Fiche de mathématiques

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Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Polynésie - Session 2006

Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les DEUX exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

12 points

exercice 1

On donne, au 1^er janvier 2005, dans le tableau de l'annexe 1 les prix, en euros, du litre de gazole dans quinze pays d'Europe. Ce tableau fournit :
    - le prix HT (prix hors taxes),
    - le montant de la taxe intérieure qu'ajoute chaque pays au prix hors taxes,
    - le taux de TVA appliqué après ajout de la taxe intérieure,
    - le prix TTC (prix toutes taxes comprises).

Exemple : Au Royaume-Uni, le prix hors taxes du gazole est de 0,302 ? auquel s'ajoute la taxe intérieure de 0,693 ?. Puis au prix hors TVA de 0,995 ? s'applique une TVA de 17,5 %, ce qui conduit à un prix TTC de 1,169 ?.

Partie A. Travail sur tableur

Le tableau de l'annexe 1 est une feuille de calcul. Les colonnes D et F ont nécessité l'usage de formules pour être remplies.

1. Quelle formule a-t-on saisie en D2 puis recopiée jusqu'en D16 pour obtenir le prix hors TVA ?

2. Quelle formule a-t-on saisie en F2 puis recopiée jusqu'en F16 pour obtenir le prix TTC ?

3. On veut obtenir dans la cellule B17 le prix moyen hors taxes ; quelle formule peut-on saisir dans cette cellule ?

Partie B. Etude des prix hors taxes

On a étudié la série statistique constituée des prix hors taxes et on a obtenu les caractéristiques données ci-dessous :
    - moyenne : $\bar{x} \approx$ 0,324 ;
    - écart-type : s $\approx$ 0,019 ;
    - premier et troisième quartiles : Q₁ = 0,306 et Q₃ = 0,34 ;
    - médiane : m = 0,325.

1. En utilisant l'axe gradué du diagramme 1 de l'annexe 2, construire le diagramme en boîte de cette série. On fera apparaître le premier et le troisième quartiles, la médiane, le maximum et le minimum de la série.

2. Donner le nombre de pays dont le prix HT du gazole appartient à l'intervalle [ $\bar{x}$ - s ; $\bar{x}$ + s].

Partie C. Etude des prix TTC

On s'intéresse maintenant au prix TTC du gazole de ces quinze pays.

1. Calculer la moyenne $\bar{x}'$ de cette série. Le résultat sera arrondi au millième.

2. Lire sur le diagramme 2 de l'annexe 2, la médiane, le premier et le troisième quartiles de cette série des prix TTC du gazole. Les valeurs seront données avec la précision permise par le diagramme.

3. Q.C.M. : Répondre aux deux questions ci-dessous en choisissant la bonne réponse parmi les trois propositions. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et une absence de réponse n'ajoute, ni n'enlève aucun point. Un total de points négatif est ramené à zéro.

a) La médiane de la série des quinze prix TTC est :

la 8^e valeur
la demi-somme de la 7^e et de la 8 valeur
la demi-somme de la 8^e et de la 9^e valeur

b) Le premier quartile de la série des quinze prix TTC est :

la 3^e valeur
la 4^e valeur
la demi-somme de la 3^e et de la 4^e valeur

4. Un journaliste écrit :
« En Europe, les taxes sur le gazole harmonisent les prix au sein de l'union européenne. »
Confirmer ou infirmer ce propos en argumentant.

Partie D. Etude des prix en france

Q.C.M. : Répondre aux deux questions ci-dessous en choisissant la bonne réponse parmi les trois propositions (où les résultats ont été arrondis à 1%). Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point et une absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Un total de points négatif est ramené à zéro.

1. En France, la taxe intérieure sur le gazole représente :

230 % du prix HT
57 % du prix HT
130 % du prix HT

2. En France, le pourcentage global des taxes appliquées au prix HT pour obtenir le prix TTC est :

175 %
150 %
64 %

Prix du gazole en Europe au 1^er janvier 2005

	A	B	C	D	E	F
1	Pays	Prix HT	Taxe intérieure	Prix hors TVA	TVA en %	Prix TTC
2	Luxembourg	0,325	0,253	0,578	15,00	0,665
3	Grèce	0,324	0,251	0,575	18,00	0,679
4	Portugal	0,306	0,292	0,598	17,00	0,700
5	Espagne	0,330	0,297	0,627	16,00	0,727
6	Belgique	0,307	0,305	0,612	21,00	0,740
7	Autriche	0,340	0,289	0,629	20,00	0,755
8	Irlande	0,342	0,327	0,669	21,00	0,809
9	France	0,301	0,392	0,693	19,60	0,829
10	Pays-Bas	0,340	0,358	0,698	19,00	0,831
11	Danemark	0,303	0,370	0,673	25,00	0,841
12	Suède	0,330	0,347	0,677	25,00	0,846
13	Finlande	0,354	0,347	0,701	25,00	0,876
14	Allemagne	0,309	0,470	0,779	16,00	0,904
15	Italie	0,351	0,403	0,754	20,00	0,905
16	Royaume-Uni	0,302	0,693	0,995	17,50	1,169
17	Moyenne :

Sources : Commission européenne
Annexe 1

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 5

Diagramme 1 : Prix HT du gazole

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 6

Diagramme 2 : Prix TTC du gazole
Annexe 2

8 points

exercice 2

Des scientifiques veulent étudier l'évolution à long terme d'une population de poissons d'une petite rivière. Pour cela ils disposent des résultats de comptages effectués dans une portion de cette rivière entre 1990 et 1994.
Le tableau et le graphique ci-après donnent les effectifs trouvés par année de 1990 à 1994.

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 4

1. Un premier scientifique suggère de modéliser l'évolution du nombre de poissons par une suite arithmétique.
Pourquoi le graphique laisse-t-il penser qu'une suite arithmétique pourrait convenir ?

2. Ce premier scientifique choisit de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite arithmétique (u_n), de raison r = -300 et de premier terme u₀ = 5150. Ainsi u_n représente le nombre de poissons l'année (1990 + n).
    a) Quelle interprétation peut-on donner de la raison de cette suite pour la population de poissons ?
    b) Exprimer u_n en fonction de n.
    c) Calculer l'effectif de la population prévue par ce modèle en 2004.

3. Un deuxième scientifique n'est pas convainvu par ce modèle et propose pour cette population une évolution exponentielle. En effet, il remarque que :
$\frac{4840}{5150} \approx \frac{4570}{4840} \approx \frac{4250}{4570} \approx \frac{3960}{4250} \approx 0,935$
Il choisit alors de modéliser l'évolution du nombre de poissons par la suite géométrique (v_n), de raison q = 0,935 et de premier terme v₀ = 5150. Ainsi v_n représente le nombre de poissons l'année (1990 + n).
    a) Quel est le pourcentage de diminution annuelle du nombre de poissons selon ce modèle ?
    b) Exprimer v_n en fonction de n.
    c) Calculer v₁₄. Le résultat sera arrondi à l'unité.

4. En 2004, un comptage a été effectué et on a relevé 1 980 poissons dans la portion de rivière étudiée.
    a) Lequel des deux modèles proposés ci-dessus est-il le plus pertinent ? Justifier la réponse.
    b) On choisit d'utiliser le modèle proposé par le second scientifique. Calculer v₃₀ et v₄₀.
(les résultats seront arrondis à l'unité).
Déterminer l'année à partir de laquelle la population des poissons passera en dessous des 500 individus.

Voir la correction

exercice 1

Partie A. Travail sur tableur

1. Pour obtenir le prix hors TVA, il faut additionner le prix HT et la taxe intérieure. Pour D2, il s'agit donc d'appliquer la formule : =B2+C2

2. Pour obtenir le prix TTC, on prend le prix hors TVA, auquel on ajoute les taxes, à savoir le taux de la taxe(colonne E)*le prix hors taxe.
Autrement dit, pour F2, on applique la formule : =D2+E2/100*D2
On peut aussi appliquer la formule : =D2*(1+E2/100)

3. Il faut calculer la moyenne des valeurs inscrites dans les cases B2 à B16, donc : =MOYENNE(B2:B16)

Partie B. Etude des prix hors taxes

1. Diagramme en boîtes:

sujet de l'épreuve anticipée du bac L Polynésie Française 2006 : image 7

2. $\bar x - s = 0,324 - 0,019 = 0,305$ et $\bar x + s = 0,324 + 0,019 = 0,343$ .
Dans le tableau, on compte que 10 valeurs sont supérieures à 0,305 et inférieures à 0,343. On a donc 10 pays dont le prix HT appartient à l'intervalle $[\bar x-s,\bar x+s]$ .

Partie C. Etude des prix TTC

1. On calcule la moyenne = somme de tous les termes / nombre de termes. On trouve $\bar x' = 0,818$

2. On lit sur le diagramme :
Me = 0,825
Q1 = 0,725
Q3 = 0,875

3. a) 15 = 2 × 7 + 1 est impair, donc la médiane est le 7 + 1 = 8e terme.

3. b) La sous-série inférieure est composée des 7 premiers termes, elle a un nombre impair (= 2 × 3 + 1) de termes, donc le premier quartile (= médiane de la sous-série inférieure) est le 3e terme.

4. Après application des taxes (intérieure + TVA), les prix du gazole s'échelonnent du simple au double. On ne peut donc pas vraiment dire qu'ils soient harmonisés.

Partie D. Etude des prix en france

1. En France, la taxe intérieure est de 0,392 ? pour un prix HT de 0,301 ?, cela représente donc :
(taxe intérieure)/(prix HT) × 100 = $\frac{0,392}{0,301} \times 100 = 130,2$ soit environ 130% du prix HT.

2. Le taux d'évolution entre le prix HT est le prix TTC est donné par :
(prix TTC - prix HT)/(prix HT) × 100 = $\frac{0,829 - 0,301}{0,301}\times 100 \approx 175$ , donc 175% du prix HT.

exercice 2

1. Sur le graphique, les points semblent alignés, la progression a donc l'air linéaire. Or une suite arithmétique modélise une progression linéaire (la différence entre deux termes successifs étant constante, égale à la raison). On peut donc penser qu'une suite arithmétique pourrait convenir.

2. a) Si la raison vaut -300, cela signifie que le nombre de poissons diminue de 300 chaque année : le "solde démographique" de la population de poissons est négatif. Il y a chaque année 300 morts de plus que de naissances.

2. b) Il s'agit d'une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5150$ et de raison $r = -300$ . Les formules du cours nous permettent alors de dire que, pour tout entier n, $u_{n+1} = u_n-300$ et alors $u_n = u_0-300n = 5150-300n$ .

2. c) 2004 = 1990 + 14 correspond à l'indice 14, la population de poissons en 2004 serait donc de :
$u_{14} = 5150 - 300 \times 14 = 5150 - 4200 = 950$ poissons.

3. a) Si on adopte cette modélisation exponentielle de raison $q = 0,935$ , cela signifie que le nombre de poissons de l'année n + 1 est lié au nombre de poissons de l'année n par la relation : $u_{n+1} = 0,935u_n$ , ce qui peut aussi s'écrire :
$v_{n+1} = 0,935v_n = (1-0,065)v_n = v_n - 0,065v_n = v_n - \frac{6,5}{100}v_n$
Le pourcentage de diminution annuelle du nombre de poissons est donc de 6,5 %.

3. b) Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5150$ et de raison $q = 0,935$ . Les formules du cours nous permettent alors de dire que, pour tout entier n, $v_{n+1} = 0,935v_n$ et alors $v_n = 0,935^n v_0 = 0,935^n\times5150$ .

3. c) $v_{14} = 0,935^{14}\times 5150 = 2010$ poissons

4. a) Le modèle arithmétique nous indique 950 poissons alors qu'il y en a 1980, soit un écart absolu de 1030 poissons et un écart relatif de $\frac{1030}{1980} = 52$ , soit 52%.
Le modèle exponentiel nous indique 2010 poissoons alors qu'il y en a en réalité 1980, soit un écart absolu de 30 poissons et un écart relatif de $\frac{30}{1980} = 1,5$ , soit 1,5%.
Le modèle exponentiel est donc le plus pertinent.

4. b)
$v_{30} = 0,935^{30} \times 5150 = 686$ poissons.
$v_{40}=0,935^{40} \times 5150 = 350$ poissons.
On cherche n tel que $v_n < 500$ :
La valeur de n se situe donc entre 30 et 40. Avec une calculatrice, on trouve :
$u_{34} = 0,935^{34} \times 5150 \approx 524 \\ u_{35} = 0,935^{35} \times 5150 \approx 490$
Le nombre de poissons est donc inférieur à 500 à partir de la 35e année, c'est-à-dire à partir de 2025.
Voici une autre méthode utilisant les logarithmes (hors-programme) :

$v_n < 500 \: \Longleftrightarrow \: 0,935^n \times 5150 < 500 \\ \Longleftrightarrow \: 0,935^n < \frac{500}{5150} = 0,097 \\ \Longleftrightarrow \: \ln(0,935^n) < \ln(0,097)\\ \Longleftrightarrow \: n \ln(0,935) < \ln(0,097) \\ \Longleftrightarrow \: -0,0672 n < -2,332 \\ \Longleftrightarrow \: n > \frac{-2,332}{-0,0672} = 34,7$

Publié par Cel/Aurélien le 10-12-2015

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