Fiche de mathématiques
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Epreuve de spécialité - Série L
Polynésie Française - Session 2006

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L'usage d'une calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 3     Durée de l'épreuve : 3 heures
6 points

exercice 1

Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
On note pi la probabilité d'obtenir le nombre i pour i \in {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

1. Exprimer pi en fonction de i puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est \dfrac{3}{5}.

2. On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10 %. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de 11 euros. La mise minimale est de 20 euros.

Un joueur décide de faire trois parties successives :
il mise cent euros pour la première partie ;
pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.

   a) Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies à un euro près, 133 euros, 110 euros, 109 euros, 108 euros, 88 euros, 87 euros, 86 euros et 67 euros.
   b) Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à \dfrac{18}{125}.
   c) Calculer la probabilité de chacun des quatre événements qui conduisent à une perte.
   d) Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
Indication : pour la question 2, on pourra s'aider d'un arbre.


5 points

exercice 2

PARTIE A

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = e^x -2x.

1. Calculer g'(x)g' désigne la dérivée de g puis dresser le tableau de variations de g.

2. En déduire que pour tout réel x de \mathbb{R}, g(x) > 0.

PARTIE B

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = e^x -x^2.

1. Déterminer la limite de f en -\infty puis la limite de f en +\infty.
Pour la limite en +\infty on pourra remarquer que pour x non nul f(x) peut s'écrire : x^2\left(\dfrac{e^x}{x^2} - 1\right).

2. Calculer f'(x)f' désigne la fonction dérivée de la fonction f, puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de f.

3. On admet que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans \mathbb{R}.
   a) Calculer f(-1) et f(0).
   b) Montrer que la solution de l'équation f(x) = 0 est unique et qu'elle appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
   c) En utilisant une calculatrice pour calculer f(x) pour différentes valeurs de x, donner une valeur approchée à 10-3 près de cette solution.
Justifier la valeur retenue.


5 points

exercice 3

La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide.

1. Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ; L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = \dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}}.

2. Calculer :
   a) La longueur JL en fonction de r.
   b) La longueur IJ en fonction de r et de h.
   c) En déduire la valeur de t en fonction de r et h.
   d) L'aire du triangle OUI en fonction de r et h.

3. Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :
    \dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2 + r^2}}{r} (1)

4. a) Calculer t² - 1.
   b) En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : t² - t - 1 = 0 (2).

5. a) Montrer que : \left(t - \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{5}{4} = t^2 - t - 1.
   b) En déduire les solutions de l'équation (2).
   c) Quel nom porte la seule solution possible ?

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 1

Annexe de l'exercice 3



4 points

exercice 4

Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied.
Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours.
On notera dn la distance parcourue durant le n-ième jour.

1. Calculer les distances d1, d2, d3 parcourues durant les trois premiers jours.

2. Expliquer pourquoi dn+1 = 0,99dn.
En déduire la nature de la suite (dn) et l'expression de dn en fonction de n.

3. a) Calculer, en fonction de n, le nombre total Ln de kilomètres parcourus au bout de n jours.
(Ln = d1 + d2 + ··· + dn).
   b) En déduire la limite de Ln lorsque n tend vers +\infty.
Le globe-trotter peut-il gagner ?

4. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours N qui lui seraient nécessaires pour parcourir 4 999 km.


On rappelle que :
La somme S des n premiers termes d’une suite arithmétique (un) de raison r est :
S = u1 + u2 + ··· + un = n \hspace{1pt}  \dfrac{u_1 + u_n}{2}

La somme S' des n premiers termes d’une suite géométrique (vn) de raison q (q \neq 1) est :
S' = v1 + v2 + ··· + vn = v_1 \hspace{1pt}  \dfrac{1 - q^n}{1 - q}




exercice 1

1. La probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
D'où l'existence d'un réel t tel que pi = ti pour tout i \in \lbrace 1, 2, 3, 4\rbrace
On a donc p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 \: \Longleftrightarrow \: t + 2t + 3t + 4t = 1
Donc 10t = 1 \: \Longleftrightarrow \: t = \dfrac{1}{10}
On en déduit alors les valeurs des pi :
p_1 = \dfrac{1}{10} \hspace{25pt} p_2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\\ p_3 = \dfrac{3}{10} \hspace{25pt} p_4 = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}
On en déduit alors : p(obtenir un nombre pair) = p2 + p4 = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}

2. a) On dresse l'arbre probabilisé de cette expérience :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 2

Détails :
100 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 133 €
100 × 1,1 × 1,1 - 11 = 110 €
(100 × 1,1 - 11) × 1,1 = 109 €
(100 × 1,1 - 11) - 11 = 88 €
(100 - 11) × 1,1 × 1,1 = 108 €
(100 - 11) × 1,1 - 11 = 87 €
(100 - 11 - 11) × 1,1 = 86 €
(100 - 11 - 11) - 11 = 67 €

2. b) Le joueur perd si son gain est inférieur à sa mise, donc :
p(gagner 110 euros) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{125}

2. c) p(gagner 67 euros) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{125}
p(gagner 86 euros) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{125}
p(gagner 87 euros) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{125}
p(gagner 88 euros) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{125}

2. d) La probabilité de gagner moins de 100 euros est : \dfrac{8}{125} + 3 \times \dfrac{12}{125} = \dfrac{44}{125}
La probabilité de gagner plus de 100 euros est : 1 - \dfrac{44}{125} = \dfrac{81}{125} > \dfrac{44}{125}
On en conclut que la probabilité pour ce joueur de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.




exercice 2

PARTIE A

1. La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}.
g'(x) = e^x - 2
g'(x) > 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x - 2 > 0 \\  \Longleftrightarrow \: e^x > 2  \: \Longleftrightarrow \: x > \ln 2
Donc la fonction g est croissante sur [\ln 2 ; +\infty[ et décroissante sur ]-\infty ; \ln 2[.
De plus, g(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2 \approx 0,61
D'où le tableau de variations :
\begin{array}{|c|ccccc|} \hline  x&-\infty &&\ln 2&&+\infty \\ \hline  g'(x)&&-&0&+& \\  \hline  \hspace{1pt} & &  && & \\ g(x)& &\searrow &&\nearrow & \\ \hspace{1pt}& & &0,61& & \\ \hline  \end{array}

2. Le minimum de la fonction g est g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 > 0 donc pour tout x on a g(x) > 0

PARTIE B

1. \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: e^x = 0
\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: (-x^2) = -\infty
Donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \: f(x) = -\infty
Or, f(x) = e^x - x^2, donc on a une forme indéterminée + \infty - \infty
Factorisons par le terme le plus fort, c'est à dire e^x :
f(x) = e^x - x^2 = e^x\left(1 - \dfrac{x^2}{e^x}\right)
\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: \left(1-\frac{x^2}{e^x}\right) = 1 et \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: x^2 = + \infty
Donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \: f(x) = +\infty

2. Pour tout réel x, on a : f'(x) = e^x - 2x = g(x) > 0 d'après la partie A.
La fonction f est strictement croissante sur \mathbb{R}.
D'où le tableau de variations :
\begin{array}{|c|ccc|} \hline  x & -\infty&&+\infty\\ \hline  f'(x) & & \qquad \qquad +\qquad \qquad &\\ \hline  \hspace{1pt} &&&+\infty \\  {f(x)}&&\nearrow &\\ \hspace{1pt} &-\infty && \\ \hline \end{array}

3. a) f(-1) = e^{-1} - 1 = \dfrac{1}{e} - 1
f(0) = e^0 - 0 = 1

3. b) La foction f est stritement croissante sur [-1 ; 0] et on a f(-1) < 0.
Donc la solution de l'équation f(x) = 0 est unique et appartient à [-1 ; 0].

3. c) On a : f(-0,704) < 0 et f(-0,703) > 0.
Donc la solution de cette équation est comprise entre -0,704 et -0,703.
On peut prendre -0,704 comme valeur approchée à 10-3 près de cette solution.




exercice 3

1. L est le centre du carré AOUT, I est le sommet, J le milieu de [OU].
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L Polynésie Française 2006 - terminale : image 3


2. a) Considérons le triangle AOU. J et L sont les milieux respectifs de [OU] et [AU].
D' après le théorème de la droite des milieux, on a : \text{LJ} = \dfrac{\text{AO}}{2} = \dfrac{\text{OU}}{2} = \text{OJ} = \text{r} donc LJ = r.

2. b) Le triangle IJL est rectangle L. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle nous permet d'écrire :
IJ² = IL² + LJ² = h² + r²

2. c) t = \dfrac{\text{IJ}}{\text{JL}} = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}

2. d) \mathcal{A}_{\text{OUI}} = \dfrac{\text{OU} \times \text{IJ}}{2} = \dfrac{2r\sqrt{r^2+h^2}}{2} = r\sqrt{r^2+h^2}

3. L'exigence de Cléopatre se traduit par la relation :
\text{IL}^2 = \mathcal{A}_{\text{OUI}} d'où h^2 = r\sqrt{r^2+h^2} donc \dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{r\sqrt{r^2+h^2}}{r^2} = \dfrac{\sqrt{r^2+h^2}}{r} (1)

4. a) t^2 - 1 = \left[\dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}\right]^2 - 1 = \dfrac{h^2+r^2}{r^2} - 1 = \dfrac{h^2}{r^2}

4. b) t^2 - 1 = \dfrac{h^2}{r^2} = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r} d'après le (1).
Or t = \dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{r}
Donc t^2 - 1 = t \: \Longleftrightarrow t^2 - t - 1 = 0

5. a) On développe \left[t - \dfrac{1}{2}\right]^2 = t^2 - 2\dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4} = t^2 - t - 1

5. b) t^2 - t - 1 = 0 \: \Longleftrightarrow \left[t - \dfrac{1}{2}\right]^2 - \dfrac{5}{4} = 0
\Longleftrightarrow \: \left[t - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] \left[t - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0 (On a utilisé l'identité remarquable : a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
\Longleftrightarrow \: \left[t - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0 \text{ ou }  \left[t - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right] = 0 \\ \Longleftrightarrow \: t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{ ou } t = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{5}}{2}
Cette dernière valeur ne convient pas car elle est négative.
D'où : t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2} est le nombre d'or.




exercice 4

1. d_1 = 50
d_2 = 50 - \dfrac{1}{100} \times 50 = 50 - 0,5 = 49,5\\ d_3 = 49,5 - \dfrac{1}{100} \times 49,5 = 49,5 - 0,495 = 49,005

2. Chaque distance est obtenue en diminuant la précédente de 1% donc en multipliant la précédente par 0,99. Par conséquent pour tout entier n \neq 0 :
d_{n+1} = d_n - \dfrac{1}{100}d_n = d_n - 0,01d_n = (1 - 0,01)d_n = 0,99d_n
(d_n) est donc une suite géométrique de raison 0,99.
d_n = d_1 \times(0,99)^{n-1} = 50\times (0,99)^{n-1}

3. a) L_n = d_1 + d_2 + d_3 + \cdots + d_n = d_1 \dfrac{1 - (0,99)^n}{1 - 0,99} = 50 \times \dfrac{1 - (0,99)^n}{0,01}
D'où : L_n = 5000(1 - (0,99)^n)

3. b) D'après le cours on sait que \displaystyle \lim_{n\to+\infty} \: (0,99)^n = 0 car |0,99| < 1.
Donc \displaystyle \lim_{n\to\infty} L_n = 5000
On en conclut que le globe trotter n'atteindra jamais 5000 km. Il ne peut donc pas gagner.

4. L_n = 5000(1 - (0,99)^n) \geq 4999 \: \Longleftrightarrow \: 1 - (0,99)^n \geq \dfrac{4999}{5000} = 0,9998
\Longleftrightarrow \: -(0,99)^n \geq 0,9998 - 1 \: \Longleftrightarrow \: (0,99)^n \leq 0,0002 \\ \Longleftrightarrow \: n \ln 0,99 \leq \ln 0,0002 \Longleftrightarrow \: n \geq \dfrac{\ln 0,0002}{\ln 0,99} \approx 847,5
Le nombre minimal cherché est de 848 jours.
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