Fiche de mathématiques
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Epreuve de spécialité
Série L - Session 2006

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Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
8 points

exercice 1

Les parties A et B peuvent être taitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie A

La courbe \mathscr{C} ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 10]. On note f' la fonction dérivée de f sur cet intervalle.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 1


On précise que la droite T est tangente à la courbe \mathscr{C} au point A de coordonnées (1 ; 0) et qu'elle passe par le point de coordonnées (0 ; 1).

1. Répondre aux deux questions suivantes par lecture graphique :
    a) Donner f(1) et f'(1) en justifiant la valeur de f'(1).
    b) Lire les solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. On sait que f(x) est de la forme f(x) = \ln x + \frac{a}{x} + b, où a et b désignent deux nombres réels.

    a) Calculer f'(x).
    b) En utilisant les valeurs trouvées pour f(1) et f'(1) à la question 1, calculer a et b.
    c) En déduire l'expression de f(x).

Partie B

On sait désormais que la fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par f(x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2.

1. a) Vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 10]
f'(x) = \frac{x - 2}{x^2}

Etudier le signe de f'(x).
    b) On admet que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est +\infty.
Dresser le tableau de variation de la fonction f.
En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. Le nombre 5 est-il vraiment une solution de l'équation f(x) = 0 ? 6 points

exercice 2

On admet qu'on obtient le même reste en divisant un nombre par 9 qu'en divisant la somme de ses chiffres par 9.
Par exemple :
8753 = 972 × 9 + 5, le reste est donc 5.
8 + 7 + 5 + 3 = 23 = 2 × 9 + 5, le reste est également 5.


Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d'une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet habituel comportant 26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste de la division de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les billets authentiques et vaut 8.

Exemple :
sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 2



Code : s00212913862.
Rang dans l'alphabet de la lettre s : 19.
Nombre obtenu : 1900212913862.
Reste pour ce billet : 8.





1. Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
    a) Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
    b) Calculer le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre.
    c) Que peut-on dire de ce billet ?

2. Sur un billet authentique figure le code sO21664481Ox, x pour le dernier chiffre illisible. Montrer que x + 42 est congru à 8 modulo 9.
En déduire x.

3. Sur un autre billet authentique la partie du code formé par les 11 chiffres est 16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre effacée.
    a) Déterminer les valeurs possibles de n.
    b) Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ? 6 points

exercice 3

Un architecte a commencé le dessin d'un couloir (voir la figure en annexe).
Il a dessiné une large fenêtre rectangulaire sur le mur vertical de droite. Il n'a dessiné qu'une partie du carrelage du sol.
On admet que l'architecte respecte les règles de la perspective à point de fuite. Toutes les constructions sont à faire sur la figure de l'annexe.

1. Citer une règle de la perspective à point de fuite. La vérifier sur la figure (on peut éventuellement effectuer des constructions sur la figure).

2. Sachant que le carrelage est régulier, représenter les 3 premières rangées de 5 carreaux (laisser clairement apparaître les traits de construction ; aucune justification écrite n'est demandée par ailleurs).

3. La fenêtre rectangulaire du mur de droite comporte deux battants de même largeur séparés par une traverse verticale. Au milieu de cette traverse verticale est fixée une poignée. Seul le cadre de la fenêtre est représenté sur le dessin. Compléter la figure en représentant la traverse verticale par un segment et la poignée par un point M.

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 3

Annexe




exercice 1

Partie A

1. a) Déterminons f(1) et f'(1) :
La courbe passe par le point de coordonnées (1 ; 0), donc f(1) = 0.
f'(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe passant par le point d'abscisse 1. Cette tangente passe par les points de coordonnées (0 ; 1) et (1 ; 0), donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} passant par 1 est : f'(1) = \frac{0 - 1}{1 - 0}   = -1.
Donc : f'(1) = -1

1. b) Lisons les solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10] :
La courbe \mathscr{C} coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisse 1 et 5.
D'où : les solutions de l'équation f(x) = 0 sur l'intervalle ]0 ; 10] sont 1 et 5.

2. a) Calculons f'(x) :
f est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et pour tout réel x de ]0 ; +\infty[, on a :
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}

2. b) Calculons a et b :
On sait que f(1) = 0, donc \ln 1 + \frac{a}{1} + b = 0, soit a + b = 0,
et que f'(1) = -1, donc \frac{1}{1} - \frac{a}{1^2} = -1, soit 1 - a = -1.
On obtient alors le système suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a + b  &  0 \\ 1 - a  &  -1 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \lbrace a + b = 0\\ -a = -2\. \\ \Longleftrightarrow \lbrace a = 2\\ b = -a = -2\.
D'où : a = 2 et b = -2.

2. c) Des questions précédentes, on en déduit que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 10], f(x) = \ln x + \frac{2}{x} - 2

Partie B

1. a) Vérifions que pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; 10], f'(x) = \frac{x - 2}{x^2} :
f est dérivable sur ]0 ; 10] et pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; 10], on a :
f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}\\ f'(x) = \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}\\ f'(x) = \frac{x - 2}{x^2}

    Etudions le signe de f'(x) :
Sur ]0 ; 10], x^2 > 0, donc f'(x) est du signe de (x - 2) sur ]0 ; 10].
Or,
x - 2 < 0 \text{ si } x \in ]0 ; 2[\\ x - 2 = 0 \text{ si } x = 2\\ x - 2 > 0 \text{ si } x \in ]2 ; 10]
D'où :
f'(x) < 0 \text{ si } x \in  ]0 ; 2[\\ f'(x) = 0 \text{ si } x = 2\\ f'(x) > 0 \text{ si } x \in ]2 ; 10]

1. b) Dressons le tableau de variations de f :
De la question précédente, on en déduit que f est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; 10].
\begin{array}{|c|llcccc|} \hline  x & 0 & & &2& &10\\ \hline  f'&||&-&&0&+& \\ \hline  \hspace{1pt}&||&+\infty&&&& -\frac95 + \ln 10 \\ f&|| &  & \searrow& & \nearrow\\ \hspace{1pt}&||&&& -1 + \ln 2 && \\ \hline \end{array}

f(2) = \ln 2 + \frac22 - 2 = -1 + \ln 2 et f(10) = \ln 10 + \frac{2}{10} - 2 = -\frac95   + \ln 10

    Déduisons-en le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur ]0 ; 10] :
Sur ]0 ; 2[, f est continue est strictement décroissante.
De plus, \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty et f(2) = -1 + \ln 2 < 0.
On en déduit que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; 2[.

Sur ]2 ; 10[, f est continue et srtictement croissante.
De plus, f(2) = -1 + \ln 2 < 0 et f(10) = -\frac95 + \ln 10 > 0.
On en déduit que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans ]2 ; 10[.
D'où : l'équation f(x) = 0 admet deux solutions sur ]0 ; 10].

2. Déterminons si le nombre 5 est vraiment une solution de l'équation f(x) = 0 :
Si 5 est solution de l'équation f(x) = 0, alors f(5) = 0.
Or, f(5) = \ln 5 + \frac25 - 2 = -\frac85 + \ln 5 \neq 0, donc 5 n'est pas une solution de l'équation f(x) = 0.

exercice 2

1. a) Donnons le nombre à 13 chiffres corrrespondant au code :
Dans l'alphabet, le rang de la lettre u est 21 car u est la vingt-et-unième lettre de l'alphabet.
D'où : le nombre à 13 chiffres est 2101308937097

1. b) Calculons le reste de la division par 9 de la somme des 13 chiffres de ce nombre :
2 + 1 + 0 1 + 3 + 0 + 8 + 9 + 3 + 7 + 0 + 9 + 7 = 50
Or, 50 = 5 × 9 + 5, donc le reste est 5.

1. c) On sait que, pour les billets authentiques, le reste est le même et vaut 8. Ici, le reste est égal à 5, on peut donc en déduire que le billet n'est pas authentique.

2. Montrons que x + 42 est congru à 8 modulo 9 :
s est la dix-neuvième lettre de l'alphabet, donc le code figurant sur le billet est : 190216644810x.
La somme des chiffres est donc égale à 1 + 9 + 0 + 2 + 1 + 6 + 6 + 4 + 4 + 8 + 1 + 0 + x = x + 42.
Le billet étant authentique, alors le reste de la division euclidienne de 42 + x par 9 est 8, autrement dit, x + 42 est congru à 8 modulo 9.

    Déduisons-en x :
x + 42 est congru à 8 modulo 9, donc x + 42 - 8 est un multiple de 9, c'est-à-dire x + 34 est un multiple de 9.
Donc x = 2 car 2 + 34 = 36 = 4 × 9. x est un entier compris entre 0 et 9, il n'y a donc pas d'autres solutions possibles pour x.
D'où : x est égal à 2.

3. a) Déterminons les valeurs possibles de n :
La somme des onze chiffres compsant le code est égale à 27.
On appelle n le rang dans l'alphabet de la lettre effacée, donc n + 27 est congru à 8 modulo 9, ou encore n + 27 - 8 est est congru à 0 modulo 9, c'est-à-dire que n + 19 est un multiple de 9.
n étant un entier compris entre 1 et 26, les valeurs possibles pour n sont :
n + 19 = 3 × 9 = 27, donc n = 27 - 19 = 8
n + 19 = 4 × 9 = 36, donc n = 36 - 19 = 17
n + 19 = 5 × 9 = 45, donc n = 45 - 19 = 26
D'où : les valeurs possibles de n sont 8, 17 et 26.

3. b) Déterminons les possibilités pour la lettre effacée :
On a vu que les valeurs possibles de n sont 8, 17 et 26.
Dans l'alphabet, ce sont les rangs des lettres h, q et z. 6 points

exercice 3

1. Si deux droites parallèles ont le même point de fuite F, alors elles sont représentées par deux droites sécantes en F.

2. cf graphique

3. cf graphique

sujet de l'épreuve de spécialité du bac L 2006 : image 4

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