Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Amérique du Nord - Session Mai 2006

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :
4 sont marqués " oui ", 3 sont marqués " non " et 3 sont marqués " blanc ".

Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu.
Si le bulletin tiré est marqué " oui ", le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué " non ", il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué " blanc ", il reçoit 20 centimes d'euro.

Question 1 : Le jeu est : A : favorable au joueur B : dévaforable au joueur C : équitable

Question 2 : Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.
La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué " oui " est égale à A : $\dfrac{216}{625}$ B : $\dfrac{544}{625}$ C : $\dfrac25$

Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne.

Question 3 : La probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à A : $\dfrac{4}{15}$ B : $\dfrac{11}{30}$ C : $\dfrac{11}{15}$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u} , \vec{v})$ (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2, \, z_{\text{B}} = 1 + i\sqrt{3} \text{ et } z_{\text{C}} = 1 - i\sqrt{3}$ .

Partie A

1. a) Donner la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$ puis de $z_{\text{C}}$ .
b) Placer les points A, B et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l'ensemble $\mathscr{D}$ des points M du plan tels que $|z| = |z - 2|$ .

Partie B

A tout point M d'affixe $z$ tel que $z \neq z_{\text{A}}$ , on associe le point M' d'affixe $z'$ défini par $z' = \dfrac{-4}{z - 2}$

1. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z = \dfrac{-4}{z - 2}$
    b) En déduire les points associés aux points B et C.
    c) Déterminer et placer le point G' associé au centre de gravité G du triangle OAB.

2. a) Question de cours :
Prérequis : le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, noté $|z|$ , vérifie $|z|^2 = z \bar{z}$ où $\bar{z}$ est le conjugué de $z$ .
Démontrer que :
Pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$ , $|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$
Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$
    b) Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ distinct de 2, $|z' - 2| = \dfrac{2|z|}{|z - 2|}$
    c) On suppose dans cette question que M est un point quelconque de $\mathscr{D}$ , où $\mathscr{D}$ est l'ensemble défini à la question 3. de la partie A.
Démontrer que le point M' associé à M appartient à un cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{u} , \vec{v})$ (unité graphique 4 cm).
Soit $\Omega$ le point d'affixe 2.

On appelle r la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et h l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

1. On pose $\sigma = \text{h} \circ \text{r}$ .
    a) Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
    b) Montrer que l'écriture de la transformation $\sigma$ est : $z \mapsto \dfrac{1 + i}{2} z + 1 - i$ .
    c) Soit M un point quelconque du plan d'affixe $z$ . On désigne par M ' son image par $\sigma$ et on note $z'$ l'affixe de M '. Montrer que $z - z ' = i(2 - z ')$ .

2. a) Question de cours
Prérequis : défintions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Proporiéts algébriques des modules et des arguments.
Démontrer que : si A est un point donné d'affixe a, alors l'image du point P d'affixe p par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est le point Q d'affixe $q$ telle que $q -a = i(p - a)$ .
    b) Déduire des questions précédentes la nature du triangle $\Omega$ MM ', pour M distinct de $\Omega$ .

3. Soit A₀ le point d'affixe 2 + i.
On considère la suite (A_n) de points du plan définis par : pour tout entier naturel n, A_n+1 = $\sigma\left(\text{A}_n\right)$ .
    a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , l'affixe $a_n$ de A_n est donnée par : $a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\frac{(n+2)\pi}{4}}+2$
    b) Déterminer l'affixe de A₅.

4. Déterminer le plus petit entier n₀ tel que l'on ait :
pour n $\geq$ n₀, le point A_n est dans le disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,01.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. On considère la fonction $g$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = \ln x - \dfrac{2}{x}$
On donne ci-dessous le tableau de variation de $g$ .

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 1

Démontrer toutes les propriétés de la fonction $g$ regroupées dans ce tableau.

2. Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x}$
a) Démontrer que $f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}$ où $x_0$ est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus.
b) Soit $a$ un réel. Pour $a > 1$ , exprimer $\displaystyle \int_1^a f(t) dt$ en fonction de $a$ .

3. On a tracé dans le repère orthonormal $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ ci-dessous les courbes représentatives des fonctions $f$ et g notées respectivement (C_f) et (C_g).

On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), P₀ le point d'intersection de (C_g) et de l'axe des abscisses, M₀ le point de (C_f) ayant même abscisse que P₀ et H₀ le projeté orthogonal de M₀ sur l'axe des ordonnées.

On nomme $\mathscr{D}_1$ le domaine du plan délimité par la courbe (C_f) et les segments [IP₀] et [P₀M₀].
On nomme $\mathscr{D}_2$ le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [OH₀].
Démontrer que les deux domaines $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ ont même aire, puis donner un encadrement d'amplitude 0,2 de cette aire.

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 2

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ .
On s'intéresse aux fonctions $f$ dérivables sur [0 ; + $\infty$ [ vérifiant les conditions :
$\left \lbrace \begin{array}{l} (1) : \text{pour tout réel } x \text{ appartenant à } [0 ; +\infty[ f'(x) = 4 - \left(f(x)\right)^2\\ (2) : f(0) = 0 \\ \end{array} \right.$
On admet qu'il existe une unique fonction $f$ vérifiant simultanément (1) et (2).

Les deux parties peuvent être traitées de manière idépendante.

Partie A : Etude d'une suite

Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction $f$ , on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à 0,2.
On obtient ainsi une suite de points notés (M_n), d'abscisse $x_n$ et d'ordonnée y_n telles que :
$\left \lbrace \begin{array}{l} x_0 = 0 \text{ et pour tout entier naturel } n, x_{n+1} = x_n + 0,2\\ y_0 = 0 \text{ et pour tout entier naturel } n, y_{n+1} = -0,2y_n^2 + y_n + 0,8\\ \end{array} \right.$

1. a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau ci-dessous. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10^-4 près.

n	1	2	3	4	5	6	7
$x_n$	0,2	0,4
y_n	0,80000	1,4720

b) Placer, sur le graphique ci-dessous, les points M_n pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 3

    c) D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (yn) et sur sa convergence ?

2. a) Pour $x$ réel, on pose $p(x) = -0,2x^2 + x + 0,8$ .
Montrer que si $x \in [0 ; 2]$ , alors $p(x) \in [0 ; 2]$ .
    b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 $\leq$ y_n $\leq$ 2.
    c) Etudier le sens de variation de la suite (y_n).
    d) La suite (y_n) est-elle convergente ?

Partie B : Etude d'une fonction

Soit g la fonction définie sur [0 ; + $\infty$ [ par $\large g(x) = 2 \dfrac{e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1}$ et (C_g) sa courbe représentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a) Montrer que (C_g) admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
b) Etudier les variations de g sur [0 ; + $\infty$ [.

3. Déterminer l'abscisse $\alpha$ du point d'intersection de $\Delta$ et de la tangente à (C_g) à l'origine.

4. Tracer, dans le repère fourni, la courbe (C_g) et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Question 1. Réponse : C
$P(X = 60) = \dfrac{4}{10} \\ P(X = 20) = \dfrac{3}{10} \\ P(X = 0) = \dfrac{3}{10}\\ E(X) = 60 \times \dfrac{4}{10} + 20 \times \dfrac{3}{10} = 30$
L'espérance de gain est égale à la mise : le jeu est équitable.

Question 2. Réponse : B
Soit A l'évènement : il tire au moins un oui.
Il ne tire aucun oui est : $P(\overline{\text{A}}) = \left( \dfrac{6}{10} \right)^4 = \dfrac{81}{625}$
$P(\text{A}) = 1 - P(\overline{\text{A}}) = \dfrac{544}{625}$

Question 3. Réponse : C
Tirer 2 bulletins différents signifie :
Tirer 1 bulletin noté oui et un autre d'une autre sorte :
${4 \choose 1} \times {6 \choose 1} = 24 \text{ cas}$
ou bien un noté non et un blanc :
${3 \choose 1} \times {3 \choose 1} = 9 \text{ cas}$
La probabilité est donc égale à $\dfrac{24 + 9}{{10 \choose 2}} = \dfrac{33}{45} = \dfrac{11}{15}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. a) $z_{\text{B}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3} \right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}$
$z_{\text{C}}$ est le conjugué de $z_{\text{B}}$ donc $z_{\text{C}} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$

1. b)

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 4

Comme $|z_{\text{A}}| = |z_{\text{B}}| = |z_{\text{C}}| = 2$ , alors les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

2. On a : $\text{OB} = |z_{\text{B}}| = 2$
$\text{OC} = |z_{\text{C}}| = 2 \\ \text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 \\ \text{AC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |-1 - i\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} = 2$
Donc OB = OC = AB = AC, OABC est un losange.

3. $|z| = \text{OM}\text{ et }|z - 2| = |z - z_{\text{A}}| = \text{AM}$
Donc le point $\text{M} \in D$ si et seulement si OM = AM.
Il s'agit de la médiatrice de [OA] c'est-à-dire (BC) (en rose sur le graphique).

Partie B

1. a) Pour tout $z \neq 2$ , $z = \dfrac{-4}{z-2} \Longleftrightarrow z(z-2) = 4 \Longleftrightarrow z^2 - 2z + 4 = 0$
$\Delta = 4 - 16 = -12<0$
L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
$z' = \dfrac{2 + i\sqrt{12}}{2} =\dfrac{2 + 2i\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3} = z_{\text{B}}$ et $z$

1. b) La question précédente montre que B et C sont invariants. Les points associés aux points B et C sont B et C.

1. c) Le centre de gravité de OAB a pour affixe : $z_{\text{G}} = \dfrac{0 + z_{\text{A}} + z_{\text{B}}}{3}$
$z_{\text{G}} = \dfrac{2 + 1 + i\sqrt{3}}{3} = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}$
On en déduit l'affixe de G'.
$z_{\text{G}'} = \dfrac{-4}{z_{\text{G}} - 2}$ Or $z_{\text{G}} - 2 = 1 + i\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 2 = \dfrac{-3+i\sqrt{3}}{3}$
$z_{\text{G}'} = \dfrac{-12}{-3+i\sqrt{3}} = \dfrac{12(3+i\sqrt{3})}{12} = 3 + i\sqrt{3} = 3z_{\text{G}}$
Donc $\overrightarrow{\text{OG}'} = 3\overrightarrow{\text{OG}}$

2. a) En utilisant le prérequis : $|z_1 \times z_2|^2 = (z_1 \times z_2)\overline{(z_1 \times z_2)}$
$= z_1 \times z_2 \times \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\ = (z_1 \overline{z_2}) \times (z_2 \overline{z_2})$
Soit $|z_1 \times z_2|^2 = |z_1|^2 \times |z_2|^2$ puisque tout module est positif.
$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$
Pour tout $z \neq 0$ : $\left| \dfrac{1}{z} \right|^2 = \left(\dfrac{1}{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} \right) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{\bar{z}}$
$= \dfrac{1}{z\bar{z}} = \dfrac{1}{|z|^2}$
Pour tout $z \neq 0$ , $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$

2. b) Pour tout $z \neq 2$ , $z' - 2 = \dfrac{-4}{z-2} - 2 = \dfrac{-2z}{z-2}$
$|z' - 2| = \dfrac{|-2z|}{|z-2|} = \dfrac{2|z|}{|z-2|}$

2. c) L'affixe de M vérifie :
$|z| = |z - 2|$ et en utilisant la question précédente : $|z' - 2| = \dfrac{2|z - 2|}{|z - 2|} = 2$
M' appartient au cercle de centre A et de rayon 2.
(en turquoise sur le graphique)

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $\sigma$ est la similitude directe de centre $\Omega$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

1. b) L'écriture complexe d'une similitude directe est $z' = az + b$ où $|a|$ est égal au rapport de la similitude et $\arg(a)$ est égal à l'angle de la similitude.
$a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e^{i\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$
$\boxed{a = \frac{1+i}{2}}$
Le point invariant est tel que $z' = z \Longleftrightarrow z = az + b \Longleftrightarrow z - az = b \Longleftrightarrow z(1 - a) = b$
D'où : $z = \dfrac{b}{1 - a}$
$\Omega(2 ; 0)$ est ce point invariant, donc : $z = \dfrac{b}{1-a} = 2$
$b = 2(1 - a) = 2 \left(1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \right) = 2 \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \right) = 1 - i$
Donc $z' = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)z + 1 - i$

1. c) On calcule séparément chacun des deux membres :
$z - z' = z - \left(\frac{1+i}{2}\right)z - 1 + i \\ = \left(\dfrac{1-i}{2}\right)z - 1 + i$
$i(2 - z') = i \left(2 - \dfrac{1+i}{2}z - 1 + i\right) \\ = 2i - \dfrac{i-1}{2}z - i - 1 \\ = \left(\dfrac{1-i}{2} \right) z - 1 + i$
On en conclut que $z - z' = i(2 - z')$

2. a) Soit P un point quelconque différent de A.
Si Q est l'image de P dans la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ on a : AP = AQ et $(\overrightarrow{\text{AP}} , \overrightarrow{\text{AQ}}) = \dfrac{\pi}{2}$
D'où : $|p - a| = |q - a|$ et $\arg \left(\dfrac{q-a}{p-a}\right) = \dfrac{\pi}{2}$
$\Longleftrightarrow \left|\dfrac{q-a}{p-a}\right| = 1$ et $\arg \left(\dfrac{q-a}{p-a}\right) = \dfrac{\pi}{2}$
Le complexe de module $r=1$ et d'argument $\theta=\pi/2$ s'ecrit $r\times e^{i\theta}=e^{i\pi/2}=i$ donc [text]\frac{q-a}{p-a}=i[/tex] d'où $q-a=i(p-a)$ . Cette dernière relation étant vraie si $P=A$ on a le résultat demandé.

2. b) En utilisant l'égalité $z - z' = i(2 - z')$ et la question précédente on voit que M est l'image du point $\Omega$ dans la rotation de centre M' et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
$\Omega\text{MM}'$ est rectangle isocèle en M' et de sens direct.

3. a) D'après le 1. b) :
$a_{n+1} = \dfrac{1+i}{2}a_n + 1 - i$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
$a_{n+1} - 2 = \dfrac{1+i}{2} a_n - (1 + i) \\ = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)(a_n - 2)$
On passe d'un terme de la suite $a_n- 2$ au suivant en multipliant par $\dfrac{1+i}{2}$ .
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $a_n - 2 = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)^n (a_0 - 2)$ (penser à rédiger une récurrence.)
On sait que $\dfrac{1+i}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e^{i\dfrac{\pi}{4}$ (1. b))
On en déduit : $\left(\dfrac{1+i}{2}\right)^n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\dfrac{n\pi}{4}$
$a_0 - 2 = i = e^{i\dfrac{\pi}{2}$
On a : $a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\dfrac{n\pi}{4}} e^{\dfrac{\pi}{2}} + 2$
$a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{\dfrac{i(n+2)\pi}{4}} + 2$

3. b) $a_5 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 e^{i\frac{7\pi}{4}} + 2$
$= \dfrac{1}{(\sqrt{2})^5} e^{i\frac{7\pi}{4}} + 2 \\ = \dfrac{1}{4\sqrt{2}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \\ = \dfrac{17}{8} - \dfrac{i}{8}$

4. On cherche $n$ tel que $\Omega \text{A}_n \leq 0,01$
$\Longleftrightarrow |a_n - 2| \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{(\sqrt{2})^n} \leq 0,01$
$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^n} \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}} \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow 2^{-\frac{n}{2}} \leq 0,01$
On a donc : $2^{-\frac{n}{2} \leq 10^{-2}$
La fonction ln est croissante donc $-\dfrac{n}{2} \ln 2 \leq \ln 10^{-2}$ soit $\dfrac{n}{2} \ln 2 \geq 2 \ln 10$ car $\dfrac{\ln 2}{2} > 0$
$n \geq \dfrac{4 \ln 10}{\ln 2} \approx 13,29$
Ainsi $n_0 = 14$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. $g$ est dérivable comme différence de fonctions dérivables sur $]0; +\infty[$ .
$g'(x) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2} \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}$
$x > 0$ donc $g'(x) > 0$ . $g$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ . $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}-\frac{2}{x}=-\infty$
On a : $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} -\dfrac{2}{x} = -\infty$
Donc $\displaystyle \lim_{x \to \0^{+}} g(x) = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} -\dfrac{2}{x} = 0$
Donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$
On calcule $g(2,3) \approx -0,037$ et $g(2,4) \approx 0,042$ .
$g$ est continue sur [2,3 ; 2,4]. Comme $g(2,3) < 0$ et $g(2,4) > 0$ , $\exist x_0 \in [2,3 ; 2,4]$ tel que $g(x_0) = 0$ .
Comme $g$ est est strictement croissante sur $[2,3;2,4]$ , $2,3 < x_0 < 2,4$ .

2. a) $x_0$ vérifie $g(x_0) = 0$ soit $\ln x_0 = \dfrac{2}{x_0}$
$f(x_0) = \dfrac{5 \ln x_0}{x_0} = \dfrac{5 \times \dfrac{2}{x_0}}{x_0} = \dfrac{10}{x_0^2} \\ f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}$

2. b) On constate que $\dfrac{\ln x}{x} = \ln x \times \dfrac{1}{x}$ une primitive de $u \times u'$ est $\dfrac{1}{2}u^2$
$f$ est dérivable sur [1 ; a], elle admet des primitives.
$\displaystyle \int_1^{a} f(t) dt = 5 \displaystyle \int_1^{a} \ln t \times \dfrac{1}{t} dt \\ = 5 \left[ \dfrac{1}{2} (\ln t)^2 \right]_1^{a} = \dfrac{5}{2} (\ln a)^2$

3. $D_1 \, : \, \displaystyle \int_1^{x_0} f(t) dt = \dfrac{5}{2}(\ln x_0)^2 = \dfrac{5}{2} \times \left(\dfrac{2}{x_0}\right)^2 = \dfrac{10}{x_0^2}$
On remarque que M₀ a pour abscisse $x_0$ et ordonnée $f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}$
H₀ a la même ordonnée que M₀, donc $\text{OH}_0 = f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}$
Le domaine $D_2$ est un rectangle qui a pour surface $\text{OI} \times \text{OH}_0 = 1 \times \dfrac{10}{x_0^2} = \dfrac{10}{x_0^2}$
$D_1$ et $D_2$ ont même aire.
On sait que $2,3 < x_0 < 2,4$ , donc :
$(2,3)^2 < x_0^2 < (2,4)^2 \\ \dfrac{10}{2,4^2} < \dfrac{10}{x_0^2} < \dfrac{10}{2,3^2}$
$\dfrac{10}{2,4^2} \approx 1,736$ et $\dfrac{10}{2,3^2} \approx 1,890$
$1,7 \leq A \leq 1,9$ avec une amplitude de 0,2.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une suite

1. a) Tableau complété :

$n$	1	2	3	4	5	6	7
$x_n$	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4
$y_n$	0,8	1,472	1,8386	1,9625	1,9922	1,9984	1,9997

1. b) graphique

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 5

1. c) Il semblerait que $(y_n)$ croît et converge vers 2.

2. a) La focntion $p$ est un polynôme donc dérivable, sa dérivée est définie sur [0 ; 2] par : $p'(x) = -0,4x + 1$ .
$p'(x) > 0$ si $-0,4x + 1 > 0 \Longleftrightarrow -0,4x > -1 \Longleftrightarrow x < 2,5$
$p$ est donc croissante sur [0,2].
Si $0 \leq x \leq 2$ , $p(0) \leq p(x) \leq p(2)$
$p(0) = 0,8$ et $p(2) = 2$ , donc $0 \leq p(x) \leq 2$ .
Si $0 \leq x \leq 2$ , $p(x) \in [0 ; 2]$ .

2. b) On raisonne par récurrence :
$y_0 = 0$ donc $0 \leq y_0 \leq 2$ vraie
Soit $n\in \mathbb{N}$ . Supposons que $0 \leq y_n \leq 2$ et vérifions que la relation est vraie au rang $n+1$ c'est-à-dire $0 \leq y_{n+1} \leq 2$ .
On remarque que $y_{n+1} = p(y_n)$ donc :
$0 \leq y_n \leq 2$ entraîne $p(0) \leq p(y_n) \leq p(2)$ car $p$ est croissante sur [0,2], c'est-à-dire $0 \leq y_{n+1} \leq 2$ .
Le principe de récurrence permet d'affirmer que : $0 \leq y_n \leq 2$ pour tout entier naturel $n$ .

2. c) $y_{n+1} - y_n = -0,2y_n^2 + 0,8 = 0,2(4 - y_n^2) = 0,2(2 + y_n)(2 - y_n)$
$0 \leq y_n \leq 2$ , donc $2 - y_n \geq 0$ et $2 + y_n > 0$
Donc $y_{n+1} - y_n \geq 0$
La suite $(y_n)$ est donc croissante.

2. d) $(y_n)$ est croissante et majorée par 2. D'après le théorème sur les convergences $(y_n)$ converge.

Partie B : Étude d'une fonction

1. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $[0 ; +\infty[$ .
$g'(x) = 2 \times \dfrac{4^{4x}(e^{4x}+1) - 4e^{4x}(e^{4x}-1)}{(e^{4x}+1)^2} \\ g'(x) = \dfrac{16e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2}$

$4 - [g(x)]^2 = 4 - 4 \times \dfrac{(e^{4x}-1)^2}{(e^{4x}+1)^2} \\ = \dfrac{4[(e^{4x}+1)^2-(e^{4x}-1)^2}{(e^{4x}+1)^2} \\ = \dfrac{4(2e^{4x}+2e^{4x})}{(e^{4x}+1)^2} \\ = 4 \times \dfrac{4e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2} \\ = g'(x) = \dfrac{16e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2}$
On voit que $g'(x) = 4 - [(g(x)]^2$
La première condition est réalisée.
De plus, $g(0) = 0$ . La deuxième aussi.
$g$ vérifie (1) et (2).

2. a) $g(x) = 2 \times \dfrac{e^{4x}(1-e^{-4x})}{e^{4x}(1+e^{-4x})}=2 \times \dfrac{1-e^{-4x}}{1+e^{-4x}}$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-4x} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x) = 2$
$y = 2$ est asymptote à $C$ au voisinage de $+\infty$ .

2. b) La fonction exponentielle est strictement positive, donc pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ , $g'(x) < 0$ , donc $g$ est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ .

3. La tangente est donnée par la formule :
$y = g'(a)(x - a) + g(a)$ au point $x_a = 0$
$y = g'(0)(x - 0) + g(0) \\ y = \dfrac{16}{4}(x) + 0 \\ y = 4x$
et $\alpha$ vérifie $2 = 4\alpha$ donc $\alpha = \dfrac{1}{2}$

Publié par Océane/Clemclem Marie-Hélène le 08-07-2009

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