Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Amérique du Nord - Session Mai 2006

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Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.


Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes :
4 sont marqués " oui ", 3 sont marqués " non " et 3 sont marqués " blanc ".

Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d'euro. Il tire ensuite un bulletin de l'urne et l'y remet après l'avoir lu.
Si le bulletin tiré est marqué " oui ", le joueur reçoit 60 centimes d'euro, s'il est marqué " non ", il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué " blanc ", il reçoit 20 centimes d'euro.

Question 1 : Le jeu est :
A : favorable au joueur       B : dévaforable au joueur       C : équitable


Question 2 : Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres.
La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué " oui " est égale à
A : \dfrac{216}{625}       B : \dfrac{544}{625}       C : \dfrac25


Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l'urne.

Question 3 : La probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à
A : \dfrac{4}{15}       B : \dfrac{11}{30}       C : \dfrac{11}{15}



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u} , \vec{v}) (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives z_{\text{A}} = 2, \, z_{\text{B}} = 1 + i\sqrt{3} \text{ et } z_{\text{C}} = 1 - i\sqrt{3}.

Partie A

1. a) Donner la forme exponentielle de z_{\text{B}} puis de z_{\text{C}}.
    b) Placer les points A, B et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.

3. Déterminer et construire l'ensemble \mathscr{D} des points M du plan tels que |z| = |z - 2|.

Partie B

A tout point M d'affixe z tel que z \neq z_{\text{A}}, on associe le point M' d'affixe z' défini par z' = \dfrac{-4}{z - 2}

1. a) Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z = \dfrac{-4}{z - 2}
    b) En déduire les points associés aux points B et C.
    c) Déterminer et placer le point G' associé au centre de gravité G du triangle OAB.

2. a) Question de cours :
Prérequis : le module d'un nombre complexe z quelconque, noté |z|, vérifie |z|^2 = z \bar{z}\bar{z} est le conjugué de z.
Démontrer que :
  Pour tous nombres complexes z_1 et z_2, |z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|
  Pour tout nombre complexe z non nul, \left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}
    b) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, |z' - 2| = \dfrac{2|z|}{|z - 2|}
    c) On suppose dans cette question que M est un point quelconque de \mathscr{D}, où \mathscr{D} est l'ensemble défini à la question 3. de la partie A.
Démontrer que le point M' associé à M appartient à un cercle \Gamma dont on précisera le centre et le rayon. Tracer \Gamma.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{u} , \vec{v}) (unité graphique 4 cm).
Soit \Omega le point d'affixe 2.

On appelle r la rotation de centre \Omega et d'angle \dfrac{\pi}{4} et h l'homothétie de centre \Omega et de rapport \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

1. On pose \sigma = \text{h} \circ \text{r}.
    a) Quelle est la nature de la transformation \sigma ? Préciser ses éléments caractéristiques.
    b) Montrer que l'écriture de la transformation \sigma est : z \mapsto \dfrac{1 + i}{2} z + 1 - i.
    c) Soit M un point quelconque du plan d'affixe z. On désigne par M ' son image par \sigma et on note z' l'affixe de M '. Montrer que z - z ' = i(2 - z ').

2. a) Question de cours
Prérequis : défintions géométriques du module d'un nombre complexe et d'un argument d'un nombre complexe non nul. Proporiéts algébriques des modules et des arguments.
Démontrer que : si A est un point donné d'affixe a, alors l'image du point P d'affixe p par la rotation de centre A et d'angle \dfrac{\pi}{2} est le point Q d'affixe q telle que q -a = i(p - a).
    b) Déduire des questions précédentes la nature du triangle \OmegaMM ', pour M distinct de \Omega.

3. Soit A0 le point d'affixe 2 + i.
On considère la suite (An) de points du plan définis par : pour tout entier naturel n, An+1 = \sigma\left(\text{A}_n\right).
    a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l'affixe a_n de An est donnée par : a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\frac{(n+2)\pi}{4}}+2
    b) Déterminer l'affixe de A5.

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l'on ait :
pour n \geq n0, le point An est dans le disque de centre \Omega et de rayon 0,01.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +\infty[ par g(x) = \ln x - \dfrac{2}{x}
On donne ci-dessous le tableau de variation de g.

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 1


Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = \dfrac{5 \ln x}{x}
    a) Démontrer que f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}x_0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus.
    b) Soit a un réel. Pour a > 1, exprimer \displaystyle \int_1^a f(t) dt en fonction de a.

3. On a tracé dans le repère orthonormal (O ; \vec{i} , \vec{j}) ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g notées respectivement (Cf) et (Cg).

On appelle I le point de coordonnées (1 ; 0), P0 le point d'intersection de (Cg) et de l'axe des abscisses, M0 le point de (Cf) ayant même abscisse que P0 et H0 le projeté orthogonal de M0 sur l'axe des ordonnées.

On nomme \mathscr{D}_1 le domaine du plan délimité par la courbe (Cf) et les segments [IP0] et [P0M0].
On nomme \mathscr{D}_2 le domaine du plan délimité par le rectangle construit à partir de [OI] et [OH0].
Démontrer que les deux domaines \mathscr{D}_1 et \mathscr{D}_2 ont même aire, puis donner un encadrement d'amplitude 0,2 de cette aire.

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 2



7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i} , \vec{j}).
On s'intéresse aux fonctions f dérivables sur [0 ; +\infty[ vérifiant les conditions :
\left \lbrace \begin{array}{l} (1) : \text{pour tout réel } x \text{ appartenant à } [0 ; +\infty[ f'(x) = 4 - \left(f(x)\right)^2\\ (2) : f(0) = 0 \\ \end{array} \right.
On admet qu'il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).

Les deux parties peuvent être traitées de manière idépendante.

Partie A : Etude d'une suite

Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d'Euler avec un pas égal à 0,2.
On obtient ainsi une suite de points notés (Mn), d'abscisse x_n et d'ordonnée yn telles que :
\left \lbrace \begin{array}{l} x_0 = 0 \text{ et pour tout entier naturel } n, x_{n+1} = x_n + 0,2\\ y_0 = 0 \text{ et pour tout entier naturel } n, y_{n+1} = -0,2y_n^2 + y_n + 0,8\\ \end{array} \right.

1. a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau ci-dessous. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10-4 près.

n 0 1 2 3 4 5 6 7
x_n 0 0,2 0,4          
yn 0 0,80000 1,4720          

    b) Placer, sur le graphique ci-dessous, les points Mn pour n entier naturel inférieur ou égal à 7.

Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 3

    c) D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (yn) et sur sa convergence ?

2. a) Pour x réel, on pose p(x) = -0,2x^2 + x + 0,8.
Montrer que si x \in [0 ; 2], alors p(x) \in [0 ; 2].
    b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 \leq yn \leq 2.
    c) Etudier le sens de variation de la suite (yn).
    d) La suite (yn) est-elle convergente ?

Partie B : Etude d'une fonction

Soit g la fonction définie sur [0 ; +\infty[ par \large g(x) = 2 \dfrac{e^{4x} - 1}{e^{4x} + 1} et (Cg) sa courbe représentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a) Montrer que (Cg) admet une asymptote \Delta dont on donnera une équation.
    b) Etudier les variations de g sur [0 ; +\infty[.

3. Déterminer l'abscisse \alpha du point d'intersection de \Delta et de la tangente à (Cg) à l'origine.

4. Tracer, dans le repère fourni, la courbe (Cg) et les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

Question 1. Réponse : C
P(X = 60) = \dfrac{4}{10} \\ P(X = 20) = \dfrac{3}{10} \\ P(X = 0) = \dfrac{3}{10}\\ E(X) = 60 \times \dfrac{4}{10} + 20 \times \dfrac{3}{10} = 30
L'espérance de gain est égale à la mise : le jeu est équitable.

Question 2. Réponse : B
Soit A l'évènement : il tire au moins un oui.
Il ne tire aucun oui est : P(\overline{\text{A}}) = \left( \dfrac{6}{10} \right)^4 = \dfrac{81}{625}
P(\text{A}) = 1 - P(\overline{\text{A}}) = \dfrac{544}{625}

Question 3. Réponse : C
Tirer 2 bulletins différents signifie :
  Tirer 1 bulletin noté oui et un autre d'une autre sorte :
{4 \choose 1} \times {6 \choose 1} = 24 \text{ cas}
  ou bien un noté non et un blanc :
{3 \choose 1} \times {3 \choose 1} = 9 \text{ cas}
La probabilité est donc égale à \dfrac{24 + 9}{{10 \choose 2}} = \dfrac{33}{45} = \dfrac{11}{15}




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. a) z_{\text{B}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i \sin \dfrac{\pi}{3} \right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}
z_{\text{C}} est le conjugué de z_{\text{B}} donc z_{\text{C}} = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}

1. b)
Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 4

Comme |z_{\text{A}}| = |z_{\text{B}}| = |z_{\text{C}}| = 2, alors les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

2. On a : \text{OB} = |z_{\text{B}}| = 2
\text{OC} = |z_{\text{C}}| = 2 \\ \text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 \\ \text{AC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| = |-1 - i\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} = 2
Donc OB = OC = AB = AC, OABC est un losange.

3. |z| = \text{OM}\text{ et }|z - 2| = |z - z_{\text{A}}| = \text{AM}
Donc le point \text{M} \in D si et seulement si OM = AM.
Il s'agit de la médiatrice de [OA] c'est-à-dire (BC) (en rose sur le graphique).

Partie B

1. a) Pour tout z \neq 2, z = \dfrac{-4}{z-2} \Longleftrightarrow z(z-2) = 4 \Longleftrightarrow z^2 - 2z + 4 = 0
\Delta = 4 - 16 = -12<0
L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
z' = \dfrac{2 + i\sqrt{12}}{2} =\dfrac{2 + 2i\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3} = z_{\text{B}}   et   z

1. b) La question précédente montre que B et C sont invariants. Les points associés aux points B et C sont B et C.

1. c) Le centre de gravité de OAB a pour affixe : z_{\text{G}} = \dfrac{0 + z_{\text{A}} + z_{\text{B}}}{3}
z_{\text{G}} = \dfrac{2 + 1 + i\sqrt{3}}{3} = 1 + i\frac{\sqrt{3}}{3}
On en déduit l'affixe de G'.
z_{\text{G}'} = \dfrac{-4}{z_{\text{G}} - 2} Or z_{\text{G}} - 2 = 1 + i\dfrac{\sqrt{3}}{3} - 2 = \dfrac{-3+i\sqrt{3}}{3}
z_{\text{G}'} = \dfrac{-12}{-3+i\sqrt{3}} = \dfrac{12(3+i\sqrt{3})}{12} = 3 + i\sqrt{3} = 3z_{\text{G}}
Donc \overrightarrow{\text{OG}'} = 3\overrightarrow{\text{OG}}

2. a) En utilisant le prérequis : |z_1 \times z_2|^2 = (z_1 \times z_2)\overline{(z_1 \times z_2)}
= z_1 \times z_2 \times \overline{z_1} \times \overline{z_2} \\ = (z_1 \overline{z_2}) \times (z_2 \overline{z_2})
Soit |z_1 \times z_2|^2 = |z_1|^2 \times |z_2|^2 puisque tout module est positif.
|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|
Pour tout z \neq 0 : \left| \dfrac{1}{z} \right|^2 = \left(\dfrac{1}{z} \times \overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} \right) = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{1}{\bar{z}}
= \dfrac{1}{z\bar{z}} = \dfrac{1}{|z|^2}
Pour tout z \neq 0, \left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}

2. b) Pour tout z \neq 2, z' - 2 = \dfrac{-4}{z-2} - 2 = \dfrac{-2z}{z-2}
|z' - 2| = \dfrac{|-2z|}{|z-2|} = \dfrac{2|z|}{|z-2|}

2. c) L'affixe de M vérifie :
|z| = |z - 2| et en utilisant la question précédente : |z' - 2| = \dfrac{2|z - 2|}{|z - 2|} = 2
M' appartient au cercle de centre A et de rayon 2.
(en turquoise sur le graphique)




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) \sigma est la similitude directe de centre \Omega d'angle \dfrac{\pi}{4} et de rapport \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

1. b) L'écriture complexe d'une similitude directe est z' = az + b|a| est égal au rapport de la similitude et \arg(a) est égal à l'angle de la similitude.
a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e^{i\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i
\boxed{a = \frac{1+i}{2}}
Le point invariant est tel que z' = z \Longleftrightarrow z = az + b \Longleftrightarrow z - az = b \Longleftrightarrow z(1 - a) = b
D'où : z = \dfrac{b}{1 - a}
\Omega(2 ; 0) est ce point invariant, donc : z = \dfrac{b}{1-a} = 2
b = 2(1 - a) = 2 \left(1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \right) = 2 \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i \right) = 1 - i
Donc z' = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)z + 1 - i

1. c) On calcule séparément chacun des deux membres :
z - z' = z - \left(\frac{1+i}{2}\right)z - 1 + i \\ = \left(\dfrac{1-i}{2}\right)z - 1 + i
i(2 - z') = i \left(2 - \dfrac{1+i}{2}z - 1 + i\right) \\ = 2i - \dfrac{i-1}{2}z - i - 1 \\ = \left(\dfrac{1-i}{2} \right) z - 1 + i
On en conclut que z - z' = i(2 - z')

2. a) Soit P un point quelconque différent de A.
Si Q est l'image de P dans la rotation de centre A et d'angle \dfrac{\pi}{2} on a : AP = AQ et (\overrightarrow{\text{AP}} , \overrightarrow{\text{AQ}}) = \dfrac{\pi}{2}
D'où : |p - a| = |q - a| et \arg \left(\dfrac{q-a}{p-a}\right) = \dfrac{\pi}{2}
\Longleftrightarrow \left|\dfrac{q-a}{p-a}\right| = 1 et \arg  \left(\dfrac{q-a}{p-a}\right) = \dfrac{\pi}{2}
Le complexe de module r=1 et d'argument \theta=\pi/2 s'ecrit r\times e^{i\theta}=e^{i\pi/2}=i donc [text]\frac{q-a}{p-a}=i[/tex] d'où q-a=i(p-a). Cette dernière relation étant vraie si P=A on a le résultat demandé.

2. b) En utilisant l'égalité z - z' = i(2 - z') et la question précédente on voit que M est l'image du point \Omega dans la rotation de centre M' et d'angle \dfrac{\pi}{2}.
\Omega\text{MM}' est rectangle isocèle en M' et de sens direct.

3. a) D'après le 1. b) :
a_{n+1} = \dfrac{1+i}{2}a_n + 1 - i pour tout n \in \mathbb{N}
a_{n+1} - 2 = \dfrac{1+i}{2} a_n - (1 + i) \\ = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)(a_n - 2)
On passe d'un terme de la suite a_n- 2 au suivant en multipliant par \dfrac{1+i}{2}.
Pour tout n \in \mathbb{N}, a_n - 2 = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)^n (a_0 - 2) (penser à rédiger une récurrence.)
On sait que \dfrac{1+i}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} e^{i\dfrac{\pi}{4} (1. b))
On en déduit : \left(\dfrac{1+i}{2}\right)^n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\dfrac{n\pi}{4}
a_0 - 2 = i = e^{i\dfrac{\pi}{2}
On a : a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{i\dfrac{n\pi}{4}} e^{\dfrac{\pi}{2}} + 2
a_n = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n e^{\dfrac{i(n+2)\pi}{4}} + 2

3. b) a_5 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^5 e^{i\frac{7\pi}{4}} + 2
= \dfrac{1}{(\sqrt{2})^5} e^{i\frac{7\pi}{4}} + 2 \\ = \dfrac{1}{4\sqrt{2}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2 \\ = \dfrac{17}{8} - \dfrac{i}{8}

4. On cherche n tel que \Omega \text{A}_n \leq 0,01
\Longleftrightarrow |a_n - 2| \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{(\sqrt{2})^n} \leq 0,01
\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^n} \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}} \leq 0,01 \\ \Longleftrightarrow 2^{-\frac{n}{2}} \leq 0,01
On a donc : 2^{-\frac{n}{2} \leq 10^{-2}
La fonction ln est croissante donc -\dfrac{n}{2} \ln 2 \leq \ln 10^{-2} soit \dfrac{n}{2} \ln 2 \geq 2 \ln 10 car \dfrac{\ln 2}{2} > 0
n \geq \dfrac{4 \ln 10}{\ln 2} \approx 13,29
Ainsi n_0 = 14




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. g est dérivable comme différence de fonctions dérivables sur ]0; +\infty[.
g'(x) = \dfrac{1}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2} \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}
x > 0 donc g'(x) > 0. g est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[. \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty et\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}-\frac{2}{x}=-\infty
On a : \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty   et   \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} -\dfrac{2}{x} = -\infty
Donc \displaystyle \lim_{x \to \0^{+}} g(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty   et   \displaystyle \lim_{x \to +\infty} -\dfrac{2}{x} = 0
Donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty
On calcule g(2,3) \approx -0,037   et   g(2,4) \approx 0,042.
g est continue sur [2,3 ; 2,4]. Comme g(2,3) < 0   et   g(2,4) > 0, \exist x_0 \in [2,3 ; 2,4] tel que g(x_0) = 0.
Comme g est est strictement croissante sur [2,3;2,4], 2,3 < x_0 < 2,4.

2. a) x_0 vérifie g(x_0) = 0 soit \ln x_0 = \dfrac{2}{x_0}
f(x_0) = \dfrac{5 \ln x_0}{x_0} = \dfrac{5 \times \dfrac{2}{x_0}}{x_0} = \dfrac{10}{x_0^2} \\ f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}

2. b) On constate que \dfrac{\ln x}{x} = \ln x \times \dfrac{1}{x} une primitive de u \times u' est \dfrac{1}{2}u^2
f est dérivable sur [1 ; a], elle admet des primitives.
\displaystyle \int_1^{a} f(t) dt = 5 \displaystyle \int_1^{a} \ln t \times \dfrac{1}{t} dt \\ = 5 \left[ \dfrac{1}{2} (\ln t)^2 \right]_1^{a} = \dfrac{5}{2} (\ln a)^2

3. D_1 \, : \, \displaystyle \int_1^{x_0} f(t) dt = \dfrac{5}{2}(\ln x_0)^2 = \dfrac{5}{2} \times \left(\dfrac{2}{x_0}\right)^2 = \dfrac{10}{x_0^2}
On remarque que M0 a pour abscisse x_0 et ordonnée f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}
H0 a la même ordonnée que M0, donc \text{OH}_0 = f(x_0) = \dfrac{10}{x_0^2}
Le domaine D_2 est un rectangle qui a pour surface \text{OI} \times \text{OH}_0 = 1 \times \dfrac{10}{x_0^2} = \dfrac{10}{x_0^2}
D_1 et D_2 ont même aire.
On sait que 2,3 < x_0 < 2,4, donc :
(2,3)^2 < x_0^2 < (2,4)^2 \\ \dfrac{10}{2,4^2} < \dfrac{10}{x_0^2} < \dfrac{10}{2,3^2}
\dfrac{10}{2,4^2} \approx 1,736   et   \dfrac{10}{2,3^2} \approx 1,890
1,7 \leq A \leq 1,9 avec une amplitude de 0,2.




exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une suite

1. a) Tableau complété :
n 0 1 2 3 4 5 6 7
x_n 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
y_n 0 0,8 1,472 1,8386 1,9625 1,9922 1,9984 1,9997


1. b) graphique
Bac scientifique Amérique du Nord Mai 2006 - terminale : image 5


1. c) Il semblerait que (y_n) croît et converge vers 2.

2. a) La focntion p est un polynôme donc dérivable, sa dérivée est définie sur [0 ; 2] par : p'(x) = -0,4x + 1.
p'(x) > 0 si -0,4x + 1 > 0 \Longleftrightarrow -0,4x > -1 \Longleftrightarrow x < 2,5
p est donc croissante sur [0,2].
Si 0 \leq x \leq 2, p(0) \leq p(x) \leq p(2)
p(0) = 0,8   et   p(2) = 2, donc 0 \leq p(x) \leq 2.
Si 0 \leq x \leq 2, p(x) \in [0 ; 2].

2. b) On raisonne par récurrence :
y_0 = 0 donc 0 \leq y_0 \leq 2 vraie
Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que 0 \leq y_n \leq 2 et vérifions que la relation est vraie au rang n+1 c'est-à-dire 0 \leq y_{n+1} \leq 2.
On remarque que y_{n+1} = p(y_n) donc :
0 \leq y_n \leq 2 entraîne p(0) \leq p(y_n) \leq p(2) car p est croissante sur [0,2], c'est-à-dire 0 \leq y_{n+1} \leq 2.
Le principe de récurrence permet d'affirmer que : 0 \leq y_n \leq 2 pour tout entier naturel n.

2. c) y_{n+1} - y_n = -0,2y_n^2 + 0,8 = 0,2(4 - y_n^2) = 0,2(2 + y_n)(2 - y_n)
0 \leq y_n \leq 2, donc 2 - y_n \geq 0 et 2 + y_n > 0
Donc y_{n+1} - y_n \geq 0
La suite (y_n) est donc croissante.

2. d) (y_n) est croissante et majorée par 2. D'après le théorème sur les convergences (y_n) converge.

Partie B : Étude d'une fonction

1. g est dérivable sur \mathbb{R} donc sur [0 ; +\infty[.
g'(x) = 2 \times \dfrac{4^{4x}(e^{4x}+1) - 4e^{4x}(e^{4x}-1)}{(e^{4x}+1)^2} \\ g'(x) = \dfrac{16e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2}

4 - [g(x)]^2 = 4 - 4 \times \dfrac{(e^{4x}-1)^2}{(e^{4x}+1)^2} \\ = \dfrac{4[(e^{4x}+1)^2-(e^{4x}-1)^2}{(e^{4x}+1)^2} \\ = \dfrac{4(2e^{4x}+2e^{4x})}{(e^{4x}+1)^2} \\ = 4 \times \dfrac{4e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2} \\ = g'(x) = \dfrac{16e^{4x}}{(e^{4x}+1)^2}
On voit que g'(x) = 4 - [(g(x)]^2
La première condition est réalisée.
De plus, g(0) = 0. La deuxième aussi.
g vérifie (1) et (2).

2. a) g(x) = 2 \times \dfrac{e^{4x}(1-e^{-4x})}{e^{4x}(1+e^{-4x})}=2 \times \dfrac{1-e^{-4x}}{1+e^{-4x}}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-4x} = 0 donc \displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x) = 2
y = 2 est asymptote à C au voisinage de +\infty.

2. b) La fonction exponentielle est strictement positive, donc pour tout x \in [0 ; +\infty[, g'(x) < 0, donc g est strictement croissante sur [0 ; +\infty[.

3. La tangente est donnée par la formule :
y = g'(a)(x - a) + g(a) au point x_a = 0
y = g'(0)(x - 0) + g(0) \\ y = \dfrac{16}{4}(x) + 0 \\ y = 4x
et \alpha vérifie 2 = 4\alpha donc \alpha = \dfrac{1}{2}
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