Fiche de mathématiques
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Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Liban - Session 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30     Coefficient : 2
L'usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
9 points

exercice 1

L'action de l'entreprise Alpha, cotée en bourse, a suivi durant une année l'évolution mensuelle décrite par le tableau de la feuille annexe. Il est extrait d'une feuille automatisée de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
Dans la colonne B, on a reporté la valeur en euros, arrondie au centime, de l'action Alpha le 10 de chaque mois.
(On rappelle que la cellule C3, par exemple, est à l'intersection de la colonne C et de la ligne 3).

Partie A

Un actionnaire de l'entreprise Alpha désire connaître le type d'évolution mensuelle que la valeur de l'action a suivie du 10 janvier 2005 au 10 janvier 2006.

1. Période du 10 janvier 2005 au 10 mai 2005
    a) Afin de savoir si la croissance est linéaire, quelle formule, recopiable vers le bas , l'actionnaire place-t-il dans la cellule C3 ?
    b) Cette formule est recopiée vers le bas. Ecrire les résultats affichés dans les cellules C3 à C6 du tableau de la feuille annexe.
    c) La croissance de la valeur de l'action est-elle linéaire sur cette période ?

2. Période du 10 mai 2005 au 10 janvier 2006
    a) L'actionnaire place la formule \boxed{=B7/B6} dans la cellule D7 et la recopie vers le bas.
Ecrire les arrondis à deux décimales des résultats affichés dans les cellules D7 à D14 du tableau de la feuille annexe.
    b) Comment peut-on qualifier le type de croissance suivi par la valeur de l'action du 10 mai 2005 au 10 janvier 2006 ? Justifier la réponse.

Partie B

La colonne E du tableau de la feuille annexe est au format pourcentage. Le contenu des cellules E4 et E12 est caché.
L'actionnaire place dans la cellule E3 la formule suivante : \boxed{= B3/ \$B\$2 - 1} et la recopie vers le bas jusqu'en E14.

1. Quelle est la formule contenue dans la cellule E4 ?

2. Écrire sur la feuille annexe les nombres qui doivent figurer dans les cellules E4 et E12.

3. Quelle est l'information fournie par le résultat affiché dans la cellule E14 ?

Partie C

Le 10 janvier 2006, l'actionnaire fait des calculs pour prévoir quelle sera la valeur de son action le 10 janvier 2007, en supposant que celle-ci continuera à baisser de 5% par mois.
Calculer cette valeur en euros, au centime près.

  A B C D E
1 Date valeur Valeur en €      
2 10/01/05 125,00      
3 10/02/05 134,50     7,6%
4 10/03/05 144,00      
5 10/04/05 153,50     22,8%
6 10/05/05 163,00     30,4%
7 10/06/05 154,85     23,9%
8 10/07/05 147,11     17,7%
9 10/08/05 139,75     11,8%
10 10/09/05 132,76     6,2%
11 10/10/05 126,13     0,9%
12 10/11/05 119,82      
13 10/12/05 113,83     -8,9%
14 10/01/06 108,14     -13,5%

Annexe de l'exercice 1
11 points

exercice 2

Dans une région de l'Est de la France, la pollution atmosphérique est contrôlée quotidiennement, heure par heure, par un réseau de 21 stations de mesures. Parmi celles-ci, nous considérerons la station notée U, qui est située en zone urbaine, la station I, en zone industrialisée et la station R, en zone rurale de moyenne montagne.

Partie A

Dans cette partie, on compare les mesures obtenues aux stations U et I pour le dioxyde de soufre (S02), un des polluants mesurés. Les concentrations de ce polluant sont exprimées en millionième de gramme par mètre cube d'air (dans cet exercice, cette unité est notée \mug/m3).
Les diagrammes en boîtes dessinés ci-après concernent les mesures horaires du polluant S02 aux stations U et I, pour la journée du 16 novembre 2004. Les extrémites des diagrammes correspondent aux valeurs minimales et maximales. Par exemple, à la station U, la valeur maximale relevée a été de 8 \mug/m3.

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Liban 2006 - terminale : image 1

Concentration en millionième de gramme par mètre cube d'air


1. Pour chacune des deux stations, indiquer la médiane et calculer l'écart interquartile ainsi que l'étendue de la série de mesures.

2. Indiquer, par lecture graphique et en précisant les paramètres statistiques utilisés, sur quelle(s) station(s), ce jour-là :
    a) la dispersion des mesures a été la plus importante ?
    b) la moitié des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 5 ?
    c) 75% des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 6 ?

Partie B

Dans cette partie, on considère la station R.
Le tableau ci-dessous donne les relevés horaires, pour la même journée du 16 novembre 2004, en ce qui concerne le polluant ozone (03). Les concentrations sont exprimées en millionième de gramme par mètre cube d'air.



heure 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h 10 h 11 h 12 h
concentration 78 79 77 59 57 65 65 67 68 67 59 54
heure 13 h 14 h 15 h 16 h 17 h 18 h 19 h 20 h 21 h 22 h 23 h 24 h
concentration 64 68 72 74 72 72 76 77 76 74 77 76


1. Quelles sont les valeurs minimale et maximale de cette série ?

2. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles Q1 et Q3 de cette série.

3. Construire le diagramme en boîte en prenant un demi-centimètre pour unité graphique.

Partie C

Le graphique de la feuille annexe donne, pour le polluant 03, les résultats journaliers moyens pour le mois de novembre 2004 dans les stations U, I et R.

1. a) Quels jours du mois de novembre la concentration d'ozone était-elle d'au moins 30 \mug/m3 pour la station U ?
    b) Quels jours du même mois était-elle d'au plus 60 \mug/m3 pour la station R ?

2. Le capteur de la station I a relevé 58 \mug/m3 le 11 novembre et 45 \mug/m3 le 13 novembre.
Le 12 novembre, le capteur etait en panne. Le technicien décide de remplacer la valeur manquante par celle obtenue à l'aide d'une interpolation linéaire.
Quelle valeur a-t-il obtenue ? Justifier la réponse en précisant la démarche suivie.

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Liban 2006 - terminale : image 2

Annexe de l'exercice 2




exercice 1

Partie A

1. Période du 10 janvier 2005 au 10 mai 2005 :
1. a) On calcule l'évolution absolue de la valeur de l'action entre 2 mois consécutifs. Si la valeur trouvée est constante, l'évolution est linéaire. Pour C3, on calcule donc : =B3-B2.

1. b) Cf. cases bleues dans l'annexe complétée.

1. c) On trouve exactement la même valeur pour les évolutions mensuelles entre le 10 janvier 2005 et le 10 mai 2005 : l'évolution est donc linéaire sur cette période.

2. Période du 10 mai 2005 au 10 janvier 2006 :
2. a) Cf. cases oranges dans l'annexe complétée.

2. b) Cette valeur est constante. La valeur de l'action d'un mois à l'autre s'obtient donc en multipliant toujours par le même coefficient multiplicateur, à savoir 0,95. On dit que la croissance est exponentielle. De plus, 0,95 < 1, les valeurs de l'action sont donc de plus en plus faibles. On parle donc de décroissance exponentielle.

Partie B

1. La notation "$" permet de fixer le nom de la colonne et/ou le numéro de la ligne. La cellule E4 contient donc la formule =B4/$B$2-1

2. Cf. cases vertes dans l'annexe complétée.

3. Bn/$B$2-1=(Bn-$B$2)/$B$2=(valeur de l'action au mois en cours - valeur de l'action au mois de janvier 2005)/valeur de l'action au mois de janvier 2005.
Cette formule permet donc d'exprimer l'évolution, en pourcentage, de la valeur de l'action entre le 10 janvier 2005 et le 10 du mois considéré (évolution globale depuis le départ).

Partie C

On complète le tableau en considérant une baisse mensuelle de 5% = une multiplication de la valeur du mois précédent par 0,95 donc on met dans les cases D15 à E26 la valeur 0,95 et on applique pour la case B15 la formule : =0,95*B14, et on la recopie vers le bas jusqu'à B26 : cf. cases jaunes dans l'annexe complétée.
La valeur de l'action au 10/01/2007 sera donc de 58,43 €.
Annexe complétée :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Liban 2006 - terminale : image 3


exercice 2

1. Médiane :
pour U, Me = 5
pour I, Me = 5
Ecart interquartile = Q3-Q1 = "largeur de la boîte"
pour U, l'écart interquartile vaut donc 6 - 4 = 2
pour I, l'écart interquartile vaut donc 11 - 2 = 9
Etendue = valeur max - valeur min
pour U, étendue = 8 - 3 = 5
pour I, étendue = 13 - 0 = 13

2. a) L'intervalle interquartile [Q1 , Q3] contient la moitié des valeurs centrales de la série. Donc plus cet intervalle est grand, plus la dispersion est grande (la comparaison des étendues permet aussi de comparer la dispersion).
La dispersion est donc plus grande sur la station I.

2. b) Les séries de mesures des 2 stations présentent une médiane égale à 5, ce qui signifie que 50 % des mesures sont inférieures ou égales à 5. La réponse est donc : les stations U et I.

2. c) Q3 représente la valeur telle que 75% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q3.
pour U, Q3 = 6 ;
pour I, Q3 = 11 ;
C'est donc la station U pour laquelle 75% des valeurs ont été inférieures ou égales à 6.

Partie B

1. La valeur minimale vaut 54 et la valeur maximale vaut 79.

2. On range les concentrations dans l'ordre croissant :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Liban 2006 - terminale : image 4

Il y a 24 valeurs, donc :
la médiane correspond donc à la 12e valeur, soit Me = 72
le premier quartile correspond donc à la 6e valeur, soit Q1 = 65
le troisième quartile correspond donc à la 18e valeur, soit Q3 = 76

3.
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Liban 2006 - terminale : image 5


Partie C

1. a) Il s'agit de lire sur la courbe de la station U pour quels jours la valeur de la concentration a été supérieure à 30\mu g/m^3. On trouve : le 3 et le 11 novembre 2004.

1. b) Il s'agit de lire sur la courbe de la station R pour quels jours la valeur de la concentration a été inférieure à 60\mu g/m^3. On trouve : le 19, le 26 et le 27 novembre 2004.

2. Interpolation linéaire : on trace le segment de droite reliant les points du 11 et du 13 novembre. Le point correspondant au 12 novembre se trouvera sur ce segment. Et comme le 12 est à égale distance (temporelle) de 11 et 13, la mesure sera à égale distance des mesures corrsespondant au 11 et au 13, autrement dit le point se situera au milieu et : c_{12} = \dfrac{c_{11}+c_{13}}{2} = \dfrac{58+45}{2} = 51,5 \mu g /m^3
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