Epreuve de spécialité - Série L
Polynésie Française - Session 2006
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L'usage d'une calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 3 Durée de l'épreuve : 3 heures
6 points
exercice 1
Un jeu consiste à jeter un dé de forme tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4.
Ce dé est pipé de telle façon que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
On note pi la probabilité d'obtenir le nombre i pour i {1 ; 2 ; 3 ; 4}.
1. Exprimer pi en fonction de i puis vérifier que la probabilité d'obtenir un nombre pair est .
2. On jette le dé. Si le nombre obtenu est pair, la somme reçue par le joueur est égale à sa mise augmentée de 10 %. Si le nombre obtenu est impair, le joueur reçoit sa mise diminuée de 11 euros. La mise minimale est de 20 euros.
Un joueur décide de faire trois parties successives :
il mise cent euros pour la première partie ;
pour la seconde partie il mise la somme reçue à l'issue de la première partie ;
pour la troisième partie il mise la somme reçue à l'issue de la seconde partie.
a) Montrer que, pour ce joueur, les montants possibles de la somme reçue à l'issue des trois parties sont, arrondies à un euro près, 133 euros, 110 euros, 109 euros, 108 euros, 88 euros, 87 euros, 86 euros et 67 euros.
b) Montrer que la probabilité de gagner 110 euros est égale à .
c) Calculer la probabilité de chacun des quatre événements qui conduisent à une perte.
d) Montrer que la probabilité, pour ce joueur, de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
Indication : pour la question 2, on pourra s'aider d'un arbre.
5 points
exercice 2
PARTIE A
On considère la fonction définie sur par .
1. Calculer où désigne la dérivée de puis dresser le tableau de variations de
2. En déduire que pour tout réel de , .
PARTIE B
On considère la fonction définie sur par .
1. Déterminer la limite de en puis la limite de en .
Pour la limite en on pourra remarquer que pour non nul peut s'écrire : .
2. Calculer où désigne la fonction dérivée de la fonction , puis en utilisant la partie A construire le tableau de variations de .
3. On admet que l'équation admet au moins une solution dans .
a) Calculer et .
b) Montrer que la solution de l'équation est unique et qu'elle appartient à l'intervalle [-1 ; 0].
c) En utilisant une calculatrice pour calculer pour différentes valeurs de , donner une valeur approchée à 10-3 près de cette solution.
Justifier la valeur retenue.
5 points
exercice 3
La reine Cléopâtre ordonna à son architecte, le célèbre Numérobis, de réaliser une pyramide régulière à base carrée dont les dimensions devaient être telles que le carré de la hauteur soit égal à l'aire de chaque face triangulaire de cette pyramide.
1. Compléter le dessin donné en annexe, représentant la pyramide en perspective cavalière ; L est le centre du carré AOUT, I est le sommet de la pyramide, J le milieu du segment [OU].
On pose OJ = r ; IL = h et t = .
2. Calculer :
a) La longueur JL en fonction de r.
b) La longueur IJ en fonction de r et de h.
c) En déduire la valeur de t en fonction de r et h.
d) L'aire du triangle OUI en fonction de r et h.
3. Montrer que l'exigence de Cléopâtre se traduit par la relation :
(1)
4. a) Calculer t² - 1.
b) En déduire qu'alors l'égalité (1) peut s'écrire : t² - t - 1 = 0 (2).
5. a) Montrer que : .
b) En déduire les solutions de l'équation (2).
c) Quel nom porte la seule solution possible ?
Annexe de l'exercice 3
4 points
exercice 4
Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied.
Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours.
On notera dn la distance parcourue durant le n-ième jour.
1. Calculer les distances d1, d2, d3 parcourues durant les trois premiers jours.
2. Expliquer pourquoi dn+1 = 0,99dn.
En déduire la nature de la suite (dn) et l'expression de dn en fonction de n.
3. a) Calculer, en fonction de n, le nombre total Ln de kilomètres parcourus au bout de n jours.
(Ln = d1 + d2 + ··· + dn).
b) En déduire la limite de Ln lorsque n tend vers +.
Le globe-trotter peut-il gagner ?
4. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours N qui lui seraient nécessaires pour parcourir 4 999 km.
On rappelle que :
La somme S des n premiers termes d’une suite arithmétique (un) de raison r est :
S = u1 + u2 + ··· + un =
La somme S' des n premiers termes d’une suite géométrique (vn) de raison q (q 1) est :
1. La probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté par cette face.
D'où l'existence d'un réel t tel que pi = ti pour tout On a donc Donc On en déduit alors les valeurs des pi :
On en déduit alors : p(obtenir un nombre pair) = p2 + p4 =
2. a) On dresse l'arbre probabilisé de cette expérience :
2. d) La probabilité de gagner moins de 100 euros est : La probabilité de gagner plus de 100 euros est : On en conclut que la probabilité pour ce joueur de gagner de l'argent est supérieure à celle d'en perdre.
exercice 2
PARTIE A
1. La fonction est dérivable sur .
Donc la fonction est croissante sur et décroissante sur De plus, D'où le tableau de variations :
2. Le minimum de la fonction est donc pour tout on a
PARTIE B
1. Donc Or, , donc on a une forme indéterminée Factorisons par le terme le plus fort, c'est à dire :
et Donc
2. Pour tout réel , on a : d'après la partie A.
La fonction est strictement croissante sur .
D'où le tableau de variations :
3. a)
3. b) La foction est stritement croissante sur [-1 ; 0] et on a .
Donc la solution de l'équation est unique et appartient à [-1 ; 0].
3. c) On a : et .
Donc la solution de cette équation est comprise entre -0,704 et -0,703.
On peut prendre -0,704 comme valeur approchée à 10-3 près de cette solution.
exercice 3
1. L est le centre du carré AOUT, I est le sommet, J le milieu de [OU].
2. a) Considérons le triangle AOU. J et L sont les milieux respectifs de [OU] et [AU].
D' après le théorème de la droite des milieux, on a : donc LJ = r.
2. b) Le triangle IJL est rectangle L. Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle nous permet d'écrire :
IJ² = IL² + LJ² = h² + r²
2. c)
2. d)
3. L'exigence de Cléopatre se traduit par la relation :
d'où donc (1)
4. a)
4. b) d'après le (1).
Or Donc
5. a) On développe
5. b) (On a utilisé l'identité remarquable : Cette dernière valeur ne convient pas car elle est négative.
D'où : est le nombre d'or.
exercice 4
1.
2. Chaque distance est obtenue en diminuant la précédente de 1% donc en multipliant la précédente par 0,99. Par conséquent pour tout entier n 0 :
est donc une suite géométrique de raison 0,99.
3. a) D'où :
3. b) D'après le cours on sait que car |0,99| < 1.
Donc On en conclut que le globe trotter n'atteindra jamais 5000 km. Il ne peut donc pas gagner.
4. Le nombre minimal cherché est de 848 jours.
Publié par Cel/cva
le
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