infty[.
    c) En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]ln 3 ; +\infty[.


3 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour cet exercice, il est conseillé aux candidats d'expliquer leurs recherches sur leur copie car toute démarche correcte, y compris avec la calculatrice, sera valorisée même si elle ne permet pas d'aboutir au résultat demandé.

Bruno a occupé un emploi saisonnier du 1er juin 2005 au 30 septembre 2005 en tant que commercial pour une entreprise de produits surgelés. Pour ses besoins professionnels, il a utilisé un téléphone portable et l'opérateur téléphonique lui a proposé la formule suivante :
    au 1er juin, il disposait d'un forfait de 420 minutes de communication ;
    au ler juillet, il lui restait 300 minutes sur son forfait et l'opérateur lui a offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait avec 5 < t < 20 ;
    en juillet, il a consommé 120 minutes, et au 1er août, l'opérateur lui a à nouveau offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait;
    en août, il a consommé 120 minutes, et au 1er septembre, l'opérateur lui a encore offert une durée supplémentaire de communication égale à t % de la durée restante sur son forfait ;
    en septembre, il a consommé 120 minutes, et au 1er octobre il a rendu son téléphone en ayant tout consommé.
Déterminer une approximation à 10-2 près de la valeur de t.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Dans le service de soins A

1. En utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés est :
\boxed{y=-1.7\,x+52.7}


2. Le mois de décembre 2006 correspond au rang x=12, on obtient : y=-1,7\times 12+52,7=32,3
On peut donc prévoir 32 prises de sang en décembre 2006


Partie B - Dans l'ensemble des trois services de soins

1.
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 7


2. P(B\cap H)=P(B)P_B(H)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{5}
\boxed{P(B\cap H)=\dfrac{4}{15}}


3. A, B et C forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales :
P(H)=P(H\cap A)+P(H\cap B)+P(H\cap C)=P(A)P_A(H)+P(H\cap B)+P(C)P_C(H)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{1}{2}
\boxed{P(H)=\dfrac{14}{25}}


4. P_H(B)=\dfrac{P(H\cap B)}{P(H)}=\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{14}{25}}
\boxed{P_H(B)=\dfrac{10}{21}}





exercice 2 - Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

1. Affirmation fausse
f(x)=e^{x\,\ln\,2}
f'(x)=\ln (2)e^{x\ln 2}
\boxed{f'(x)=2^x\,\ln\,2}

Il est facile de démontrer que cette fonction ne peut pas être égale à celle proposée dans l'énoncé en vérifiant par exemple que les images de 1 par ces deux fonctions ne sont pas égales.

2. Affirmation fausse
L'équation \ln (x + 1) + \ln(x + 3) = \ln (3x + 5) est définie pour :
\begin{cases}x+1>0\\x+3>0\\3x+5>0\end{cases} c'est-à-dire x>-1
Donc pour tout x\in ]-1;+\infty[ :
\begin{matrix}\ln (x + 1) + \ln(x + 3) = \ln (3x + 5)&\Longleftrightarrow& \ln \left[(x + 1)(x + 3)\right] = \ln (3x + 5)&\Longleftrightarrow& (x+1)(x+3)=(3x+5)\\&\Longleftrightarrow& x^2+x-2=0&\Longleftrightarrow& (x-1)(x+2)=0\\&\Longleftrightarrow& x=-2\text{ ou } x=1\end{matrix}
Or, -2 \not{\in} ]-1 ; +\infty[, donc l'unique solution de l'équation est 1.

3. Affirmation vraie
Soit C_m le coefficient multiplicateur annuel moyen : C_m^{20}=1,4
D'où C_m=1,4^{\frac{1}{20}}=1,0170 à 10-4 près qui correspond à un taux d'accroissement annuel moyen de 1,7% à 10-2 près.

4. Affirmation vraie
m=\dfrac{1}{4-0}\displaystyle \int_0^4 e^{-x} dx= \dfrac{1}{4}\left[-e^{-x}\right]_0^4=\dfrac{-e^{-4}+1}{4}
\boxed{m=\dfrac{1-e^{-4}}{4}}


5. Affirmation fausse
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de tirs au but réussis.
Ces tirs au but étant supposés être des épreuves aléatoires indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètres 4 et \dfrac{3}{4}.
La probabilité cherchée est P=1-P(X=4)=1-\binom{4}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right)^4\left(\dfrac{1}{4}\right)^0
\boxed{P=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^4\neq 0,25^4}





exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

1. On utilise l' algorithme de Dijkstra :
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 9

D'après l' algorithme précédent :
Le plus court chemin pour arriver en B vient de S.
Le plus court chemin pour arriver en S vient de H qui vient de F qui vient de K.
Le plus court chemin est donc :
Kaiserslautern - Francfort - Hambourg - Stuttgart - Berlin de 1890 kilomètres


2. a) Coloriage du graphe :
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 8

On peut colorier le graphe avec 4 couleurs, donc son nombre chromatique \gamma est inférieur ou égal à 4.
D'autre part, le sous graphe APQE est un graphe de degré 4 complet. Son nombre chromatique est 4 donc \gamma\geq 4
\boxed{ \gamma=4}


2. b) Une possibilité de répartition des supporters dans 4 hôtels (voir coloriage du graphe) :
Premier hôtel : C, E, G
Deuxième hôtel : A, R
Troisième hôtel : P
Quatrième hôtel : Q




exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Discriminant : \Delta= (-15)^2-4\times 18\times 2= 81=9^2
L'équation admet deux solutions réelles : X_1=\dfrac{15-9}{4}=\dfrac{3}{2} \text{ et } X_2=\dfrac{15+9}{4}=6
L'ensemble des solutions est donc :
\boxed{S=\left\lbrace \dfrac{3}{2} ; 6\right\rbrace}


2. a) En posant X=e^x,\qquad 2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 = 0 \Longleftrightarrow 2X^2-15X+18=0
Donc e^x=\dfrac{3}{2} \text{ ou } e^x=6\Longleftrightarrow x=\ln \left(\dfrac{3}{2}\right) \text{ ou } x=\ln 6
L'ensemble des solutions est donc :
\boxed{S=\left\lbrace \ln \left(\dfrac{3}{2}\right) ; \ln 6\right\rbrace}


2. b) 2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18=2\left(e^x-\dfrac{3}{2}\right)(e^x-6)
D'où le tableau de signes :

\begin{array}{|c||ccccccc|}              \hline              x &-\infty&&\ln\left(\frac{3}{2}\right)&&\ln 6&&+\infty \\              \hline              e^x-\frac{3}{2}& &-&\barre{0}&+&\barre{}&+&\\              \hline              e^x-6& &-&\barre{}&-&\barre{0}&+&\\              \hline              2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18& &+&\barre{0}&-&\barre{0}&+&\\              \hline           \end{array}

Finalement :
\boxed{2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 \text{ est positif sur }\left]-\infty,\ln\left(\frac{3}{2}\right)\right]\cup [\ln\, 6,+\infty[ \text{ et négatif sur }\left[\ln \left(\frac{3}{2}\right),\ln\, 6\right]}


Partie B

1. \displaystyle\lim_{x\to \ln 3^+}\dfrac{3}{e^{x} - 3}=+\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to \ln 3^+} 2x -2=2\ln3-2
Donc :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to \ln 3^+} f(x)=+\infty}

Interprétation géométrique :
\boxed{\text{ La droite d' équation } x=\ln 3 \text{ est asymptote à } (\mathcal{C}_f)}


2. \lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(2x-2)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3}{e^x-3}=0 donc :
\boxed{\text{ La droite } (D) \text{ d'équation } y = 2x - 2 \text{ est asymptote à la courbe } \left(\mathcal{C}_{f}\right) \text{ en } + \infty}

Limite de f en +\infty :
 \displaystyle\lim_{x\to+\infty} 2x-2=+\infty \text{ et }\lim_{x\to +\infty} \dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}=0
Donc par somme :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty } f(x)=+\infty}


3.f(x)-(2x-2)=\dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}
Donc f(x)-(2x-2) est du signe de e^x-3, c' est à dire positif sur ]\ln\,3;+\infty[:
\boxed{(\mathcal{C}_f) \text{ est au-dessus de la droite (D) sur } ]\ln 3 ; +\infty[}


4. f est dérivable sur ]\ln 3 ; +\infty[
f'(x)=2-\dfrac{3e^x}{(\text{e}^{x} - 3)^2}=\dfrac{2(e^x-3)^2-3e^x}{(\text{e}^{x} - 3)^2}
\boxed{f'(x)=\dfrac{2e^{2x}-15e^x+18}{(e^x-3)^2}}

(e^x-3)^2>0 sur ]\ln 3,+\infty[, donc le signe de f'(x) est celui de 2 \text{e}^{2x} - 15 \text{e}^{x} + 18 vu dans la Partie A, d'où le tableau de variations :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|} \hline x                     & \ln 3   &              &               & \ln 6        &                       & +\infty   \\ \hline f'(x)                 & \dbarre &              &  -            &    \barre{0} &     +                 &        \\ \hline \niveau{2}{3} f       & \dbarre &+\infty       &   \decroit    &    2\ln 6-1          & \croit                &+\infty          \\ \hline \end{tabvar}


f(\ln 6)=2\ln 6 -2 + \dfrac{3}{6 - 3}=2\ln 6 -1

5.
Bac ES obligatoire et spécialité Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 6


6. a) Pour tout x de ]\ln 3 ; +\infty[ :
f(x) = 2x -2 + \dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}=2x-3+1+\dfrac{3}{\text{e}^{x} - 3}=2x-3+\dfrac{\text{e}^{x} - 3+3}{\text{e}^{x} - 3}
\boxed{f(x)=2x-3+\dfrac{\text{e}^{x}}{\text{e}^{x} - 3}}


6. b) g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x - 3} est de la forme \dfrac{u'}{u} avec u(x)=e^x-3>0 sur ]\ln\,3;+\infty[
\boxed{\text{ Une primitive }G \text{ de la fonction }g \text{ est définie sur } ]\ln 3,+\infty[ \text{ par } G(x)=\ln(e^x-3)}


6. c) f(x)=2x-3+\dfrac{e^x}{e^x-3}
Donc :
\boxed{ \text{ Une primitive de la fonction }f \text{ notée }F \text{ est définie sur } ]\ln 3,+\infty[ \text{ par : } F(x)=x^2-3x+\ln(e^x-3)}





exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit x le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de t\%, on a donc 1,05\le x\le 1,2
Au 01/07, il reste 300x unités.
Au 01/08, il reste (300x-120)x unités.
Au 01/09, il reste [(300x-120)x-120]x unités.
Au 01/10, il reste [(300x-120)x-120]x-120 unités, or le crédit est épuisé donc :

[(300x-120)x-120]x-120=0\Longleftrightarrow 5x^3-2x^2-2x-2=0
En utilisant la calculatrice, avec la fonction f définie par f(x)=5x^3-2x^2-2x-2 sur [1,05;1,2], on obtient : 1,0970\le x\le 1,0971, encadrement qui respecte les conditions imposées par l'énoncé.
D'où :
\boxed{t\approx 9,70\%}
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