Fiche de mathématiques

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Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Pondichéry Session de 2006

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

10 points

exercice 1

Un acheteur hésite entre deux modèles de véhicules : le modèle A à 13000 € et le modèle B à 15100 €, plus cher, mais qui consomme moins de carburant.

1. Il évalue la distance qu'il parcourt chaque année à 12000 km et considère qu'il parcourt la même distance chaque trimestre.
Sachant que la consommation moyenne aux 100 km est de 9 litres pour le modèle A et de 7 litres pour le modèle B, montrer que la consommation trimestrielle est de 270 litres pour le modèle A, et de 210 litres pour le modèle B.

2. Pour pouvoir effectuer une évaluation de ses futures dépenses de carburant, il fait l'hypothèse que le prix du litre de carburant, actuellement de 1,530 €, va augmenter régulièrement de 3% par trimestre pendant les sept prochaines années.

On note U_n le prix en euros du litre de carburant, au cours du n-ième trimestre.
On a ainsi U₁ = 1,530.

    a) Calculer les valeurs arrondies au millième de U₂ et U₃.
    b) Exprimer U_n+1 en fonction de U_n. En déduire la nature et la raison de la suite (U_n).

3. Pour faire ses calculs, l'acheteur a utilisé un tableur, et créé le tableau donné en annexe 1 (les valeurs de certaines cellules ont été masquées).
    a) Compléter le tableau avec les valeurs des cellules B5 et B6 arrondies à 0,001.
Donner la formule qui a pu être écrite en B5 et recopiée automatiquement jusqu'en B31.
    b) Compléter le tableau avec la valeur de la cellule D4.
    c) Compléter le tableau avec les valeurs des cellules E4, E5 et E6.
Indiquer une procédure possible, pour obtenir, à l'aide du tableur, les valeurs des cellules de E5 à E31.

4. Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera le tableau de l'annexe 1 :
    a) Compte tenu du prix d'achat des véhicules et des dépenses de carburant, quel est le modèle le plus économique au bout de trois ans et demi ?
    b) Au bout de combien de temps l'achat du modèle B s'avère-t-il être le plus économique ?
    c) Quelle formule écrite en J4 et recopiée vers le bas permettrait-elle de répondre plus rapidement aux deux questions précédentes ? Expliquer votre réponse.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1				Véhicule A			Véhicule B
2				Consommation trimestrielle (litre)	270		Consommation trimestrielle (litre)	210
3	Trimestre	Prix du litre de carburant (€)		Dépenses trimestrielles de carburant (€)	Cumul des dépenses de carburant (€)		Dépenses trimestrielles de carburant (€)	Cumul des dépenses de carburant (€)
4	1	1,530					321,30	321,30
5	2			425,49			330,94	652,24
6	3			438,26			340,87	993,11
7	4	1,672		451,41	1728,26		351,09	1344,20
8	5	1,722		464,95	2193,20		361,63	1705,83
9	6	1,774		478,90	2672,10		372,47	2078,30
10	7	1,827		493,26	3165,36		383,65	2461,95
11	8	1,822		508,06	3673,42		395,16	2857,11
12	9	1,938		523,30	4196,73		407,01	3264,12
13	10	1,996		539,00	4735,73		419,22	3683,34
14	11	2,056		555,17	5290,90		431,80	4115,14
15	12	2,118		571,83	5862,73		444,75	4559,90
16	13	2,181		599,98	6451,71		458,10	5018,00
17	14	2,247		606,65	7058,36		471,84	5489,84
18	15	2,314		624,85	7683,21		486,00	5975,83
19	16	2,384		643,60	8326,81		500,57	6476,41
20	17	2,455		662,90	8989,71		515,59	6992,00
21	18	2,529		682,79	9672,50		531,06	7523,06
22	19	2,605		703,28	10375,78		546,99	8070,05
23	20	2,683		724,37	11100,15		563,40	8633,45
24	21	2,763		746,10	11846,26		580,30	9213,75
25	22	2,846		768,49	12614,74		597,71	9811,47
26	23	2,932		791,54	13406,29		615,64	10427,11
27	24	3,020		815,29	14221,57		634,11	11061,22
28	25	3,110		839,75	15061,32		653,14	11714,36
29	26	3,203		864,94	15926,26		672,73	12387,09
30	27	3,300		890,89	16817,15		692,91	13080,01
31	28	3,399		917,61	17734,76		713,70	13793,71

Les valeurs inscrites dans la colonne B sont arrondies au millième, celles des colonnes D, E, G, H et J au centième.
Annexe 1 10 points

exercice 2

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On a récemment découvert que les acides gras oméga-3, présents dans des poissons comme la truite ou le saumon, ont un effet protecteur contre les maladies cardio-vasculaires.
Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,01 %.

1. Une portion de 180 g de saumon d'élevage fournit environ 1,5 g d'oméga-3.
Calculer le pourcentage d'oméga-3 dans le saumon d'élevage.

2. Le pourcentage d'oméga-3 dans le saumon sauvage est de 0,78 %. En déduire la quantité d'oméga-3 contenue dans une portion de 180 g de saumon sauvage (arrondir à 0,1 g).

3. Consigner les résultats précédents dans le tableau de l'annexe 2, et finir de le compléter. On ne demande pas les détails des calculs.

	Elevage		Sauvage
	Pourcentage d'oméga-3	Quantité d'oméga-3	Pourcentage d'oméga-3	Quantité d'oméga-3
Saumon (180 g)		1,5 g	0,78 %
Truite (180 g)		1,3 g	0,22 %

Annexe 2

4. a) La consommation d'une portion de 180 g de truite d'élevage couvre environ 37 % des besoins hebdomadaires en oméga-3 d'un être humain.
Montrer que ces besoins arrondis à 0,1 g, sont de 3,5 g.
b) Retrouver la réponse précédente sachant que ces besoins hebdomdaires sont exactement couverts si on consomme 450 g de saumon sauvage.
c) Calculer la quantité de truite sauvage qu'il faudrait consommer pour couvrir la totalité de ces besoins hebdomadaires (arrondir à 10g).

Partie B

Un navire de pêche, affrété par des scientifiques, effectue des prélèvements de saumons en Atlantique Nord pour les étudier. Un banc de 63 saumons a été capturé. On souhaite savoir si ces saumons sont plutôt sauvages ou plutôt issus d'un élevage d'où ils se seraient échappés.
Les saumons ont été mesurés ; les résultats sont consignés dans le tableau donné en annexe 3.

Taille en cm	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134
Effectifs	2	0	1	5	5	5	4	4	5	4	2	3	2	5	6	3	4	2	1
Tailles en cm inférieure ou égale à	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134
Effectifs cumulés croissants	2	2	3	8	13	18	22	26	31	35	37	40	42	47	53	56	60	62	63

Annexe 3

1. a) Donner la médiane, les premier et troisième quartiles de cette série, en détaillant votre démarche.
b) Quelle est l'étendue de cette série ?

2. Construire le diagramme en boîte correspondant sur l'annexe 4, en utilisant l'axe déjà tracé (on choisira les valeurs extrêmes pour extrémités des " moustaches " du diagramme).

3. Le diagramme en boîte correspondant à un banc de saumons sauvages est tracé sur l'annexe 4.
Peut-on dire que les saumons capturés sont plutôt sauvages ou plutôt issus d'un élevage ? Pourquoi ?

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Pondichéry 2006 : image 1

Annexe 4

Correction

exercice 1

1. Il y a 4 trimestres dans une année.
Comme il parcourt la même distance chaque trimestre, cela nous fait : 12 000 $\div$ 4 = 3 000
Il parcourt 3 000 km chaque trimestre.
Nous avons pour le modèle A 9 litres pour 100 km, donc 9 × 30 = 270 litres pour 100 × 30 = 3 000 km.
La consommation trimestrielle pour le modèle A est de 270 L.
Nous avons pour le modèle B 7 litres pour 100 km, donc 7 × 30 = 210 litres pour 100 × 30 = 3 000 km.
La consommation trimestrielle pour le modèle B est de 210 L.

2. a) Calculons les valeurs arrondies au millième de U₂ et U₃ :
$U_2 = 1,530 \left(1 + \dfrac{3}{100} \right) \approx 1,576 \\ U_3 = 1,576 \left(1 + \dfrac{3}{100} \right) \approx 1,623$

2. b) Exprimons U_n+1 en fonction de U_n :
$U_{n+1} = U_n \left(1 + \dfrac{3}{100}\right) = 1,03 \times U_n$
Pour information : d'un trimestre au suivant, il y a une augmentation de 3%, donc il faut ajouter 3% du prix du carburant U_n, soit : $U_n + \dfrac{3}{100} U_n = U_n \left(1 + \dfrac{3}{100}\right)$

3. a) Complétons le tableau avec les valeurs des cellules B5 et B6 arrondies à 0,001 :
La valeur en B5 est 1,576. Cette cellule correspond au prix du carburant au 2e trimestre, soit U₂.
La valeur en B6 est 1,623. Cette cellule correspond au prix du carburant au 3e trimestre, soit U₃.
En B5 on a pu écrire la formule : $\boxed{= 1,03 \times \text{B}4}$

3. b) Complétons le tableau avec la valeur de la cellule D4 :
La dépense trimestrielle de carburant se calcule en multipliant le prix du carburant par le nombre de litres consommés.
Or 1,530 × 270 = 413,10
La valeur en D4 est 413,10.

3. c) Complétons le tableau avec les valeurs des cellules E4, E5 et E6 :
Le cumul des dépenses de carburant se fait en additionnant les dépenses de carburant des trimestres précédents.
Ainsi, la valeur en E4 est 413,10.
413,10 + 425,49 = 838,59.
Ainsi, la valeur en E5 est 838,59.
438,26 + 838,59 = 1 276,85.
Ainsi, la valeur en E6 est 1 276,85.
Une procédure possible, pour obtenir, à l'aide du tableur, la valeur de la cellule E5 est : $\boxed{= \text{D}5 + \text{E}4}$
en copiant et collant la formule dans les autres cellules, nous pouvons obtenir les autres valeurs.

4. a) Trois ans et demi correspondent à 14 trimestres.
Ainsi,
Avec le modèle A on a dépensé 7 058,36 € pour le carburant, ce qui fait un coût total de :
13 000 + 7 058,36 = 20 058,36 €.
Avec le modèle B on a dépensé 5 489,84 € pour le carburant, ce qui fait un coût total de :
15 100 + 5 489,84 = 20 589,84 €.
Au bout de trois ans et demi, le modèle A est plus économique que le modèle B.

4. b) Au bout du 17e trimestre, le modèle A revient au total à 21 989,71 € et le modèle B à 22 092 €.
Au bout du 18e trimestre, le modèle A revient au total à 22 673,50 € et le modèle B à 22 623,06 €.
Ainsi, au bout du 18e trimestre, soit au bout de quatre ans et demi, le modèle B s'avère être plus économique.
Les dépenses de carburant augmentant plus vite avec le modèle A qu'avec le modèle B, plus le temps passera à partir de là, et plus l'économie réalisée sera grande.

5. Pour répondre aux questions précédentes, il faudrait comparer le coût total du modèle A au coût total du modèle B.
Le coût total du modèle A est la somme du cumul des dépenses de carburant $D_A$ pour le modèle A et du prix d'achat 13 000 €.
Le coût total du modèle B est la somme du cumul des dépenses de carburant $D_B$ pour le modèle B et du prix d'achat 15 100 €.
La différence est donc $\left(\text{D}_A + 13\,000\right) - \left(\text{D}_B + 15\,100\right) = \text{D}_A - \text{D}_B - 2\,100$
Ainsi, dans la cellule J4, nous pouvons écrire la formule suivante : $\boxed{= \text{E}4 - \text{H}4 - 2100}$
Ensuite, il suffit de regarder si la réponse est positive ou négative. Si la réponse est négative, le modèle A est plus rentable que le modèle B, sinon c'est le contraire.
Pour information : il existe une formule permettant de dire si le modèle A est plus rentable que le modèle B ou non, la voici :
= SI(E4 - H4 - 2100 < 0 ; "le modèle A est plus rentable" ; "le modèle B est plus rentable")
(remarque, dans le cas où les deux modèles sont équivalents au point de vue du prix, la formule privilégiera le modèle B).

exercice 2

Partie A

1. Calculons le pourcentage d'oméga-3 dans le saumon d'élevage :
$\dfrac{1,5 \times 100}{180} \approx 0,83$ .
Il y a environ 0,83 % d'oméga-3 dans le saumon d'élevage.

2. Quantité d'oméga-3 contenue dans une portion de 180 g de saumon sauvage :
$\dfrac{180 \times 0,78}{100} = 1,404$
Il y a environ 1,4 g d'oméga-3 dans une portion de 180 g de saumon sauvage.

3. Complétons le tableau :

	Elevage		Sauvage
	Pourcentage d'oméga-3	Quantité d'oméga-3	Pourcentage d'oméga-3	Quantité d'oméga-3
Saumon (180 g)	0,83 %	1,5 g	0,78 %	1,4 g
Truite (180 g)	0,72 %	1,3 g	0,22 %	0,4 g

Le pourcentage d'oméga-3 dans la truite d'élevage est de : $\dfrac{1,3 \times 100}{180} \approx 0,72$ , soit environ 0,72 %.
La quantité d'oméga-3 contenue dans une portion de 180 g de truite sauvage est de : $\dfrac{0,22 \times 180}{100} \approx 0,4$ , soit environ 0,4 g.

4. a) Besoins hebdomadaires en oméga-3 d'un être humain :
La consommation d'une portion de 180 g de truite d'élevage couvre environ 37 % des besoins hebdomadaires en oméga-3 d'un être humain. Cela signifie que 1,3 g représentent 37 % des besoins humains en oméga-3.
100% de ces besoins se calculent en utilisant le produit en croix : (posons $x$ les besoins.

1,3 g	$x$
37%	100%

D'où : $x = \dfrac{1,3 \times 100}{37} \approx 3,5$
Ces besoins arrondis à 0,1 g, sont de 3,5 g.

4. b) Lorsque l'on consomme 450 g de saumon sauvage, on consomme également $\dfrac{450 \times 0,78}{100} = 3,5 g$ d'oméga-3.
Les besoins hebdomadaires en oméga-3 sont donc exactement couverts.

4. c) Quantité de truite sauvage :
Les besoins étant de 3,5 g et sachant qu'on consomme 0,4 g d'oméga-3 dans 180 g de truite sauvage, il faut consommer $\dfrac{3,5 \times 180}{0,4} \approx 1580 g$ de truite sauvage (arrondi à 10 g).

Partie B

1. a) Médiane :
L'effectif est de 63.
Divisons l'effectif en deux populations : 31 et 32.
La médiane se trouve donc égale à $\dfrac{124 + 125}{2} = 124,5$ cm.

Premier quartile :
Un quart (25%) des données correspond à 63 × 0,25 = 15,75.
Le premier quartile est alors, par définition, la plus petite valeur Q1 pour laquelle les valeurs de 16 termes de la série sont inférieurs ou égales à Q1.
Le premier quartile est donc la valeur du 16ème terme de la série : 121 cm.

Troisième quartile :
Trois quarts (75%) des données correspondent à 63 × 0,75 = 47,25.
Le troisième quartile est alors, par définition, la plus petite valeur Q3 pour laquelle les valeurs de 48 termes de la série sont inférieurs ou égles à Q3.
Le troisième quartile est donc la valeur du 48ème terme de la série : 130 cm

1. b) Etendue de la série :
134 - 116 = 18
L'étendue de la série est de 18.

2.

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Pondichéry 2006 : image 2

3. Les saumons capturés sont plutôt d'élevage, car ils sont majoritairement plus petits que les saumons sauvages d'environ 8 cm.

Rappels :

La médiane Me est telle que au moins 50% des données de la série soient inférieures ou égales à Me et qu'au moins 50% des données de la séries soient supérieures ou égales à Me.
Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle que au moins 25% des données soient inférieures ou égales à Q1.
Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des donnes soient inférieures ou égales à Q3.

Publié par Océane-Correction Pookette & Muriel le 09-02-2008

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