Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Métropole - Session Juin 2006

Les calcultrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ un repère orthonormal de l'espace.
On considère les points A (2; 4; 1), B (0; 4; ?3), C (3; 1; ?3), D (1; 0; ?2), E (3; 2; ?1), $\text{I} \left(\dfrac{3}{5}; 4; -\dfrac{9}{5}\right)$ .

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse.
Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : $2x + 2y - z - 11 = 0$ .

2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :
$(\text{CD}) \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & -1+2t \\ y & -1+t \\ z & 1-t \\ \end{array} \right. \hspace{10pt} (t\in\mathbb{R})$

5. Le point I est sur la droite (AB).

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 e^{1 - x}$ . On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.
    a) Déterminer les limites de $f$ en - $\infty$ et en + $\infty$ ; quelle conséquence graphique pour $\mathcal{C}$ peut-on en tirer ?
    b) Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Déterminer sa fonction dérivée $f'$ .
    c) Dresser le tableau de variation de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}$ .

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'intégrale $\text{I}_n$ défini par $\text{I}_n = \displaystyle \int_0^1 x^n e^{1-x} dx$ .
    a) Etablir une relation entre I_{n+ 1} et I_n.
    b) Calculer I₁, puis I₂.
    c) Donner une interprétation graphique du nombre I₂. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1. c)

3. a) Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a l'inégalité suivante : $x^n \leq x^n e^{1 - x} \leq e x^n$ .
    b) En déduire un encadrement de I_n puis la limite de I_n quand n tend vers + infini

.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$
Dans tout l'exercice, $\mathcal{P} \backslash {\text{O}}$ désigne le plan $\mathscr{P}$ privé du point origine O.

1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : $\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : $\arg(z) = (\vec{u} ; \vec{w})$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
    a) Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que $\arg \left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg\left(z'\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
    b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$ , $b$ , $c$ , on a : $\arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) = (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}})$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.

2. On considère l'application $f$ de $\mathcal{P} \backslash {\text{O}}$ dans $\mathcal{P} \backslash {\text{O}}$ qui, au point M du plan d'affixe $z$ , associe le point M' d'affixe $z'$ définie par $z' = \dfrac{1}{\bar{z}}$ . On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives 1 et i.
    a) Démontrer que pour $z \neq 0$ , on a $\arg(z') = \arg(z)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
En déduire que, pour tout point M de $\mathcal{P} \backslash {\text{O}}$ , les points M et $\text{M}' = f(\text{M})$ appartiennent à une même demi-droite d'origine O.
    b) Déterminer l'ensemble des points M de $\mathcal{P} \backslash {\text{O}}$ tels que $f(\text{M}) = \text{M}$ .
    c) M est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U, et V, on admet que M' est aussi distinct de O, U, et V.
Établir l'égalité $\dfrac{z'-1}{z'-i} = \dfrac{1}{i}\left(\dfrac{\bar{z}-1}{\bar{z}+i}\right) = -\text{i }\overline{\left(\dfrac{z-1}{z-i}\right)}$
En déduire une relation entre $\arg\left(\dfrac{z'-1}{z'-i}\right)$ et $\arg\left(\dfrac{z-1}{z-i}\right)$

3. a) Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq i$ et soit M le point d'affixe $z$ . Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si $\dfrac{z-1}{z-i}$ est un nombre réel non nul.
    b) Déterminer l'image par $f$ de la droite (UV) privée de U et de V.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

II s'agit de résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système $(\mathcal{S}) \left \lbrace \begin{array}{l} n \equiv 13 (19) \\ n \equiv 6 (12) \\ \end{array} \right.$

1. Démontrer qu'il existe un couple $(u, v)$ d'entiers relatifs tel que : $19u + 12v = 1$ .
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N = 13 \times 12v + 6 \times 19u$ est une solution de $(\mathcal{S})$ .

2. a) Soit $n_0$ une solution de $(\mathcal{S})$ , vérifier que le système $(\mathcal{S})$ équivaut à $\left \lbrace \begin{array}{l} n \equiv n_0 (19) \\ n \equiv n_0 (12) \\ \end{array} \right.$
b) Démontrer que le système $\left \lbrace \begin{array}{l} n \equiv n_0 (19) \\ n \equiv n_0 (12) \\ \end{array} \right.$ équivaut à $n \equiv n_0 (12 \times 19)$ .

3. a) Trouver un couple $(u, v)$ solution de l'équation $19u + 12v = 1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante.
b) Déterminer l'ensemble des solutions de $(\mathcal{S})$ (on pourra utiliser la question 2. b)).

4. Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.
On divise $n$ par 228 = 12 × 19. Quel est le reste $r$ de cette division ?

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. A chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.
    a) Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
    b) Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
    c) Quelle est la probabilité $p_n$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ?
    d) Pour quelles valeurs de n a-t-on : $p_n > 0,99$ ?

2. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s'il est bien équilibré ou s'il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Face k	1	2	3	4
Nombre de sorties de la face k	58	49	52	41

    a) Calculer les fréquences de sorties f_k observées pour chacune des faces.
    b) On pose $d^2 = \displaystyle \sum_{k=1}^4\left(f_k-\frac{1}{4}\right)^2$ . Calculer d².
    c) On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d². On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d² les résultats suivants :

Minimum	D₁	Q₁	Médiane	Q₃	D₉	Maximum
0,00124	0,00192	0,00235	0,00281	0,00345	0,00452	0,01015

Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé ?

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. VRAI
On peut vérifier que les points A, B et C appartiennent au plan (ABC) :
2 × 2 + 2 × 4 - 1 - 11 = 0, donc A appartient au plan (ABC).
2 × 0 + 2 × 4 + 3 - 11 = 0, donc B appartient au plan (ABC).
2 × 3 + 2 × 1 + 3 - 11 = 0, donc C appartient au plan (ABC).
Un plan étant défini par trois points distincts, le plan (ABC) a donc pour équation $2x + 2y - z - 11 = 0$ .

2. FAUX
2 × 3 + 2 × 2 - (-1) - 11 = 6 + 4 + 1 - 11 = 0, donc E appartient au plan (ABC).
2 × 1 - 2 × 0 - (-2) - 11 = 2 + 2 - 11 $\neq$ 0, donc D n'appartient pas au plan (ABC).
On a : $\overrightarrow{\text{ED}}(-2 ; -2 ; -1)$ et $\overrightarrow{\text{AB}}(-2 ; 0 ; -4)$ , donc :
$\overrightarrow{\text{ED}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = -2 \times (-2) + (-2) \times 0 + (-1) \times (-4) = 4 + 4 = 8 \neq 0$
Donc la droite (ED) n'est pas orthogonale à la droite (AB), donc (ED) n'est pas orthogonale au plan (ABC).
D'où : E n'est pas le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. VRAI
On a : $\overrightarrow{\text{AB}}(-2 ; 0 ; -4)$ et $\overrightarrow{\text{CD}}(-2 ; -1 ; 1)$
Or, (-2) × (-2) + 0 × (-1) + 1 × (-4) = 0
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}} \text{ et } \overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogoanux, donc les droites (AB) et (CD) sont bien orthogonales.

4. FAUX
Regardons si le point C appartient à la droite $\Delta$ dont une représentation paramérique est $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & -1+2t \\ y &-1+t \\ z & 1-t \\ \end{array} \right. \hspace{10pt} (t\in\mathbb{R})$
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_{\text{C}} & -1+2t \\y_{\text{C}} & -1+t \\z_{\text{C}} & 1-t} \_ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 3 = -1 + 2t\\1 = -1 + t\\-3 = 1 - t \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array} t = 2 \\ t = 2 \\ t = 4 \\ \end{array} \right.$
Le système n'a donc pas de solution, donc le point C n'appartient pas à la droite $\Delta$ .
La droite $\Delta$ n'est donc pas la représentation paramétrique de la droite (CD).

5. VRAI
On a : $\overrightarrow{\text{AB}}(-2 ; 0 ; -4)$ et $\overrightarrow{\text{AI}}\left(\dfrac{-7}{5} ; 0 ; \dfrac{-14}{5}\right)$
On a $\overrightarrow{\text{AB}} = k \overrightarrow{\text{AI}}$ avec $k = \dfrac{7}{10}$
Donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AI}}$ sont colinéaires, donc le point I est sur la droite (AB).

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) Déterminons les limites de $f$ en - $\infty$ et en + $\infty$ :
en - $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (1 - x) = + \infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{1-x} = +\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

en + $\infty$ :
Pour tout réel $x$ , $f(x) = x^2 e^{1 - x} = x^2 e e^{-x} = e x^2 e^{-x}$ .
Or, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2 e^{-x} = 0$
Donc : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$
On peut donc en déduire que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ .

1. b) Déterminons la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ :
La fonction $x \mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Les fonctions $x \mapsto 1 - x$ et $x \mapsto e^x$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , donc par composition de fonctions dérivables, la fonction $x[ \mapsto e^{1 -x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Par produit de fonctions dérivables, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Dérivons la fonction $f$ :
Pour tout réel $x$ , $f'(x) = 2x e^{1 - x} + x^2 \times (-1) \times e^{1 - x} = (2x - x^2)e^{1 - x} = x(2 - x)e^{1 - x}$ .

1. c) Dressons le tableau de variation de $f$ :
Pour tout réel $x$ , $e^{1 - x}$ est strictement positif, donc pour tout réel $x$ , $f'(x)$ est du signe de $x(2 - x)$ .
Pour tout réel $x$ , $f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ ou $x = 2$ .
Pour tout réel $x$ , $x(2 - x) \geq 0 \Longleftrightarrow x \in [0 ; 2]$ ,
$\hspace{50pt} x(2 - x) \leq 0 \Longleftrightarrow x \in ]-\infty ; 0] \cup [2 ; +\infty[$
D'où : $f$ est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur $]-\infty ; 0] \cup [2 ; +\infty[$ .
$f(0) = 0$ et $f(2) = \dfrac{4}{e}$
Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ :

$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&0&&2&&+\infty \\ \hline \hspace{1pt} f'(x)&&-&0&+&0&-& \\ \hline \hspace{1pt}&+\infty&&&&\dfrac{4}{e}&&\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&&&0&&&&0\\ \hline \end{array}$

Et traçons la courbe $\mathcal{C}$ :

sujet du bac scientifique métropole 2006 : image 1

2. a) Etablissons une relation entre I_{n+ 1} et I_n :
On a : $\text{I}_{n+1} = \displaystyle \int_0^{1} x^{n+1}e^{1-x} \text{d}x$
On pose : $u(x) = x^{n+1}$ et $v'(x) = e^{1-x}$ .
Les fonctions $u$ et $v$ sont toutes deux définies et dérivables sur [0 ; 1].
$u'(x) = (n+1)x^n$ et $v(x) = -e^{1-x}$

En intégrant par parties I_n+1, on obtient :
$\text{I}_{n+1} = \displaystyle [uv]_0^1 - \int_0^1 u'v \\ \text{I}_{n+1} = [-x^{n+1} e^{1 - x}]_0^1 + \displaystyle \int_0^{1} (n+1)x^ne^{1-x} \text{d}x\\ \text{I}_{n+1} = -1^{n+1} \times e^0 + 0 + (n+1) \displaystyle \int_0^{1}x^ne^{1-x} \text{d}x$
D'où : I_n+1 = -1 + (n + 1)I_n

2. b) Calculons I₁ :
I₁ = $\displaystyle \int_0^1 x e^{1 - x} \text{d}x$
On intégre I₁ par parties en posant :
$\begin{array}{lll} u(x) = x & \hspace{20pt} & u'(x) = 1 \\ v'(x) = e^{1 - x} & & v(x) = -e^{1 - x}\\ \end{array}$
Les fonctions $u$ et $v$ sont définies et dérivables sur [0 ; 1]. On a :
$\text{I}_1 = [-xe^{1 -x}]_0^1 + \displaystyle \int_0^1 (1 \times e^{1 - x}) \text{d}x\\ \text{I}_1 = -1 \times e^0 + 0 - [e^{1 - x}]_0^1\\ \text{I}_1 = -1 - e^0 + e^1$
D'où : $\text{I}_1 = \boxed{e - 2}$

Calculons I₂ :
On a démontré à la relation précédente que I_n+1 = -1 + (n + 1) I_n, donc :
I₂ = -1 + 2I₁ = -1 + 2(e - 2) = -1 + 2e - 4
D'où : I₂ = 2e - 5

2. c) Donnons une interprétation graphique du nombre I₂ :
I₂ représente (en unité d'aires) l'aire de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $x$ = 1.
(en vert sur le graphique de la question 1. c)).

3. a) Démontrons que pour tout nombre réel $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l'inégalité suivante : $x^n \leq x^n e^{1 - x} \leq e x^n$ :
Pour tout ombre réel $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a :
$0 \leq x \leq 1$ , donc :
$-1 \leq -x \leq 0 \\ 0 \leq 1 - x \leq 1 \\ e^0 \leq e^{1 - x} \leq e^1 \text{ car la fonction exponentielle est croissante sur [0 ; 1]}\\ 1 \leq e^{1 - x} \leq e$
D'où : $x^n \leq x^n e^{1 - x} \leq e x^n \text{ car } x^n > 0 \text{ sur } [0 ; 1]$

3. b) Déduisons-en un encadrement de I_n :
En intégrant l'inégalité précédente, on obtient :
$\displaystyle \int_0^1 x^n \text{d}x \leq \displaystyle \int_0^1 x^n e^{1 - x} \text{d}x \leq \displaystyle \int_0^1 e x^n \text{d}x \\ \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 \leq \text{I}_n \leq \left[ \dfrac{e x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 \\ \dfrac{1^{n+1}}{n+1} - 0 \leq \text{I}_n \leq \dfrac{e1^{n+1}}{n+1} - 0\\ \dfrac{1}{n+1} \leq \text{I}_n \leq \dfrac{e}{n+1}$

Limite de I_n quand n tend vers + :
On a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 \text{ et } \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n+1} = 0$
Donc, d'après le théorème des gendarmes, on en déduit que : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \text{I}_n = 0$

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes différents de zéro.
$\dfrac{z}{z'}\times z'=z$
Donc, d'après le pré-requis : $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)+\arg(z') = \arg(z) ~ [2\pi]$
De cette relation, on tire : $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') ~ [2\pi]$
1. b) La question 1. a) nous permet d'écrire : $\arg \left(\dfrac{c-a}{b-a} \right) = \arg(c-a)-\arg(b-a) = (\vec{u} , \overrightarrow{\text{AC}}) - (\vec{u} , \overrightarrow{\text{AB}}) = (\vec{u} , \overrightarrow{\text{AC}}) + (\overrightarrow{\text{AB}} , \vec{u}) = (\overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AC}}) ~[2 \pi]$
2. a) Soit $z \neq 0$ et $z' = \dfrac{1}{z}$ .
En se servant de la question 1. a): $\arg(z') = \arg(1) - \arg(\bar{z}) ~[2\pi] \\ \arg(z')= 0 - \arg(\bar{z}) ~[2\pi]$
Or on sait que : $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$ donc $\arg(z')=\arg(z) ~[2\pi]$
On a donc $(\vec{u} , \overrightarrow{\text{OM}'}) = (\vec{u} , \overrightarrow{\text{OM}}) ~[2\pi]$
Cette relation montre que les points O, M, M' appartiennent à une même demi-droite d'origine O.
2. b) $f(\text{M})= \text{M} \Longleftrightarrow z' = z \text{ avec } z \neq 0$
Soit $z' = \dfrac{1}{\bar{z}} = z$ . Cette égalité revient à écrire $z \bar{z} = 1$ soit $|z|^2 = 1$ ou encore $|z|=1$
L'ensemble des points M de $\mathcal{P}\setminus\mathcal{O}$ tels que $f(\text{M}) = \text{M}$ est le cercle de centre O et de rayon 1.
2. c) Pour tout $z$ et $z'$ différents de 0 et de 1 :

$\dfrac{z'-1}{z'-i} = \dfrac{\left(-1 + \dfrac{1}{\bar{z}} \right) }{\left( -i+\dfrac{1}{\bar{z}}\right) }= \dfrac{1 - \bar{z}}{1 - i\bar{z}}=\dfrac{-1 + \bar{z}}{i(i+\bar{z})} = \dfrac{1}{i} \left( \dfrac{-1+\bar{z}}{i+\bar{z}} \right)$
Or $\dfrac{1}{i} = -i$ ; $\bar{z} - 1 = \overline{z-1}$ ; $\bar{z} + i = \overline{z-i}$
On obtient donc $\boxed{\dfrac{z'-1}{z'-i} = -i \left(\overline{\dfrac{z-1}{z-i}} \right)}$
De l'égalité précédente, on déduit :
$\arg \left(\dfrac{z'-1}{z'-i} \right) = \arg(-i) + \arg \left( \overline{\dfrac{z-1}{z-i}} \right) ~[2\pi] \\= -\dfrac{\pi}{2} - \arg \left(\dfrac{z-1}{z-i} \right) ~[2\pi]$
Soit $\arg \left(\dfrac{z'-1}{z'-i} \right) + \arg \left(\dfrac{z-1}{z-i} \right) = -\dfrac{\pi}{2} ~[2\pi]$
3. a) $\text{M} \in (\text{UV})$ privée des points U et V si et seulement si $(\overrightarrow{\text{MV}},\overrightarrow{\text{MU}} )=0~[\pi]$
si et seulement si $\arg \left(\dfrac{z-1}{z-i} \right) = 0 ~[\pi]$
si et seulement si $\dfrac{z-1}{z-i} \in \mathbb{R}^{*}$
3. b) On a vu que : $\arg \left(\dfrac{z'-1}{z'-i} \right) + \arg \left(\dfrac{z-1}{z-i} \right) = -\dfrac{\pi}{2} ~[2\pi]$ .
Comme $\arg \left( \dfrac{z-1}{z-i} \right) = 0~[\pi]$ , on obtient : $\arg \left(\dfrac{z'-1}{z'-i} \right) = -\dfrac{\pi}{2} ~[\pi]$
soit $(\overrightarrow{\text{M'V}} ; \overrightarrow{\text{M'U}}) = -\dfrac{\pi}{2} ~[\pi]$
L'image de la droite (UV) privée des points U et V est donc le cercle de diamètre [UV] privé des points U et V et de l'origine (exclue dans tout l'exercice).

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

1. Théorème de Bezout :
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ .
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$ , alors $a$ divise $c$
2. Les hypothèses sont les suivantes :
$a$ divise $bc$
$a$ est premier avec $b$
D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ (1)
En multipliant par $c$ l' égalité (1), on obtient : $auc + bvc = c$
$a$ divise $auc$ et divise $bcv$ car il divise $bc$ .
$a$ divise donc $auc + bvc = c$ , c'est-à-dire qu'il divise $c$ .

Partie B

1. Comme pgcd(19 ; 12) = 1, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $19u + 12v = 1$ .
Soit $N = 13 \times 12v + 6 \times 19u$
Or $19u = 1 - 12v$
Donc $N = 13 \times 12v + 6(1 - 12v) = 6 + 7 \times 12v$
Ce qui peut s'écrire $N \equiv 6 [12]$
De même : $12v = 1 - 19u$
$N = 13(1 - 19u) + 6 \times 19u = 13 - 7 \times 19u$
ce qui peut s'écrire $N \equiv 13 [19]$
$N$ est solution de $(S)$ .
2. a) $n \equiv 13[19] \text{ et } n_0 \equiv 13[19]$
$n \equiv 6[12] \text{ et } n_0 \equiv 6[12]$
Ceci est bien équivalent à : $n \equiv n_0 [19] \text{ et } n \equiv n_0[12]$
2. b) Considérons le système $\left \lbrace \begin{array}{l} n \equiv n_0[19] \\ n \equiv n_0[12] \\ \end{array} \right.$
Il existe deux entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $n - n_0 = 19k$ et $n - n_0 = 12k'$
On a alors : $19k = 12k'$ . Donc 12 divise 19k . Mais 19 et 12 sont premiers entre eux. D'après le théorème de Gauss, 12 divise donc $k$ .
Soit $k = 12 k''$ avec k'' entier relatif, et $n - n_0 = 19 \times 12k''$ ce qui se traduit par : $n \equiv n_0 [12 \times 19]$
Réciproquement : Si $n$ vérifie la congruence $n \equiv n_0[12 \times 19]$
Alors $n - n_0 = 12 \times 19p \, \, p \in \mathbb{Z}$
$n - n_0$ multiple de 12 et 19, donc $n \equiv n_0[19]$ et $n \equiv n_0[12]$ .
Donc le système $(S)$ est équivalent à $n \equiv n_0 [12 \times 19]$
3. a) Utilisons l'algorithme d' Euclide :
19 = 12 × 1 + 7 donc 7 = 19 × 1 - 12 × 1
12 = 7 × 1 + 5 donc 5 = 12 × 1 -7 × 1 = 12 × 1 - (19 × 1 - 12 × 1) = 12 × 2 - 19 × 1
7 = 5 × 1 + 2 donc 2 = 7 - 5 × 1 = (19 × 1 - 12 × 1) - (12 × 2 - 19 × 1) = 19 × 2 - 12 × 3
5 = 2 × 2 + 1 donc 1 = 5 - 2 × 2 = (12 × 2 - 19 × 1) - 2(19 × 2 - 12 × 3)
Donc 1 = 19 × (-5) + 12 × 8
Et un couple solution du problème est $(u,v) = (-5;8)$
$N = 19u + 12v = 1$ et la valeur de $N$ qui lui correspond est $N = 13 \times 12v + 6 \times 19u = 13 \times 12 \times 8 + 6 \times 19(-5) = 678$
3. b) D'après la question 2. b), résoudre le système (S) revient à résoudre
$n \equiv n_0 [12 \times 19]$
Soit $n \equiv 678 [12 \times 19]$
De plus 678 = 2 × 12 × 19 + 222
Donc $678 \equiv 222 [12 \times 19]$
L'ensemble des solutions de (S) sont les entiers n tels que $n = 12 \times 19k + 222 = 228k + 222 \text{ avec } k \in \mathbb{Z}$
4. $n \equiv 6[12]$ et $n \equiv 13[19]$
D'après la question précédente, et en remarquant que $0\le 222 < 228$ le reste de la division de $n$ par 228 est $r = 222$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Déterminons la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact :
A chacun des tirs, le tireur a la probabilité 0,2 de crever le ballon, donc il a la probabilité 1 - 0,2 = 0,8 de ne pas crever le ballon.
Le ballon est intact au bout de deux tirs lorsque le tireur n'a pas atteint le ballon au premier et au deuxième tir.
D'où la probabilité cherchée est 0,8 × 0,8 = 0,64.

1. b) Déterminons la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon :
Si deux tirs suffisent pour crever le ballon, alors
- soit le tireur a crevé le ballon lors du premier tir (avec une probabilité de 0,2),
- soit le tireur a crevé le ballon lors du deuxième tir (avec une probabilite de 0,8 × 0,2 = 0,16)
D'où : la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon est 0,2 + 0,16 = 0,36.

1. c) Déterminons la probabilité p_n que n tirs suffisent pour crever le ballon :
L'événement contraire de " n tirs suffisent pour crever le ballon " est " aucun des n tirs ne permet de crever le ballon ".
Déterminons la probabilité de " aucun des n tirs ne permet de crever le ballon " : le tireur n'atteint pas le ballon lors des n tirs. La probabilité est donc (0,8)ⁿ.
L'événement contraire " n tirs suffisent pour crever le ballon " a donc une probabilité de p_n = (1 - 0,8ⁿ).

1. d) Déterminons les valeurs de n pour lesquelles on a : p_n > 0,99
p_n > 0,99
$\Longleftrightarrow 1 - 0,8^n \geq 0,99\\ \Longleftrightarrow - 0,8^n \geq 0,01\\ \Longleftrightarrow 0,8^n \leq 0,01\\ \Longleftrightarrow \ln 0,8^n \leq \ln 0,01 \hspace{5pt} \text{car la fonction logarithme est croissante et continue sur } \mathbb{R}\\ \Longleftrightarrow n \ln 0,8 \leq \ln 0,01\\ \Longleftrightarrow n \geq \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \hspace{5pt} {car } \ln 0,8 < 0$
D'où : les valeurs de n pour lesquelles p_n > 0,99 sont tous les entiers supérieurs ou égaux à 21.

2. Démontrons que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 :
Le dé est équilibré, donc la probabilité que le dé tombe sur la face k est $\dfrac14$ , soit 0,25.
De plus on a vu que la probabilité que n tirs suffisent pour crever le ballon est (1 - 0,8ⁿ).

Si la face obtenue est la 1, le tireur a le droit à un tir pour crever le ballon. Il a donc une probabilité de 0,25 × 0,2 = 0,05 de crever le ballon.
Si la face obtenue est la 2, le tireur a le droit à deux tirs pour crever le ballon. Il a donc une probabilité de 0,25 × (1 - 0,8²) = 0,09 de crever le ballon.
Si la face obtenue est la 3, le tireur a le droit à trois tirs pour crever le ballon. Il a donc une probabilité de 0,25 × (1 - 0,8³) = 0,122 de crever le ballon.
Si la face obtenue est la 4, le tireur a le droit à quatre tirs pour crever le ballon. Il a donc une probabilité de 0,25 × (1 - 0,8⁴) = 0,1476 de crever le ballon.
D'où : si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,05 + 0,09 + 0,122 + 0,1476 = 0,4096.

3. a) Calculons les fréquences de sorties f_k observées pour chacune des faces :

Face k	1	2	3	4
Nombre de sorties de la face k	58	49	52	41
Fréquence de sorties f_k	$\dfrac{58}{200}$ = 0,29	$\dfrac{49}{200}$ = 0,245	$\dfrac{52}{200}$ = 0,26	$\dfrac{41}{200}$ = 0,205

3. b) Calculons d² :
$d^2 = \left(f_1 - \dfrac14 \right)^2 + \left(f_2 - \dfrac14 \right)^2 + \left(f_3 - \dfrac14 \right)^2 + \left(f_4 - \dfrac14 \right)^2\\ d^2 = (0,29 - 0,25)^2 + (0,245 - 0,25)^2+ (0,26 - 0,25)^2+ (0,205 - 0,25)^2\\ d^2 = 0,003\,75$

3. c) Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé ?
On remarque dans le tableau fourni que le neuvième décile est 0,00452. Donc 90 % des valeurs de d² obtenues au cours des 1000 simulations sont dans l'intervalle [0 ; 0;00452].
Le neuvième décile est donc supérieur à la valeur de d² obtenue à la quesiton précédente.
D'où : au risque de 10 %, on peut considérer que le dé n'est pas pipé.

Publié par Pascal/ le 27-10-2015

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