Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la figure 1 est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [-4 ; + $\infty$ [.
On donne les renseignements suivants :
    les points A(-3 ; 0), B $\left(-2 ; \text{e}^2\right)$ et C(0 ; 3) sont des points de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ;
    l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+\infty$ .
    la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [- 2 ; + $\infty$ [ ;
    la droite tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point C passe par le point D(2 ; - 1). On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.

1. La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est 1.

2. $f'(0) = \dfrac{-1}{2}$ .

3. Pour tout $x$ élément de l'intervalle [- 2 ; + $\infty$ [, on a : $f'(x) \le 0$ .

4. Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [- 4 ; + $\infty$ [, alors la fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle [- 2 ; + $\infty$ [.

5. $\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\, \text{d}x < 15$ .

Bac ES obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie décembre 2006 - terminale : image 1

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire d'analyse médicale. L'installateur assure une maintenance à l'issue de chaque semaine d'utilisation. Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l'appareil), soit une assistance téléphonique suffit.
À l'issue d'une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles :
    Situation A : l'appareil a fonctionné normalement ;
    Situation B : l'appareil a eu des arrêts épisodiques ;
    Situation C : l'appareil a eu des arrêts très fréquents.
Dans la situation A, l'installateur doit se déplacer 1 fois sur 2.
Dans la situation B, l'installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.
L'installateur sait par expérience que, à l'issue de chaque semaine de fonctionnement,
    la probabilité d'être dans la situation A est 0,6 ;
    la probabilité d'être dans la situation B est 0,3 ;
    la probabilité qu'il doive se déplacer est 0,6.

Partie A

L'appareil a été utilisé pendant une semaine.
On considère les évènements suivants :
A : «On se trouve dans la situation A»
B : «On se trouve dans la situation B»
C : «On se trouve dans la situation C»
S : «L'installateur se déplace»
T : «L'installateur effectue une assistance téléphonique».
On pourra construire un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.

1. Calculer la probabilité de l'événement T.

2. Démontrer que, lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est 0,9.

3. On sait que l'installateur s'est déplacé. Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.

Partie B

L'installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite
On admet que les évènements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.

1. Quelle est la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ?

2. a) Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines.
b) Montrer que l'espérance mathématique de cette loi vaut 1,8.
c) Pour l'installateur, un déplacement revient à 300 € (l'assistance téléphonique ne lui coûte rien). L'installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.
Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme indiqué dans le tableau suivant :

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année : $x_{i}$	0	1	2	3	4	5
Bénéfice en k€: $y_{i}$	64	75	100	113	125	127

1. a) Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
    b) Donner les coordonnées du point moyen G du nuage (arrondir au dixième). Placer le point G dans le repère.

2. En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de l'année.
    a) Donner une équation de la droite d'ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
    b) Tracer cette droite (D) dans le repère.
    c) Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation ?

3. En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y = f(x)$ avec $f(x)= -2x^2 + 23x + 63$ .
    a) Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 6].
    b) Tracer la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans le repère de la question 1.
    c) Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?

4. En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9% par rapport à celui de 2004. Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.
Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le modèle suivant :
    70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
    20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté.
En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.
On appelle $P_{n} = \left(a_{n} \quad b_{n}\right)$ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année $2003 + n$ :
    $a_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l'année
    $2003 + n$
    $b_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l'année $2003 + n$
    $a_{n} + b_{n} = 1$ .

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

2. Déterminer l'état initial $P_{0} = \left(a_{0}\quad b_{0}\right)$ .

3. a) Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe. (Rappel $M$ est la matrice telle que : $P_{n+1} = P_{n} \times M .)$
    b) En admettant que, en 2005, 36,25% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)

4. Soit $P = (x \quad y)$ Ia matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P \times M = P$ . (Rappel : $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$ )
    a) Déterminer les nombres $x$ et $y$ .
    b) En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.
Interpréter ce résultat.

5. Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10%.
Le club comptait 405 adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude préliminaire

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [
$\begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & -3 & & -2 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{3} g(x) & \dbarre -\infty & \croit & 0 & \croit & 2 \\ \hline \end{tabvar}$
1. On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]-2 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = \ln [g(x)]$ .
a) Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]-2 ; + $\infty$ [.
b) Déterminer la limite de $f$ en -2 et la limite de $f$ en + $\infty$ , puis donner le tableau de variations de $f$ .

2. Soit $G$ la primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [ qui est telle que : $G(-2) = 0$ .
Démontrer que la fonction $G$ admet un minimum en -2.

Partie B

Dans cette partie, la fonction $g$ est la fonction définie sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [ par : $g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}$ . 1. En utilisant cette définition de la fonction $g$ retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.

2. Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction $f$ par : pour tout $x$ élément de l'intervalle ]-2 ; + $\infty$ [, $f(x ) = \ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)$ Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de cette fonction $f$ relativement à un repère orthogonal. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est représentée sur la figure fournie ci-dessous.
    a) La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.
Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie.
    b) La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de $f(x)$ , déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie.
    c) Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse -1. Tracer la droite (T) sur la figure fournie.

3. Comme dans la deuxième question de la partie A, on définit la fonction $G$ par :
$G$ est la primitive sur l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [ de la fonction $g : x \mapsto 2 - \dfrac{2}{x + 3}$ et $G(-2) = 0$ .
Calculer $G(x)$ pour $x$ réel de l'intervalle ]-3 ; + $\infty$ [.

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Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Affirmation fausse
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet l'axe des abscisses (équation $y=0$ ) pour asymptote donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$

2. Affirmation fausse
La tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point C est la droite (CD) de coefficient directeur $\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{-1-3}{2-0}=-2$ donc $f'(0)=-2$

3. Affirmation vraie
La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[-2 ; +\infty[$ , donc $f'(x)\le 0$ sur $[-2 ; +\infty[$

4. Affirmation fausse
Sur $[-2~;+\infty[~,~ F'(x)=f(x) \ge 0$ donc $F$ est croissante sur $[-2~;+\infty[$

5. Affirmation vraie
L'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimitée par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ , l'axe des abscisses et par les droites d' équations $x=-2$ et $x=0$ est inférieure à l'aire du rectangle OEBF où $E(0;e^2)$ et F(-2 ; 0) soit $2\,e^2$ en unités d'aire.
Comme $f(x)\geq 0$ sur [-2 ; 0], l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est donnée en unités d'aire par $\displaystyle\int_{-2}^0f(x)\,\text{d}x$
Donc : $\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\, \text{d}x < 2\,e^2<15$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. P(T) = 1 - P(S) = 1 - 0,6
P(T) = 0,4

2. A, B, C formant une partition de l'univers, on a : $P(S)= P(A\cap S) + P(B\cap S) + P(C\cap S)$
Donc : P(C $\cap$ S) = P(S)- P(A $\cap$ S) - P(B $\cap$ S) = 0,6 - (0,6 × 0,5) -(0,3 × 0,7) = 0,09
De plus, P(C)= 1- P(A) - P(B) = 1 - 0,6 - 0,3 = 0,1
On en déduit : $P_C(S)=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)}=\dfrac{0,09}{0,1}$
P_C(S) = 0,9
L'arbre pondéré complété illustrant la partie A :

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3. $P_S(B)= \dfrac{P( B \cap S) }{P(S)} = \dfrac{0,3 \times 0,7}{0,6}$
P_S(B) = 0,35

Partie B

Appelons $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où l'installateur se déplace. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=3 \text{ et } p=0,6$
Un arbre permet de visualiser la situation :

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1. La probabilité que l'installateur effectue deux déplacements est : $P(X = 2) = 3 \times 0,6^2\times 0,4 = \boxed{0,432}$

2. a) L'installateur peut avoir à faire 0 déplacement, 1 déplacement, 2 déplacements ou 3 déplacements. On obtient :
$P(X = 0)=0,4^3=\boxed{0.064}$
$P(X = 1) =3\times 0,6\times 0,4^2 = \boxed{0,288}$
$P(X = 2) = \boxed{0,432}$
$P(X = 3) = 0,6^3 = \boxed{0,216}$
Et on vérifie que la somme de ces quatre probabilités vaut bien 1.

2. b) Espérance :
Ou bien le cours permet de dire que $E(X)=n\times p=3\times 0,6=\boxed{1,8}$
Sinon : $E(X)=0\times 0,064+1\times 0,288+2\times 0,432+3\times 0,216=1,8$

2. c) En moyenne, l'installateur se déplacera 1,8 fois sur trois semaines, cela lui coûtera donc 300 × 1,8 = 540 euros en moyenne.
Il doit donc demander un forfait supérieur ou égal à 540 euros

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Voir figure à la fin de l'exercice

1. b) Les coordonnées du point moyen G sont :
$x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5}{6}=\dfrac{15}{6}=2,5$
$y_G=\dfrac{64+75+100+113+125+127}{6}\approx 100,7$
Donc on a G(2,5 ; 100,7)

2. a) On obtient en utilisant la calculatrice $\boxed{y = 13,66x + 66,52}$

2. b) Voir la figure

2. c) 1ère méthode (par le calcul) : 2005 correspond au rang 6, d'où en utilisant notre ajustement, on obtient une prévision du bénéfice en 2005 (valeur exprimée en kilo euros) : $y = 13,66 \times 6 + 66,52 = \boxed{148,48}$
2ème méthode (par lecture graphique), on lit sur la figure : $\boxed{y\approx 148,5}$

3. a) Soit $f(x)=-2x^2+23x+63$ ; $f$ est dérivable sur [0 ; 6], et $f'(x)=-4x + 23$
$f'(x)=0$ pour $x=\dfrac{23}{4}$
$f'(x)\geq 0$ sur $\left[0 ; \dfrac{23}{4}\right]$ et $f'(x)\leq 0$ sur $\left[\dfrac{23}{4} ; 6\right]$
d' où :
$\boxed{f \text{ est croissante sur} \left[0,\dfrac{23}{4}\right] \text{ et décroissante sur }\left[\dfrac{23}{4},6\right]}$

3. b) Voir figure

3. c) 1ère méthode (par le calcul) : 2005 correspond au rang 6, d'où en utilisant notre ajustement, une valeur du bénéfice $y$ égale à : $y =f(6)= -2\times 6^2+23\times 6+63= \boxed{129}$
2ème méthode (par lecture graphique), on lit sur la figure : $\boxed{y\approx 129}$

4. En 2005, le bénéfice est en hausse de 0,9%, il est donc égal à : 127 × 1,009 = 128,143

La meilleure prévision est donc celle obtenue avec le deuxième ajustement.
Figure :

Bac ES obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie décembre 2006 - terminale : image 5

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Notons A l'état "l'adhérent est inscrit au karaté" et B l'état "l'adhérent est inscrit au judo".
La situation est modélisée par le graphe probabiliste d'ordre 2 suivant où la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut 1 :

Bac ES obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie décembre 2006 - terminale : image 8

2. En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo, donc $a_0=\dfrac{200}{800}=0,25$ et $b_0=\dfrac{600}{800}=0,75$
Ainsi, l'état initial est : $\boxed{P_0=\begin{pmatrix}0,25 & 0,75\end{pmatrix}}$

3. a) La matrice $M$ de transition de ce graphe a pour terme général $m_{ij}$ le poids de l' arête orientée $(i\rightarrow j)$ d' où :

$\boxed{M =\begin{pmatrix}0,7 &0,3\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}}$

3. b) L'année 2005 a pour rang 2 ainsi : $P_2 =\begin{pmatrix}0,3625 & 0,6375\end{pmatrix}$
$P_3 = P_2 \times M = \begin{pmatrix}0,3625 & 0,6375\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7 &0,3\\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}0,38125& 0,61875\end{pmatrix}}$
De plus 800 × 0,38125 = 305 et 800 × 0,61875 = 495.
Donc, en 2006, 38,125% des adhérents seront inscrits au karaté et 61,875% des adhérents seront inscrits au judo.

En 2006, 305 adhérents sont inscrits dans la section karaté et 495 dans la section judo.

4. a) L'équation $P \times M=P$ se traduit par le système :
$\begin{cases}0,7x+0,2y=x\\0,3x+08,y=y\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}-0,3x+0,2y=0\\0,3x-0,2y=0\end{cases}\Longleftrightarrow 3x-2y=0$
La condition supplémentaire $x+y=1$ donne le système :
$\begin{cases}3x-2y=0\\x+y=1\end{cases}$ dont la solution est : $\begin{cases}x=0,4\\y=0,6\end{cases}$
L'état stable est donc défini par la matrice ligne : $\boxed{P =\begin{pmatrix} 0,4 &0,6 \end{pmatrix}}$

4. b) L'état $P_n$ converge vers l'état stable $P$ lorsque $n\to +\infty$
Ainsi $\boxed{\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n = 0,4}$
À long terme, le nombre d'adhérents se stabilisera à 320 inscrits pour la section karaté et 480 inscrits pour la section judo.

5. Soit $u_n$ le nombre d'adhérents de l'association inscrits à la section judo l'année $2003+n$ et $v_n$ le nombre d' adhérents du club de judo.
D'une part, $\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,25&0,75\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}^n$ et $u_n=800\,b_n$
D'autre part, $v_0=405$ et $v_{n+1}=1,1\,v_n$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme $v_0=405$ .
On en déduit $v_n=405\times 1,1^n$
Les calculs sont regroupés dans le tableau suivant :

$n$	0	1	2	3
$u_n$	600	540	510	495
$v_n$	405	446	490	539

L'effectif du club sera supérieur à l'effectif de la section judo de l' association l'année 2003 + 3 = 2006.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) $f(x)=\ln\,[g(x)]$
$f$ est définie et dérivable sur $]-2;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$
Sur $]-2 ; +\infty[$ : $\begin{cases} g'(x)\geq 0 \text{ car la fonction g est croissante sur cet intervalle d'après le tableau de variations}\\g(x)>0 \text{ par croissance de }g \text{ sur } ]-2;+\infty[\end{cases}$
D' où $f'(x)\geq 0$ sur $]-2 ; +\infty[$ donc : $\boxed{f \text{ est croissante sur } ]-2 ; +\infty[}$

1. b)
$\displaystyle \lim_{x\to-2} g(x)=g(-2)=0^+$ d'après le tableau de variations. Or on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$
On en déduit par composition de limites : $\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to -2\\x>-2}} f(x)=\lim_{\substack{x\to -2\\x>-2}}} \ln[g(x)]=\lim\limits_{\substack{X\to 0\\X>0}}}\ln\,X$

$\boxed{\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to -2\\x>-2}} f(x)}=-\infty}$
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x)=2$ d'après le tableau de variation, et on sait que $\displaystyle\lim_{x\to 2}\ln x=\ln 2$
On en déduit par composition de limites : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty} \ln(g(x))=\lim_{X\to 2} \ln X$

$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ln\,2}$
Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C||CCC|} \hline x & -2 & & +\infty \\ \hline \niveau{1}{2} f & -\infty & \croit & \ln 2 \\ \hline \end{tabvar}$

2. Par définition $G$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ et $G'(x)=g(x)$
Sur ]-3 ; -2], $G'(x)\leq 0$ d' après le tableau de variations de $g$ et $G$ est donc décroissante.
Sur $[-2;+\infty[$ , $G'(x)\geq 0$ d' après le tableau de variations de $g$ et $G$ est donc croissante.
$G$ présente donc un minimum en -2.

Partie B

1.
Variations : La fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-3 ; +\infty[$ par $g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}$ est dérivable sur cet intervalle et :
$g'(x)={\dfrac{2}{(x+3)^2}$
$g'(x)>0$ sur $]-3 ; +\infty[$ et donc :
$\boxed{g\text{ est strictement croissante sur } ]-3 ; +\infty[}$
Limites et images :
$\bullet$ $\displaystyle \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}} - \dfrac{2}{x + 3}=-\infty$ donc :
$\boxed{\displaystyle \lim_{\substack{x\to -3\\x>-3}}g(x)=-\infty}$
$\bullet \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x + 3}=0$ donc :
$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=2}$
$\bullet g(-2)=2-\dfrac{2}{-2+3}$

$\boxed{g(-2)=0}$

2. a) $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes :
$\displaystyle\lim_{x\to-2}f(x)=-\infty$ , donc : $\boxed{\text{ La droite d'équation } x=-2 \text{ est asymptote verticale à }(\mathcal{C}_f) }$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ln 2$ , donc : $\boxed{\text{ La droite d'équation } y=\ln 2 \text{ est asymptote horizontale à }(\mathcal{C}_f)\text{ en } +\infty }$

2. b) On résout l' équation $f(x)=0$
$f(x)=0\Longleftrightarrow \ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)=0$ $\Longleftrightarrow 2 - \dfrac{2}{x + 3}=1\Longleftrightarrow \dfrac{2}{x+3}=1\Longleftrightarrow x+3=2\Longleftrightarrow \boxed{x=-1}$
On en déduit les coordonnées de A :
A(-1 ; 0)}

2. c) Équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse -1 : $(T):\,y=f'(-1)(x+1)+f(-1)$
$f'(-1)=\dfrac{g'(-1)}{g(-1)}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2} \text{ et } f(-1)=\ln(g(-1))=\ln (1)=0$
On en déduit une équation de $(T)$ : $y=\dfrac{1}{2}(x+1)$

$\boxed{(T):\,y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}}$
Figure :

Bac ES obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie décembre 2006 - terminale : image 9

3. $G$ définie sur $]-3;+\infty[$ par $\displaystyle G(x)=\int_{-2}^xg(t)\,\text{d}t$ est l'unique primitive de $g$ qui s'annule en -2.
$\displaystyle G(x)=\int_{-2}^x\left(2-\dfrac{2}{t+3}\right)\,\text{d}t=\left[2t-2\,\ln\,(t+3)\right]_{-2}^x$
$\boxed{G(x)=2x-2\,\ln\,(x+3)+4}$

Publié par TP/dandave le 08-08-2014

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