Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2006

L'utilisation d'une calcultrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité) Durée de l'épreuve : 4 heures

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ ; unité graphique 2 cm.
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = -1.
On considère l'application $f$ qui, à tout point M différent du point B, d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' définie par z' = $\frac{z - 1}{z + 1}$ .
On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants de $f$ , c'est-à-dire les points M tels que M = $f$ (M).

2. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, (z' - 1)(z + 1) = -2.
   b) En déduire une relation entre |z' - 1| et |z + 1|, puis entre arg(z' - 1) et arg(z + 1), pour tout nombre complexe z différent de -1.
Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M' appartient au cercle (C') de centre A et de rayon 1.

4. Soit le point P d'affixe p = -2 + i $\sqrt{3}$ .
   a) Déterminer la forme exponentielle de (p + 1).
   b) Montrer que le point P appartient au cercle (C).
   c) Soit Q le point d’affixe q =- $\bar{\text{p}}$ où $\bar{\text{p}}$ est le conjugué de p.
Montrer que les points A, P' et Q sont alignés.
   d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P' du point P par l’application $f$ . 5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k})$ , on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).
On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l'isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : « l'ensemble des points M de l’espace tels que $\overrightarrow{\text{AM}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 0$ est le plan (AlO) ».

Proposition 2 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que $|| \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}}|| = ||\overrightarrow{\text{MB}} - \overrightarrow{\text{MC}}||$ est la sphère de diamètre [BC] ».

Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ».

Proposition 4 : « le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2 $x$ + y +2z = 4 et le point H a pour coordonnées $\left(\frac89 \; ; \; \frac49 \; ; \; \frac89\right)$ ».

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique $\lbrace x = t\\ y = 2t\\ z = 2-2t\. (t \in \mathbb{R})$ ». 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Proposition 1 : « pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 2²ⁿ -1 ».

2. Proposition 2 : « si un entier relatif $x$ est solution de l'équation $x^2 + x \equiv 0$ (modulo 6) alors $x \equiv 0$ (modulo 3) ».

3. Proposition 3 : « l'ensemble des couples d'entiers relatifs ( $x$ ; y) solutions de l'équation 12 $x$ - 5 y = 3 est l'ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k $\in \mathbb{Z}$ ».

4. Proposition 4 : « il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a , b) - PGCD(a , b) = 1 ».

5. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture $\bar{\text{abc}}$ en base dix et N a pour écriture $\bar{\text{bca}}$ en base dix.
Proposition 5 : « Si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M - N est aussi divisible par 27 ». 4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On a posé à 1 000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :

Nombre de retards le 2^e mois \ Nombre de retards le 1^er mois	0	1	2 ou plus	Total
0	262	212	73	547
1	250	73	23	346
2 ou plus	60	33	14	107
Total	572	318	110	1000

1. On choisit au hasard un individu de cette population.
a) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois.
b) Déterminer la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois.

2. On souhaite faire une étude de l'évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul).
On fait les hypothèses suivantes :

si l'individu n'a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est 0,46.
si l'individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est 0,66.
si l'individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n + 1 est encore 0,66.

On note
A_n, l'événement « l'individu n'a eu aucun retard le mois n »,
B_n, l'événement « l'individu a eu exactement un retard le mois n »,
C_n, l'évènement « l'individu a eu deux retards ou plus le mois n ».
Les probabilités des événements A_n, B_n, C_n sont notées respectivement p_n, q_n, r_n.

   a) Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p₁, q₁ et r₁ sont obtenues à l'aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p₁, q₁ et r₁.
   b) Exprimer p_n+1 en fonction de p_n, q_n et r_n. On pourra s'aider d'un arbre.
   c) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p_n+1 = -0,2p_n +0,66.
   d) Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n non nul par u_n = p_n -0,55.
Démontrer que (u_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison.
    e) Déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ . En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} p_n$ . 6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ :
$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&0&&2&+\infty \\ \hline \;&+\infty&&&&4e^{-2}&& \\ f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow& \\ &&&0&&&&0 \\ \hline \end{array}$

On définit la fonction F sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x) = \displaystyle \int_2^x f(t) \text{d}t$ .

1. Déterminer les variations de la fonction F sur $\mathbb{R}$ .

2. Montrer que 0 $\leq$ F(3) $\leq$ 4e^-2.

Partie B

La fonction $f$ considérée dans la partie A est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 e^{-x}$ .
On appelle g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-x}$ .
On désigne par $(\mathscr{C})$ et $(\Gamma)$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et g dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ .
Les courbes sont tracées en annexe.

1. a) Montrer que les variations de la fonction $f$ sont bien celles données dans la partie A.
On ne demande pas de justifier les limites.
   b) Étudier les positions relatives des courbes $(\mathscr{C})$ et $(\Gamma)$ .

2. Soit h la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (x^2 - 1)e^{-x}$ .
    a) Montrer que la fonction H définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = (-x^2 - 2x - 1)e^{-x}$ est une primitive de la fonction h sur $\mathbb{R}$ .
   b) Soit un réel $\alpha$ supérieur ou égal à 1.
On considère la partie du plan limitée par les courbes $(\mathscr{C})$ et $(\Gamma)$ et les droites d'équations $x$ = 1 et $x = \alpha$ .
Déterminer l'aire $\mathscr{A}(\alpha)$ , exprimée en unité d'aire, de cette partie du plan.
   c) Déterminer la limite de $\mathscr{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers + $\infty$ .

3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e^-2, la droite d'équation y = m coupe la courbe $(\mathscr{C})$ au point P( $x_{\text{P}}$ ; m) et la courbe $(\Gamma)$ au point Q( $x_{\text{Q}}$ ; m).

L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de $x_{\text{P}}$ appartenant à l'intervalle ]- $\infty$ ; -1] telle que la distance PQ soit égale à 1.
   a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que $x_{\text{P}} \in$ ]- $\infty$ ; -1] et PQ = 1.
   b) Exprimer la distance PQ en fonction de $x_{\text{P}$ et de $x_{\text{Q}}$ .
Justifier l'égalité $f(x_{\text{P}}) = g(x_{\text{Q}})$ .
   c) Déterminer la valeur de $x_{\text{P}}$ telle que PQ = 1.

sujet du bac scientifique polynésie française 2006 : image 1

Annexe de l'exercice 4

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. M = $f$ (M) revient à écrire $z' = z$ .
Il faut résoudre $z = \frac{z-1}{z+1}$ avec $z \not = -1$
$z = \frac{z-1}{z+1} \: \Longleftrightarrow \: z(z+1) = z-1 \\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow \: z^2+z-z=-1 \\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow \: z^2 = -1$
Alors l'équation admet deux solutions : $z = +i$ ou $z = -i$ .
$f$ admet deux points invariants $z = +i$ ou $z = -i$ avec $z \not = -1$

2. a) Avec $z \not = -1$ , on a :
$(z'-1)(z+1) = \left(\frac{z-1}{z+1}-1\right)(z+1) = \frac{z-1-z-1}{(z+1)} (z+1) = -2$

2. b) Du résultat précédent , on en déduit que :
$|(z'-1)(z+1)|=|-2|$
donc : $|z'-1||z+1|=2$ avec la condition $z \not = -1$ .
C'est-à-dire que : $\text{AM}' \times \text{BM} = 2 \hspace{75pt} \arg[(z'-1)(z+1)] = \arg(-2)(2\pi)$ , et d’après le cours, on obtient : $\arg(z'-1)+\arg(z+1) = \pi (2 \pi)$
Donc : $\left(\overrightarrow{u} , \overrightarrow{\text{AM}'}\right) + (\overrightarrow{u} , \overrightarrow{\text{BM}}) = \pi (2\pi)$

3. $\text{BM} = 2$ car M appartient au cercle de centre $B$ et de rayon $2$ .
Or, on a d'après ce qui précède :
$\text{AM}' \times \text{BM} = 2$ , donc $\text{AM}' \times 2 = 2$
On tire de cette égalité : $\text{AM}' = 1$
Donc M' appartient au cercle de centre A et de rayon 1.

4. a) On a : $p + 1 = -1 + i\sqrt{3}$
Alors : $|p+1| = |-1+i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2} = 2$
Ce qui donne : $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
On peut prendre $\theta = \frac{2\pi}{3}$
Donc $p+1 = 2 e^{i\frac{2\pi}{3}}$ , c'est la forme exponentielle demandée .

4. b) On a : $|(p+1)| = |2e^{i\frac{2\pi}{3}}| = 2$ car $|e^{i\frac{2\pi}{3}}|=1$
On conclut de ce résultat que le point $P$ appartient au cercle $(\mathfrak{C})$ .
Remarque : On peut aussi poser $|\text{BP}| = |z_p-z_b| = |p+1| = 2$

4. c) A, P' et Q' sont alignés si $\overrightarrow{\text{AP}'}$ et $\overrightarrow{\text{AQ}}$ sont colinéaires.
$p' = \frac{p-1}{p+1}$ est l'affixe de P' image de P par $f$ .
$\overrightarrow{\text{AP}'}$ a pour affixe : $p' - 1 = \frac{-2}{p+1} = \frac{-2}{-2 + i\sqrt{3}+1} = \frac{-2}{-1+i\sqrt{3}} = \frac{-2(-1-i\sqrt{3})}{(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})} = \frac{-2(-1-i\sqrt{3})}{4} = \frac{(1+i\sqrt{3})}{2}$
$\overrightarrow{\text{AQ}}$ a pour affixe $\bar{p} - 1 = -\bar{(-2+i\sqrt{3})}-1 = -(-2-i\sqrt{3})-1 = 1+i\sqrt{3}$
Il en résulte que $\overrightarrow{\text{AQ}} = 2\overrightarrow{\text{AP}'}$ , ce qui montre que A, P' et Q sont alignés.

4. d) P' est le point d'intersection de la droite (AQ) (d'après 2.c)) et du cercle de centre A et de rayon 1 (d'après 3.) tel que : $(\vec u \, , \, \overrightarrow{AP'}) + (\vec u,\overrightarrow{BP}) = \pi (2\pi)$ d’après le 2. b).
On trace donc le cercle $(\mathfrak{C})$ de centre B et de rayon 2 et le cercle $(\mathfrak{C'})$ de centre $A$ de rayon 1 ainsi que la droite (AQ).
$Q$ est le symétrique de P par rapport à l’axe $(Oy)$ puisque $q = -\overline{p}$ .
Enfin, $(\vec u,\overrightarrow{\text{BP}}) = \arg(p+1) = \frac{2\pi}{3} \quad (2\pi)$ (d'après 4.a)).
P' est donc le point d’intersection de (AQ) et de $(\mathfrak{C'})$ tel que $(\vec u,\overrightarrow{\text{AP}'}) = \pi - \frac{2\pi}{3}\quad (2\pi)$ (d'après 2. b).

sujet du bac scientifique polynésie française 2006 : image 3

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Proposition 1 : Fausse
Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{\text{AI}}$ : I étant le milieu de [BC], ses coordonnées sont :
$\left(\frac{0+2}{2}\ , \ \frac{4+0}{2}\ ,\ \frac{0+0}{2}\right) = (1,2,0)$
et donc $\overrightarrow{\text{AI}}$ a pour coordonnées : $\left(1-0\ ;\ 2-0\ ,\ 0-2\right)=(1,2,-2)$
Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{\text{BC}}$ :
$\left(2-0\ ,\ 0-4\ ,\ 0-0\right)=(2,-4,0)$
On a donc : $\overrightarrow{\text{AI}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = 1\times 2 + 2 \times(-4) + (-2) \times 0 = -6\neq0$ .
Le point I n'appartient pas au plan à l'ensemble cherché, donc ce n'est pas le plan (AIO).

Proposition 2 : Vraie
On a : $\overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}} = \overrightarrow{\text{MI}} + \overrightarrow{\text{IB}} + \overrightarrow{\text{MI}} + \overrightarrow{\text{IC}} = 2\overrightarrow{\text{MI}}$ ( relation de Chasles appliqué au point I)
Et : $\overrightarrow{\text{MB}} - \overrightarrow{\text{MC}} = \overrightarrow{\text{CB}}$ .
Donc :
$||\overrightarrow{\text{MB}} - \overrightarrow{\text{MC}}|| = ||\overrightarrow{\text{CB}}|| \\ ||2\overrightarrow{\text{MI}}|| = ||\overrightarrow{\text{CB}}||$
Ce qui équivaut à écrire : $\text{MI} = \frac{1}{2}\text{BC}$ .
L’ensemble des points M est la sphère de diamètre [BC] et de centre I.

Proposition 3 : Fausse
(OA) est orthogonale au plan (OBC).
Or, l'aire du triangle OBC qui est un triangle rectangle en O est : $S_{OBC} = \frac{\text{OB} \times \text{OC}}{2} = \frac{4\times 2 }{2} = 4$
Donc le volume du tétraède OABC est : $V_{OABC} = \frac{1}{3} \times \text{OA} \times 4 = \frac{1}{3} \times 2 \times 4 = \frac{8}{3} \not = 4$

Proposition 4 : Vraie
Les coordonnées de A, B, C vérifient l’équation du plan.
Le vecteur normal au plan (ABC) est : $\overrightarrow{u}(2,1,2)$
H est le projeté orthogonale de O sur (ABC) donc, (OH) est orthogonale à (ABC) et $H \in (\text{ABC})$ . Le vecteur $\overrightarrow{\text{OH}}$ est alors colinéaire à $\overrightarrow{u}$
Donc il existe $k$ tel que : $\overrightarrow{\text{OH}} = k\overrightarrow{u}$
Les coordonnées de H sont $(2k,k,2k)$ .
Or $H \in (\text{ABC})$ donc H vérifie l’équation de ce plan : $2(2k)+k+2(2k) = 4$ .
Ce qui donne après la resolution : $k = \frac{4}{9}$
On en déduit les coordonnées de $\text{H}\left(\frac{8}{9},\frac{4}{9},\frac{8}{9}\right)$ .

Proposition 5 : Vraie
L’isobarycentre a pour coordonnées $x = \frac{1}{3}(0+0+2) = \frac{2}{3}$ , $y = \frac{1}{3}(0+4+0) = \frac{4}{3}$ et $z = \frac{1}{3}\times 2 = \frac{2}{3}$
Donc le vecteur $\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{AG}}$ a pour coordonnées $(1,2,-2)$ . Or ce vecteur est un vecteur directeur de la droite (AG), droite qui passe par A. Une représentation paramétrique de (AG) est donc :
$\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \begin{array}{l} x & x_A+tx_{(2/3)\overrightarrow{AG}}=t\\ y=y_A+ty_{(2/3)\overrightarrow{AG}}=2t \\ z & z_A+tz_{(2/3)\overrightarrow{AG}}=2-2t\\ \end{\tabular}\qquad\qquad t\in{\mathbb R} \\ \end{array} \right.$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Proposition 1 : Vraie
$2^{2n} - 1 = 4^n-1$ divisible par 3 si $4^n - 1 \equiv 1$ ou $4^n \equiv 1$ .
On constate que $4 \equiv 1[3]$ soit $4^n \equiv 1[3]$ (propriété des congruences)
Remarque : deux autres méthodes pouvaient etre utilisées :
Calculer la somme d’une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 1 et démontrer que cette somme est divisible par 3
Faire un raisonnement par récurrence

Proposition 2 : Fausse :
Pour $x = 2$ ou $x = 5$ on a $2^2 + 2 \equiv 0[6]$ et a $5^2 + 5 \equiv 0[6]$ .
Mais 2 et 5 ne sont pas des multiples de 3.

Proposition 3 : Fausse
Le couple (9 , 21) est solution évidente de $12x - 5y = 3$
On doit avoir $4 + 10k = 9$ ce qui implique $k = \frac{1}{2}$ qui n’appartient pas à $\mathbb{Z}$ .

Proposition 4 : Vraie
On pose $\text{ppcm}(a,b)=m$ et $\text{pgcd}(a,b)=d$ .
On a $m - d = 1$ et on pose $a = da'$ et $b = db'$ , $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux et on sait que $md = ab$ (Cours).
Donc $md = da' \times db'$ , soit alors $m = da' b'$ .
$m - d = 1$ devient $da' b' - d = 1$ , c'est-à-dire $d(a' b' - 1) = 1$ .
Le seul diviseur de 1 est 1 donc $d = 1$
$a' b' - 1 = 1$ donc $a' b' = 2$ .
Le seul couple possible est $a = 1 \text{ et } b = 2$ .

Proposition 4 : Vraie
$M = 100a + 10b + c = 27k$ (car $M$ est divisible par 27 donc il existe un entier $k$ tel que $M = 27k$ ) $\blue (*)$
$N=100b+10c+a$
$M - N = 99a - 90b - 9c$ avec $c = 27k - 100a - 10b$ tirée de $\blue (*)$
$M - N = 9(11a - 10b - 27k + 100a + 10b) = 9(111a - 27k) = 27(37a - 9k)$ , on remarque que $37a - 9k$ est un entier.
Donc $27/M - N$ .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Déterminons la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le premier mois :
A l'aide du tableau, on constate que 212 personnes ont eu un retard le premier mois et 110 personnes ont eu deux ou plus retards.
On compte donc 318 + 110 = 428 personnes qui ont eu au moins un retard le premier mois (sur 1 000 personnes au total).
La probabilité cherchée est $\frac{428}{1000} = 0,428$

1. b) Déterminons la probabilité que l'individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu'il n'en a pas eu le premier mois :
A l'aide du tableau, on constate que parmi les 572 personnes n'ayant pas eu de retard le premier mois, 250 ont eu un retard le deuxième mois et 60 ont eu deux retards ou plus.
On compte donc 250 + 60 = 310 personnes ayant eu un retard ou plus le deuxième mois parmi les 572 personnes n'ayant pas eu de retard le premier mois.
La probabilité cherchée est $\frac{310}{572} = 0,542$

2. a) Déterminons les probabilités p₁, q₁ et r₁ :
En considérant la dernière ligne du tableau, on détermine :
la probabilité p₁ que l'individu n'ait eu aucun retard le premier mois : p₁ = $\frac{572}{1000} = 0,572$
la probabilité q₁ que l'individu ait eu exactement un retard le premier mois : q₁ = $\frac{318}{1000} = 0,318$
et la probabilité r₁ que l'individu ait deux retards ou plus le premier mois : r₁ = $\frac{110}{1000} = 0,11$

2. b) Exprimons p_n+1 en fonction de p_n, q_n et r_n :
A_n, B_n et C_n forment une partition de l'univers. En appliquant la formule des probabilités totales, on a :
p_n+1 = p(A_n+1) = p(A_n+1 $\cap$ A_n) + p(A_n+1 $\cap$ B_n) + p(A_n+1 $\cap$ C_n). Donc :
p_n+1 = p(A_n) × p_{A_n}(A_n+1) + p(B_n) × p_{B_n}(A_n+1) + p(C_n) × p_{C_n}(A_n+1)
p_n+1 = p_n × 0,46 + q × 0,66 + r_n × 1,66
D'où : p_n+1 = 0,46 p_n + 0,66 q_n + 0,66 r_n

2. c) Montrons que, pour tout entier naturel n non nul, p_n+1 = -0,2p_n + 0,66 :
Pour tout entier naturel n non nul, A_n, B_n et C_n forment une partition de l'univers, donc : p + q_n + r_n = 1.
Donc : q_n + r_n = 1 - p_n. On en déduit alors que :
p_n+1 = 0,46 p_n + 0,66(q_n + r_n)= 0,46 p_n + 0,66(1 - p_n)
D'où : p_n+1 = -0,2 p_n + 0,66

2. d) Démontrons que (u_n) est une suite géométrique :
Pour tout entier natirel n non nul,
u_n+1 = p_n+1 - 0,55
u_n+1 = -0,2 p_n + 0,66 - 0,55
u_n+1 = -0,2p_n + 0,11
u_n+1 = -0,2 $\left(p_n - \frac{0,11}{0,2}\right)$
u_n+1 = -0,2(p_n - 0,55)
u_n+1 = -0,2 u_n
Donc : (u_n) est une suite géométrique de raison -0,2 et de premier terme u₁ = p₁ - 0,55 = 0,572 - 0,55 = 0,022

2. e) Déterminons $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} p_n$ :
De la question précédente, on en déduit que pour tout entier naturel n non nul, u_n = u₁ q^n-1 = 0,022 × (-0,2)^n-1
Comme |-0,2| < 1, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
De u_n = p_n - 0,55, on en déduit que : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} p_n = 0,55$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Déterminons les variations de la fonction F sur $\mathbb{R}$ :
F est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , F '( $x$ ) = $f(x)$
Or, d'après le tableau de variations de la fonction $f$ , pour tout réel $x$ , $f(x) \geq 0$ .
D'où : pour tout réel $x$ , F '( $x$ ) $\geq$ 0.
F est donc croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. Montrons que 0 $\leq$ F(3) $\leq$ 4e^-2 :
F(3) = $\displaystyle \int_2^3 f(t) \; \text{d}t$
Or, d'après le tableau de variations de la fonction $f$ , $\forall t \in$ [2 ; 3], 0 $\leq f(t) \leq$ 4e^-2.
D'où : $\displaystyle \int_2^3 0 \; \text{d}t \leq \int_2^3 f(t) \; \text{d}t \leq \int_2^3 4e^{-2} \; \text{d}t$
Donc : 0 $\leq$ F(3) $\leq$ 4e^-2

Partie B

1. a) Montrons que les variations de la fonction $f$ sont bien celles données dans la partie A :
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , on a : $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = xe^{-x}(2 - x)$
Pour tout réel $x$ , $e^{-x} > 0$ . Donc $f'(x)$ est du signe de $x(2 - x)$ .

$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline \; & -\infty & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline x & & - & 0&+&&+& \\ \hline (2 - x)&&+&&+&0&-& \\ \hline x(2 - x)&&-&0&+&0&-& \\ \hline \end{array}$

D'où : $f$ est positive sur [0 ; 2] et négative sur ]- $\infty$ ; 0] et sur [2 ; + $\infty$ [.
D'où : $f$ est décroissante sur ]- $\infty$ ; 0] et sur [2 ; + $\infty$ [ et $f$ est croissante sur [0 ; 2].
De plus, $f(0) = 0^2 \times e^{-0} = 0$ et $f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2}$
On retrouve bien les données du tableau de variations de la partie A.

1. b) Étudions les positions relatives des courbes $(\mathscr{C})$ et $(\Gamma)$ :
Pour cela, étudions le signe de $f(x) - g(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Pour tout réel $x$ , $f(x) - g(x) = x^2 e^{-x} - e^{-x} = (x^2 - 1)e^{-x}$
Pour tout réel $x$ , $e^{-x} > 0$ , donc $f(x) - g(x)$ est du signe de $(x^2 - 1)$ . Donc :
$f(x) - g(x)$ < 0 si $x \in$ ]-1 ; 1[.
$f(x) - g(x)$ > 0 si $x \in ]-\infty ; -1] \cup ]1; +\infty[$ .
$f(x) - g(x)$ = 0 si $x$ = -1 ou $x$ = 1.
D'où : $(\scr{C})$ est en dessous de $(\Gamma)$ sur ]-1 ; 1[,
$(\scr{C})$ est au-dessus de $(\Gamma)$ sur $]-\infty ; -1] \text{ et } ]1; +\infty[$ ,
Les courbes $(\scr{C})$ et $(\Gamma)$ se coupent aux points d'abscisse -1 et 1.

2. a) Montrons que la fonction H définie sur $\mathbb{R}$ est une primitive de la fonction h sur $\mathbb{R}$ :
H est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , on a :
$\text{H}'(x) = (-2x - 2)e^{-x} - (-x^2 - 2x - 1)e^{-x}\\ \text{H}'(x) = (-2x - 2 + x^2 + 2x + 1)e^{-x} \\ \text{H}'(x) = (x^2 - 1)e^{-x} = h(x)$
D'où : H est une primitive de h sur $\mathbb{R}$ .

2. b) Déterminons l'aire $\mathscr{A}(\alpha)$ :
Sur [1 ; $\alpha$ ], $f(x) - g(x) \geq 0$ , donc :
$\mathscr{A}(\alpha) = \displaystyle \int_1^{\alpha} (f(x) - g(x)) \;\text{d}x = \displaystyle \int_1^{\alpha} h(x) \;\text{d}x = [H(x)]_1^{\alpha}\\ \mathscr{A}(\alpha) = H(\alpha) - H(1) = (-\alpha^2 - 2\alpha - 1)e^{-\alpha} - (-1^2 - 2 - 1)e^{-1}\\ \mathscr{A}(\alpha) = -(\alpha + 1)^2 e^{-\alpha} + 4e^{-1}$
D'où : $\mathscr{A}(\alpha) = -(\alpha + 1)^2 e^{-\alpha} + 4e^{-1} \text{u.a.}$

2. c) Déterminons la limite de $\mathscr{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers + $\infty$ :
$\mathscr{A}(\alpha) = -(\alpha + 1)^2 e^{-\alpha} + 4e^{-1} = -\alpha e^{-\alpha} - e^{-\alpha} + 4e^{-1}$
$\.\array{r$ \displaystyle \lim_{\alpha \to +\infty} \; \alpha e^{-\alpha} = 0\\ \lim_{\alpha \to +\infty} e^{-\alpha} = 0} \rbrace \hspace{10pt} \text{ donc } \lim_{\alpha \to +\infty} \left(-\alpha e^{-\alpha} - e^{-\alpha} + 4e^{-1}\right) = 4e^{-1}$
D'où : $\displaystyle \lim_{\alpha \to +\infty} \mathscr{A}(\alpha) = 4e^{-1}$

3. a) Faisons apparaître approximativement sur le graphique les points P et Q :

sujet du bac scientifique polynésie française 2006 : image 2

2. b) Exprimons la distance PQ :
PQ² = (x_P - x_Q)² + (y_P - y_Q)²
PQ² = (x_P - x_Q)² + (m - m)²
D'où : PQ = |x_P - x_Q| = x_P - x_Q (d'après le graphique).

Justifions l'égalité $f(x_{\text{P}}) = g(x_{\text{Q}})$ :
La droite y = m coupe la courbe $(\scr{C})$ au point P(x_P ; m), donc f(x_P) = m et elle coupe la courbe $(\Gamma)$ au point Q(x_Q ; m), donc g(x_Q) = m.
D'où : f(x_P) = g(x_Q).

2. c) Déterminons la valeur de $x_{\text{P}}$ telle que PQ = 1 :
Comme PQ = 1, alors x_Q = x_P - 1.
L'égalité f(x_P) = g(x_Q) s'écrit alors :
$x_{\text{P}}^2 e^{-x_{\text{P}}} = e^{-x_{\text{Q}}} \Longleftrightarrow x_{\text{P}}^2 e^{-x_{\text{P}}} = e^{-x_{\text{P}} + 1}\\ \Longleftrightarrow x_{\text{P}}^2 e^{-x_{\text{P}}} - e e^{-x_{\text{P}}} = 0 \\ \Longleftrightarrow (x_{\text{P}}^2 - e) = 0\\ \Longleftrightarrow x_{\text{P}} = -\sqrt{e} \text{ ou } x_{\text{P}} = \sqrt{e}$
Or, x_P < -1, donc $x_{\text{P}} = -\sqrt{e}$

Publié par Cel/cva le 19-01-2008

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