Fiche de mathématiques
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Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Polynésie - Session 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30     Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
12 points

exercice 1

On donne, au 1er janvier 2005, dans le tableau de l'annexe 1 les prix, en euros, du litre de gazole dans quinze pays d'Europe. Ce tableau fournit :
    - le prix HT (prix hors taxes),
    - le montant de la taxe intérieure qu'ajoute chaque pays au prix hors taxes,
    - le taux de TVA appliqué après ajout de la taxe intérieure,
    - le prix TTC (prix toutes taxes comprises).

Exemple : Au Royaume-Uni, le prix hors taxes du gazole est de 0,302 ? auquel s'ajoute la taxe intérieure de 0,693 ?. Puis au prix hors TVA de 0,995 ? s'applique une TVA de 17,5 %, ce qui conduit à un prix TTC de 1,169 ?.

Partie A. Travail sur tableur

Le tableau de l'annexe 1 est une feuille de calcul. Les colonnes D et F ont nécessité l'usage de formules pour être remplies.

1. Quelle formule a-t-on saisie en D2 puis recopiée jusqu'en D16 pour obtenir le prix hors TVA ?

2. Quelle formule a-t-on saisie en F2 puis recopiée jusqu'en F16 pour obtenir le prix TTC ?

3. On veut obtenir dans la cellule B17 le prix moyen hors taxes ; quelle formule peut-on saisir dans cette cellule ?

Partie B. Etude des prix hors taxes

On a étudié la série statistique constituée des prix hors taxes et on a obtenu les caractéristiques données ci-dessous :
    - moyenne : \bar{x} \approx 0,324 ;
    - écart-type : s \approx 0,019 ;
    - premier et troisième quartiles : Q1 = 0,306 et Q3 = 0,34 ;
    - médiane : m = 0,325.

1. En utilisant l'axe gradué du diagramme 1 de l'annexe 2, construire le diagramme en boîte de cette série. On fera apparaître le premier et le troisième quartiles, la médiane, le maximum et le minimum de la série.

2. Donner le nombre de pays dont le prix HT du gazole appartient à l'intervalle [\bar{x} - s ; \bar{x} + s].

Partie C. Etude des prix TTC

On s'intéresse maintenant au prix TTC du gazole de ces quinze pays.

1. Calculer la moyenne \bar{x}' de cette série. Le résultat sera arrondi au millième.

2. Lire sur le diagramme 2 de l'annexe 2, la médiane, le premier et le troisième quartiles de cette série des prix TTC du gazole. Les valeurs seront données avec la précision permise par le diagramme.

3. Q.C.M. : Répondre aux deux questions ci-dessous en choisissant la bonne réponse parmi les trois propositions. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et une absence de réponse n'ajoute, ni n'enlève aucun point. Un total de points négatif est ramené à zéro.

    a) La médiane de la série des quinze prix TTC est :
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 1
    la 8e valeur
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 2
    la demi-somme de la 7e et de la 8 valeur
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 3
    la demi-somme de la 8e et de la 9e valeur


    b) Le premier quartile de la série des quinze prix TTC est :
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 1
    la 3e valeur
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 2
    la 4e valeur
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 3
    la demi-somme de la 3e et de la 4e valeur


4. Un journaliste écrit :
« En Europe, les taxes sur le gazole harmonisent les prix au sein de l'union européenne. »
Confirmer ou infirmer ce propos en argumentant.

Partie D. Etude des prix en france

Q.C.M. : Répondre aux deux questions ci-dessous en choisissant la bonne réponse parmi les trois propositions (où les résultats ont été arrondis à 1%). Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point et une absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Un total de points négatif est ramené à zéro.

1. En France, la taxe intérieure sur le gazole représente :
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 1
    230 % du prix HT
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 2
    57 % du prix HT
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 3
    130 % du prix HT


2. En France, le pourcentage global des taxes appliquées au prix HT pour obtenir le prix TTC est :
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 1
    175 %
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 2
    150 %
  • sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 3
    64 %


Prix du gazole en Europe au 1er janvier 2005
  A B C D E F
1 Pays Prix HT Taxe
intérieure
Prix hors
TVA
TVA en % Prix TTC
2 Luxembourg 0,325 0,253 0,578 15,00 0,665
3 Grèce 0,324 0,251 0,575 18,00 0,679
4 Portugal 0,306 0,292 0,598 17,00 0,700
5 Espagne 0,330 0,297 0,627 16,00 0,727
6 Belgique 0,307 0,305 0,612 21,00 0,740
7 Autriche 0,340 0,289 0,629 20,00 0,755
8 Irlande 0,342 0,327 0,669 21,00 0,809
9 France 0,301 0,392 0,693 19,60 0,829
10 Pays-Bas 0,340 0,358 0,698 19,00 0,831
11 Danemark 0,303 0,370 0,673 25,00 0,841
12 Suède 0,330 0,347 0,677 25,00 0,846
13 Finlande 0,354 0,347 0,701 25,00 0,876
14 Allemagne 0,309 0,470 0,779 16,00 0,904
15 Italie 0,351 0,403 0,754 20,00 0,905
16 Royaume-Uni 0,302 0,693 0,995 17,50 1,169
17 Moyenne :          
Sources : Commission européenne
Annexe 1






sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 5

Diagramme 1 : Prix HT du gazole

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 6

Diagramme 2 : Prix TTC du gazole
Annexe 2
8 points

exercice 2

Des scientifiques veulent étudier l'évolution à long terme d'une population de poissons d'une petite rivière. Pour cela ils disposent des résultats de comptages effectués dans une portion de cette rivière entre 1990 et 1994.
Le tableau et le graphique ci-après donnent les effectifs trouvés par année de 1990 à 1994.

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 4


1. Un premier scientifique suggère de modéliser l'évolution du nombre de poissons par une suite arithmétique.
Pourquoi le graphique laisse-t-il penser qu'une suite arithmétique pourrait convenir ?

2. Ce premier scientifique choisit de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite arithmétique (un), de raison r = -300 et de premier terme u0 = 5150. Ainsi un représente le nombre de poissons l'année (1990 + n).
    a) Quelle interprétation peut-on donner de la raison de cette suite pour la population de poissons ?
    b) Exprimer un en fonction de n.
    c) Calculer l'effectif de la population prévue par ce modèle en 2004.

3. Un deuxième scientifique n'est pas convainvu par ce modèle et propose pour cette population une évolution exponentielle. En effet, il remarque que :
\frac{4840}{5150} \approx \frac{4570}{4840} \approx \frac{4250}{4570} \approx \frac{3960}{4250} \approx 0,935
Il choisit alors de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite géométrique (vn), de raison q = 0,935 et de premier terme v0 = 5150. Ainsi vn représente le nombre de poissons l'année (1990 + n).
    a) Quel est le pourcentage de diminution annuelle du nombre de poissons selon ce modèle ?
    b) Exprimer vn en fonction de n.
    c) Calculer v14. Le résultat sera arrondi à l'unité.

4. En 2004, un comptage a été effectué et on a relevé 1 980 poissons dans la portion de rivière étudiée.
    a) Lequel des deux modèles proposés ci-dessus est-il le plus pertinent ? Justifier la réponse.
    b) On choisit d'utiliser le modèle proposé par le second scientifique. Calculer v30 et v40.
(les résultats seront arrondis à l'unité).
Déterminer l'année à partir de laquelle la population des poissons passera en dessous des 500 individus.



exercice 1

Partie A. Travail sur tableur

1. Pour obtenir le prix hors TVA, il faut additionner le prix HT et la taxe intérieure. Pour D2, il s'agit donc d'appliquer la formule : =B2+C2

2. Pour obtenir le prix TTC, on prend le prix hors TVA, auquel on ajoute les taxes, à savoir le taux de la taxe(colonne E)*le prix hors taxe.
Autrement dit, pour F2, on applique la formule : =D2+E2/100*D2
On peut aussi appliquer la formule : =D2*(1+E2/100)

3. Il faut calculer la moyenne des valeurs inscrites dans les cases B2 à B16, donc : =MOYENNE(B2:B16)

Partie B. Etude des prix hors taxes

1. Diagramme en boîtes:
sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 7


2. \bar x - s = 0,324 - 0,019 = 0,305 et \bar x + s = 0,324 + 0,019 = 0,343.
Dans le tableau, on compte que 10 valeurs sont supérieures à 0,305 et inférieures à 0,343. On a donc 10 pays dont le prix HT appartient à l'intervalle [\bar x-s,\bar x+s].

Partie C. Etude des prix TTC

1. On calcule la moyenne = somme de tous les termes / nombre de termes. On trouve \bar x' = 0,818

2. On lit sur le diagramme :
Me = 0,825
Q1 = 0,725
Q3 = 0,875

3. a) 15 = 2 × 7 + 1 est impair, donc la médiane est le 7 + 1 = 8e terme.

3. b) La sous-série inférieure est composée des 7 premiers termes, elle a un nombre impair (= 2 × 3 + 1) de termes, donc le premier quartile (= médiane de la sous-série inférieure) est le 3e terme.

4. Après application des taxes (intérieure + TVA), les prix du gazole s'échelonnent du simple au double. On ne peut donc pas vraiment dire qu'ils soient harmonisés.

Partie D. Etude des prix en france

1. En France, la taxe intérieure est de 0,392 ? pour un prix HT de 0,301 ?, cela représente donc :
(taxe intérieure)/(prix HT) × 100 = \frac{0,392}{0,301} \times 100 = 130,2 soit environ 130% du prix HT.

2. Le taux d'évolution entre le prix HT est le prix TTC est donné par :
(prix TTC - prix HT)/(prix HT) × 100 = \frac{0,829 - 0,301}{0,301}\times 100 \approx 175, donc 175% du prix HT.

exercice 2

1. Sur le graphique, les points semblent alignés, la progression a donc l'air linéaire. Or une suite arithmétique modélise une progression linéaire (la différence entre deux termes successifs étant constante, égale à la raison). On peut donc penser qu'une suite arithmétique pourrait convenir.

2. a) Si la raison vaut -300, cela signifie que le nombre de poissons diminue de 300 chaque année : le "solde démographique" de la population de poissons est négatif. Il y a chaque année 300 morts de plus que de naissances.

2. b) Il s'agit d'une suite arithmétique de premier terme u_0 = 5150 et de raison r = -300. Les formules du cours nous permettent alors de dire que, pour tout entier n, u_{n+1} = u_n-300 et alors u_n = u_0-300n = 5150-300n.

2. c) 2004 = 1990 + 14 correspond à l'indice 14, la population de poissons en 2004 serait donc de :
u_{14} = 5150 - 300 \times 14 = 5150 - 4200 = 950 poissons.

3. a) Si on adopte cette modélisation exponentielle de raison q = 0,935, cela signifie que le nombre de poissons de l'année n + 1 est lié au nombre de poissons de l'année n par la relation : u_{n+1} = 0,935u_n, ce qui peut aussi s'écrire :
v_{n+1} = 0,935v_n = (1-0,065)v_n = v_n - 0,065v_n = v_n - \frac{6,5}{100}v_n
Le pourcentage de diminution annuelle du nombre de poissons est donc de 6,5 %.

3. b) Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme v_0 = 5150 et de raison q = 0,935. Les formules du cours nous permettent alors de dire que, pour tout entier n, v_{n+1} = 0,935v_n et alors v_n = 0,935^n v_0 = 0,935^n\times5150.

3. c) v_{14} = 0,935^{14}\times 5150 = 2010 poissons

4. a) Le modèle arithmétique nous indique 950 poissons alors qu'il y en a 1980, soit un écart absolu de 1030 poissons et un écart relatif de \frac{1030}{1980} = 52, soit 52%.
Le modèle exponentiel nous indique 2010 poissoons alors qu'il y en a en réalité 1980, soit un écart absolu de 30 poissons et un écart relatif de \frac{30}{1980} = 1,5, soit 1,5%.
Le modèle exponentiel est donc le plus pertinent.

4. b)
v_{30} = 0,935^{30} \times 5150 = 686 poissons.
v_{40}=0,935^{40} \times 5150 = 350 poissons.
On cherche n tel que v_n < 500 :
La valeur de n se situe donc entre 30 et 40. Avec une calculatrice, on trouve :
u_{34} = 0,935^{34} \times 5150 \approx 524 \\ u_{35} = 0,935^{35} \times 5150 \approx 490
Le nombre de poissons est donc inférieur à 500 à partir de la 35e année, c'est-à-dire à partir de 2025.
Voici une autre méthode utilisant les logarithmes (hors-programme) :

v_n < 500 \: \Longleftrightarrow \: 0,935^n \times 5150 < 500 \\ \Longleftrightarrow \: 0,935^n < \frac{500}{5150} = 0,097 \\ \Longleftrightarrow \: \ln(0,935^n) < \ln(0,097)\\ \Longleftrightarrow \: n \ln(0,935) < \ln(0,097) \\ \Longleftrightarrow \: -0,0672 n < -2,332 \\ \Longleftrightarrow \: n > \frac{-2,332}{-0,0672} = 34,7
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