Fiche de mathématiques
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Epreuve anticipée
Mathématiques - Informatique Série L
Session 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30     Coefficient : 2
Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
10 points

exercice 1

Le 29 mai 2005, lors du référendum français sur la constitution européenne, un institut a analysé les votes à la sortie des urnes dans une petite ville.
Dans cette ville 3 062 personnes sont inscrites sur les listes électorales.
Parmi les personnes inscrites, on distingue les votants et les abstentionnistes.
Dans les suffrages des votants, on considère les votes " OUI ", les votes " NON " et les votes nuls ou blancs.

Dans l'ensemble de l'exercice, les pourcentages obtenus seront arrondis à 0,1 %.

Partie A

1. Sur les 3 062 personnes inscrites, 1 048 se révèlent être des abstentionnistes.
Le taux de participation au référendum correspond au pourcentage des votants parmi l'ensemble des inscrits. Déterminer ce taux de participation.

2. Lors du vote, 2 000 personnes ont déclaré avoir voté " OUI " ou " NON " au référendum. On considérera que leurs déclarations sont sincères.
Leur répartition en pourcentage est donnée dans le tableau suivant :

Répartition en pourcentage selon les
classes d'âges
Age OUI NON
18-24 ans 7,1 % 8,9 %
25-34 ans 10,4 % 12,7 %
35-44 ans 11,0 % 16,8 %
45-59 ans 5,3 % 8,7 %
60-69 ans 6,3 % 5,0 %
70 ans et plus 4,4 % 3,4 %


Parmi ces 2 000 personnes :
    a) Relever le pourcentage de personnes qui ont moins de 25 ans et qui ont voté " OUI ".
    b) Déterminer le pourcentage de personnes ayant entre 18 et 24 ans.
    c) Déterminer le pourcentage de personnes ayant voté " OUI ".
    d) Déterminer le nombre de personnes ayant voté " OUI ".

3. Compléter les effectifs sur l'arbre donné ci-dessous.
sujet de l'épreuve anticipée du bac L 2006 : image 1


4. Parmi les inscrits, déterminer le pourcentage de personnes ayant voté " NON ".

Partie B

Des informations du bureau de vote obtenues le 29 mai 2005, l'institut a retenu de plus les résultats présentés dans le tableau ci-dessous.

TABLEAU (fréquences en lignes)
Répartition des inscrits, en pourcentage, selon les classes d'âges
Age Votants Abstentionnistes Total
18-24 ans     100%
25-34 ans 55,0% 45,0% 100%
35-44 ans 68,0% 32,0% 100%
45-59 ans 77,3% 22,7% 100%
60-69 ans 89,8% 10,2% 100%
70 ans et plus 70,0% 30,0% 100%


Les résultats son donnés en pourcentage des personnes inscrites dans chaque classe d'âge.

1. Parmi les 550 personnes inscrites et âgées de 18 à 24 ans, il y a 229 abstentionnistes.
Quel est le taux d'abstention dans cette tranche d'âge ?

2. Dans le tableau ci-dessus, que signifie le nombre 77,3% situé à l'intersection de la ligne des 45-59 ans et de la colonne des votants ?

3. Parmi l'ensemble des personnées âgées de 25 à 34 ans, 378 sont abstentionnistes.
Combien y a-t-il de personnes de cette tranche d'âge inscrites dans ce bureau de vote ? 10 points

exercice 2

Une enquête est réalisée dans un magasin, afin d'étudier l'évolution du nombre mensuel de clients.
Au cours du premier mois, l'enquête montre que 8 000 clients sont venus faire leurs achats dans ce magasin.
On constate que, chaque mois, par rapport au mois précédent, 70% des clients restent fidèles à ce magasin et que 3 000 autres clients apparaissent.
Pour un entier naturel n non nul, on note un le nombre de clients venus au cours du n-ième mois de l'enquête.
On a ainsi u1 = 8 000.
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de la suite (un).
L'annexe reproduit la feuille de calcul utilisée.

Partie A

1. Calculer le nombre u2 de clients venus dans ce magasin au cours du deuxième mois.

2. Quelle est la formule à saisir dans la cellule B3, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite (un) ?

3. Quelle formule apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie ?

4. Ecrire, dans le tableau de l'annexe, les valeurs numériques obtenues dans les cellules B3 et B4.

5. a) La suite (un) est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
    b) La suite (un) est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.

Tableau avec valeurs numériques
  A B C D
1 n un vn  
2 1 8000    
3 2      
4 3      
5 4      
6 5      
7 6      
8 7      
9 8      
10 9      

Annexe


Partie B

Le gérant du magasin suppose que l'évolution du nombre mensuel de clients se poursuit suivant le modèle étudié dans la partie A.
Il se demande s'il peut prévoir d'atteindre 10 000 clients par mois.
Pour cela, dans la colonne C de la feuille de calcul précédente, il calcule mensuellement la différence entre cette prévision et le nombre de clients ayant fréquenté le magasin.
Pour tout entier naturel n non nul, il note vn cette différence au n-ième mois.
On a donc pour tout entier naturel n non nul : vn = 10 000 - un.

1. a) Vérifier que v1 = 2000.
    b) Quelle est la formule à saisir dans la cellule C2, à recopier vers le bas, permettant de calculer les termes de la suite (vn) ?
    c) Vérifier que v2 = 1 400, v3 = 980 et v4 = 686.

2. Dans la cellule D3, on a saisi la formule \boxed{=\text{C3/C2}} et on l'a recopiée vers le bas.
    a) Compléter les valeurs numériques obtenues dans les cellules D3 et D4 du tableau de l'annexe.
    b) Les trois premiers termes de la suite (vn) sont-ils trois termes consécutifs d'une suite géométrique ? Justifier la réponse.

3. On admet désormais que (vn) est une suite décroissante et géométrique de raison 0,7.
    a) Donner l'expression de vn en fonction de n.
    b) Le gérant estime que son objectif sera atteint lorsque vn sera inférieur à 50. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de combien de mois le noombre de clients satisfera cette condition.



exercice 1

Partie A

1. Déterminons le taux de particiaption :
Sur les 3 062 personnes inscrites, 1 048 se révèlent être des abstentionnistes. Il y a donc 3 062 - 1 048 = 2 014 votants.
Le taux de participation est donc égal à \frac{2014 \times 100}{3062} \approx 65,8\%

2. a) 7,1 % des personnes ont moins de 25 ans et ont voté " OUI ".
   b) 7,1 + 8,9 = 16 % des personnes ont entre 18 et 24 ans.
   c) 7,1 + 10,4 + 11,0 + 5,3 + 6,3 + 4,4 = 44,5 % des personnes ont voté " OUI ".
   d) \frac{44,5 \times 2000}{100} = 890 personnes ont voté " OUI ".

3. Complétons les effectifs sur l'arbre :
sujet de l'épreuve anticipée du bac L 2006 : image 2


4. 3 062 personnes sont inscrites et 1 110 ont voté " NON ". Le pourcentage de personnes ayant voté NON est \frac{1110 \times 100}{3062}, soit environ 36,3 %.

Partie B

1. Il y a 229 abstentionnistes sur 550 personnes inscrites dans la tranche d'âge 18-24 ans. Le taux d'abstention de la tranche d'âge 18-24 ans est de \frac{229 \times 100}{550} \%, soit environ 41,6 %.

2. Ce nombre signifie que 77,3% des personnes inscrites dans la tranche d'âge 45-59 ans ont voté.

3. 45 % des personnes inscrites dans la tranche d'âge 25-34 ans sont abstentionnistes. Or, nous savons qu'il y a 378 abstentionnistes dans cette même tranche d'âge. Les inscrits de cette tranche d'âge sont donc au nombre de \frac{378 \times 100}{45}, soit 840.

exercice 2

Partie A

1. Calculons le nombre u2 de clients venus dans ce magasin au cours du deuxième mois :
On sait que par rapport au premier mois, 70 % des clients restent fidèles à ce magasin (soit \frac{70 \times u_1}{100} = \frac{70 \times 8000}{100} = 5600 personnes) et que 3 000 autres clients appraissent, donc :
u2 = \frac{70 \times 8000}{100} + 3 000 = 5 600 + 3 000 = 8 600
D'où : 8 600 clients sont venus dans ce magasin au cours du deuxième mois.

2. Déterminons la formule à saisir dans la cellule B3 permettant de calculer les termes de la suite (un) :
Exprimons un+1 en fonction de un :
On sait que, chaque mois, par rapport au mois précédent, 70% des clients restent fidèles au magasin (soit \frac{70}{100} × un) et que 3 000 autres clients apparaissent.
Donc : un+1 = \frac{70}{100} un + 3 000 = 0,7un + 3 000.
D'où : la formule à saisir dans la cellule B3 est : \boxed{= 0,7 \times \text{B2} + 3 000}

3. La formule qui apparaît dans la cellule B4 lors de la recopie est \boxed{= 0,7 \times \text{B}3 + 3000}

4. Ecrivons, dans le tableau, les valeurs numériques obtenues dans les cellules B3 et B4 :
en rouge dans le tableau

  A B C D
1 n un vn  
2 1 8000 2000  
3 2 8 600 1 400 0,7
4 3 9 020 980 0,7
5 4 9 314 686  
6 5      
7 6      
8 7      
9 8      
10 9      


5. a) Déterminons si la suite (un) est géométrique :
On a : \frac{\text{u}_2}{\text{u}_1} = \frac{8600}{8000} = 1,075 \text{ et } \frac{\text{u}_3}{\text{u}_2} = \frac{9020}{8600} \approx 1,049
Donc \frac{\text{u}_2}{\text{u}_1} \neq \frac{\text{u}_3}{\text{u}_2}
D'où : la suite (un) n'est pas géométrique.

5. b) Déterminons si la suite (un) est arithmétique :
u2 - u1 = 8 600 - 8 000 = 600 et u3 - u2 = 9 020 - 8 600 = 420.
Donc : u2 - u1 \neq u3 - u2.
D'où : la suite (un) n'est pas arithmétique.

Partie B

1. a) Vérifions que v1 = 2000 :
On a, pour tout entier naturel n non nul, vn = 10 000 - un
Donc : v1 = 10 000 - u1
Or u1 = 8 000, donc v1 = 2 000.

1. b) Déterminons la formule à saisir dans la cellule C2 permettant de calculer les termes de la suite (vn) :
La formule à recopier est \boxed{= 10000 - \text{B}2}

1. c) Vérifions que v2 = 1 400, v3 = 980 et v4 = 686 :
On a pour tout entier naturel n non nul : vn = 10 000 - un, donc :
v2 = 10 000 - u2 = 10 000 - 8 600 = 1 400
v3 = 10 000 - u3 = 10 000 - 9 020 = 980
v4 = 10 000 - u4. Or, u4 = 0,7 u3 + 3 000 = 0,7 × 9 020 + 3 000 = 9 314, donc v4 = 10 000 - 9 314 = 686.

2. a) Complétons les valeurs numériques obtenues dans les cellules D3 et D4 du tableau :
cf tableau (en vert)
Dans la cellule D3, on a saisi la formule \boxed{= \text{C}3/\text{C}2}, et C3/C2 = \frac{1400}{2000} = 0,7.
Dans la cellule D4, la formule \boxed{= \text{C}4/\text{C}3} apparaît, et C4/C3 = \frac{980}{1400} = 0,7.

2. b) Déterminons si les trois premiers termes de la suite (vn) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique :
On constate que \frac{\text{v}_2}{\text{v}_1} = \frac{\text{v}_3}{\text{v}_2} = 0,7
D'où : les trois premiers termes de la suite (vn) sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

3. a) Donnons l'expression de vn en fonction de n :
On sait que (vn) est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme v1 = 2 000.
Donc, pour tout entier naturel n non nul, vn = 2 000 × 0,7n-1

3. b) Déterminons à partir de combien de mois le nombre de clients satisfera la condition :
On cherche pour quelle valeur de n, vn \leq 50.
Ce qui équivaut à 2 000 × 0,7n-1 \leq 50,
soit 0,7n-1 \leq \frac{50}{2000}
c'est-à-dire 0,7n-1 \leq 0,025
A l'aide de la calculatrice, on trouve : 0,710 \approx 0,028 et 0,711 \approx 0,020
Donc, à partir de n - 1 = 11 (soit n = 12), 0,7n-1 \leq 0,025
D'où : à partir de 12 mois, soit un an, l'objectif du gérant sera atteint.
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