Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Épreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Amérique du Nord - Session 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30     Coefficient : 2
Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
8 points

exercice 1

La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt.
Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant :

Température (en °C) Nombre de fois
où cette température a
été relevée
14,5 5
15 7
15,5 10
16 12
16,5 15
17 10
17,5 11
18 9
18,5 7
19 7
19,5 4


1. a) Déterminer la médiane M, les quartiles Q1 et Q3 de cette série statistique.

On appelle premier décile (noté D1) la plus petite valeur de la température telle qu'au moins 10% des valeurs sont inférieures ou égales à D1. On appelle neuvième décile (noté D9) la plus petite valeur telle qu'au moins 90% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

    b) Justifier que D1 = 15 et calculer D9.
    c) Calculer l'écart interquartile.

2. La température a été relevée de la même manière et aux mêmes instants dans un champ à l'extérieur de la forêt. Cette deuxième série de résultats ne figure pas ici, mais :
       - la médiane de cette deuxième série est M' = 23°C
       - les quartiles de cette deuxième série sont Q'1 = 15° et Q'3 = 28°C.
       - les déciles de cette deuxième série dont D'1 = 13°C et D'9 = 31°C.

    a) Calculer l'écart interquartile de cette nouvelle série.
    b) On a construit sur l'annexe un diagramme en boîte de cette série. Les extrémités du diagramme correspondent aux premier et neuvième déciles. Construire au-dessous de ce diagramme celui de la série des températures relevées dans la forêt.
    c) En quelques lignes, expliquer quelle semble être l'influence des arbres sur la température à l'intérieur de la forêt.

Diagrammes en boîtes
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 1

Annexe
12 points

exercice 2

Dans cet exercice, tous les temps sont exprimés en dixième de seconde et les distances en mètre.

On modélise la trajectoire d'une balle de tennis par une courbe dans un repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}), représentée dans le graphique ci-dessous. Une unité représente un mètre.
Le joueur de tennis frappe sa balle à l'instant 0 en M0 de coordonnées (0 ; 2,5).

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 2

Graphique


Pour un entier n, la position de la balle du joueur dans le repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) à l'instant n est le point Mn de coordonnées (x_n ; yn). Des valeurs x_n et yn pour n compris entre 0 et 5 sont données par le tableau de l'annexe, extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.
Ce tableau doit être complété durant l'exercice.

Les questions 1 à 4 sont dans une large mesure indépendantes.

1. Etude de la suite des nombres x_n (abscisse de la position de la balle à l'instant n).

    a) Montrer que les valeurs x_0, x_1 \text{ et } x_2 sont les premiers termes d'une suite arithmétique dont on déterminera la raison r. Ecrire la valeur trouvée de r dans la cellule E1 du tableau de l'annexe.

    b) On admet que les nombres x_n sont les termes de la suite arithmétique de premier terme x_0 et de raison r. Justifier que x_n = 2,8n.

    c) On veut introduire dans la cellule B7 une formule recopiable jusqu'en B9, encore valable si on change la valeur de r. Donner cette formule.

    d) Compléter les deux cellules manquantes de la colonne B du tableau de l'annexe.

    e) La balle arrive au niveau du filet, situé à 12 mètres du point O, à l'intant t.
A l'aide du tableau, donner un encadrement de t entre deux valeurs distantes de un dixième de seconde.

2. Etude de la suite des nombres yn (ordonnée de la position de la balle à l'instant n).

    a) Montrer que la suite des nombres yn n'est ni arithmétique, ni géométrique.

    b) Les lois de la physique permettent d'écrire la relation yn = -0,0784n² + 2,5.
Quelle formule tableur doit-on écrire en C4 de façon à la recopier jusqu'en C9 ?

3. Etude de la trajectoire d'une balle.
Le filet, situé à 12 mètres du point O mesure environ 0,90 m de hauteur. Expliquer, en utilisant le graphique, pourquoi la balle passe au dessus du filet.

4. Lors de la mise en jeu, le joueur au service a droit à deux essais pour placer la balle dans le carré de service adverse. Ces essais sont appelés premier et deuxième service.
Au cours d'un match, le joueur a manqué 20 premiers services. Il a donc joué 20 deuxièmes services.

    a) Lors de ce match, sur les 20 deuxièmes servives, 3 ont été réussis sans être rattrapés par l'adversaire. Parmi les deuxièmes services, quel est le pourcentage de services réussis non rattrapés par l'adversaire ?

    b) Sur ces 20 deuxièmes servives, 65% ont été placés dans le carré de service adverse.
Calculer le nombre de deuxièmes services réussis.

    c) Les 20 premiers services manqués correspondent, pour les premiers services joués, à un pourcentage d'échec de 26,7% (arrondi à 0,1%). Quel est le nombre total des premiers services que le joueur a effectués au cours de ce match ?

Valeurs de x_n et yn
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 3




exercice 1

1. a) Déterminons la médiane M, les quartiles Q_1 et Q_3 de cette série statistique :
Cherchons le nombre cumulé de fois où les températures ont été relevées :
Température (en °C) Nombre de fois
où cette température a
été relevée
Résultat cumulé
14,5 5 5
15 7 12
15,5 10 22
16 12 34
16,5 15 49
17 10 59
17,5 11 70
18 9 79
18,5 7 86
19 7 93
19,5 4 97

De plus, \frac{97}{2} = 48,5
Ainsi la médiane est 16,5°.
\frac{97}{4} = 24,25\\ \frac{97 \times 3}{4} = 72,75
Ainsi le 1er quartile est 16° et le 3e quartile est 18°.

1. b) Justifions que D_1 = 15 et calculons D_9 :
\frac{10}{100} \times 97 = 9,7
Ainsi les 10% de 97 sont 9,7. Le premier décile est 15°.
\frac{90}{100} \times 97 = 87,3
Ainsi les 90% de 97 sont 87,3. Le neuvième décile est D_9 = 19°.

1. c) Calculons l'écart interquartile :
Q_3 - Q_1 = 18 - 16 = 2
L’écart interquartile est 2°.

2. a) Calculer l'écart interquartile de cette nouvelle série.
Q'_3 - Q'_1 = 28 - 15 = 13
L’écart interquartile est 13°.

2. b) Construisons le diagramme de la série des températures relevées dans la forêt :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 4


2. c) Les arbres conservent la fraîcheur et permettent d’avoir une température plus stable (moins d’écart de température).

exercice 2

1. a) Montrons que les valeurs x_0, \, x_1 \text{ et } x_2 sont les premiers termes d'une suite arithmétique :
x_1 - x_0 = 2,8 - 0 = 2,8\\ x_2 - x_1 = 5,6 - 2,8 = 2,8
Ainsi, les valeurs x_0, \, x_1 \text{ et } x_2 sont les premiers termes de la suite arithmétique de raison 2,8 et de premier terme 0.

1. b) Justifions que x_n = 2,8n :
Comme les nombres x_n sont les termes de la suite arithmétique de premier terme x_0 = 0 et de raison r = 2,8, alors pour tout n, nous avons : x_n = x_0 + r \times n = 2,8 n

1. c) Donnons la formule :
La formule en B7 est : \boxed{=\$\text{B}\$5*\text{A}7}
Ou autre formule en B7 : \boxed{=\text{B}6+\$\text{B}\$5}

1. d) Complétons les deux cellules manquantes de la colonne B du tableau :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 5


1. e) Donnons un encadrement de t entre deux valeurs distantes de un dixième de seconde :
A l’instant t, x_t = 12
D’après le tableau, comme nous avons 11,2 < 12 < 14, alors 4 < t < 5.

2. a) Montrons que la suite des nombres yn n'est ni arithmétique, ni géométrique :
y_1 - y_0 = 2,4216 - 2,5 = -0,0784\\ y_2 - y_1 = 2,1864 - 2,4216 = -0,2352
Ainsi la suite des nombres yn n’est pas arithmétique.

\frac{y_1}{y_0} = \frac{ 2,4216}{2,5} = 0,96864\\ \frac{y_2}{y_1} = \frac{ 2,1864}{2,4216} = 0,90287413
Ainsi la suite des nombres yn n’est pas géométrique.

2. b) Donnons la formule tableur que l'on doit écrire en C4 de façon à la recopier jusqu'en C9 :
La formule en C4 est : \boxed{=-0,0784*\text{A}4*\text{A}4 + 2,5}

3. Expliquons pourquoi la balle passe au dessus du filet :
Le point de coordonnées (12 ; 0,9) est au-dessous de la courbe :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Amérique du Nord 2006 : image 6

Ainsi, la balle passe au dessus du filet.

4. a) Parmi les deuxièmes services, déterminons le pourcentage de services réussis non rattrapés par l'adversaire :
Sur 20 deuxièmes services, fleche 3 n'ont pas été rattrapés.
Sur 100 deuxièmes services, fleche.... n'ont pas été rattrapés.
D’où \frac{100 \times 3}{20} = 15
15% des deuxièmes services n’ont pas été rattrapés par l’adversaire.

4. b) Calculons le nombre de deuxièmes services réussis :
Sur 100 deuxièmes services, fleche 65 ont été réussis.
Sur 20 deuxièmes services, fleche.... ont été réussis.
D’où \frac{65 \times 20}{100} = 13
Il y a eu 13 deuxièmes services réussis.

43. c) Déterminons le nombre total des premiers services que le joueur a effectués au cours de ce match :
Sur 100 premiers services, fleche 26,7 ont été des échecs.
Sur ... deuxièmes services, fleche 20 ont été des échecs.
D’où \frac{100 \times 20}{26,7} \approx 74,9
Or si il y a 75 premiers services joués et 20 premiers services manqués, alors le pourcentage d’échec est :
\frac{100 \times 20}{75} \approx 27
Et si il y a 74 premiers services joués et 20 premiers services manqués, alors le pourcentage d’échec est :
\frac{100 \times 20}{74} \approx 26,7
Donc il y a eu 74 premiers services joués.
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