Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Réunion - Session 2006

L'utilisation d'une calcultrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité) Durée de l'épreuve : 4 heures

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \frac{x}{\ln x}$ .

1. a) Déterminer les limites de la fonction $f$ en 1 et en + $\infty$ .
   b) Etudier les variations de la fonction $f$ .

2. Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 5 et u_n+1 = $f(u_n)$ pour tout entier naturel n.
   a) On a tracé la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d'équation y = $x$ et les points M₁ et M₂ de la courbe $\mathscr{C}$ d'abscisses respectives u₁ et u₂. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (u_n).
   b) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a u_n $\geq$ e (on pourra utiliser la question 1. b)).
   c) Démontrer que la suite (u_n) converge vers un réel l de l'intervalle [e ; + $\infty$ [.

Partie B

On rappelle que la fonction $f$ est continue sur l?intervalle ]1 ; + $\infty$ [.

1. En étudiant de deux manières la limite de la suite $\left(f(u_n)\right)$ , démontrer que $f$ (l) = l.

2. En déduire la valeur de l.

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 2

Annexe de l'exercice 1

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Première partie

Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 xe^x \text{d}x$ .

Deuxième partie

La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{\text{OI}} , \overrightarrow{\text{OJ}})$ , la ligne courbe $\mathscr{C}$ reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$ . Cette courbe $\mathscr{C}$ partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l'indique la figure ci-dessous.
Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l'extérieur de la cible, soit l'une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe $\mathscr{C}$ .

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 1

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l'extérieur de la cible avec une probabilité de $\frac12$ et que les probabilités d'atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives.

1. Démontrer que la probabilité d'atteindre la partie A est égale à $\frac{1}{2e}$ . Quelle est la probabilité d'atteindre la partie B ?

2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.
   a) Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.
   b) Soit E l'événement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ».
Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E.
   c) Soit F l'événement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte).
Sachant qu'aucune fléchette n'a atteint l'extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?

3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.
   a) Déterminer en fonction de n la probabilité p_n pour qu'au moins une des fléchettes atteigne la partie A.
   b) Déterminer le plus petit naturel n tel que p_n $\geq$ 0,99.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}\right)$ . L'unité graphique est 2 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d?argument $+\frac{\pi}{2}$ .
On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l?ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation $\frac{z - 4}{z} = i$ . Ecrire la solution sous forme algébrique.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l?équation z² - 2z + 4 = 0. Ecrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soient A, B, A' et D les points du plan complexe d'affixes respectives : a = 2, b = 4, a' = 2i et d = 2 + 2i. Quelle est la nature du triangle ODB ?

4. Soient E et F les points d'affixes respectives e = 1 - i $\sqrt{3}$ et f = 1 + i $\sqrt{3}$ .
Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?

5. Soit $\mathscr{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathscr{C}'$ le cercle de centre A' et de rayon 2.
Soit r la rotation de centre O et d?angle $+\frac{\pi}{2}$ .
   a) On désigne par E' l'image par la rotation r du point E. Calculer l?affixe e' du point E'.
   b) Démontrer que le point E' est un point du cercle $\mathscr{C}'$ .
   c) Vérifier que : e - d = $(\sqrt{3}$ + 2)(e' - d). En déduire que les points E, E' et D sont alignés.

6. Soit D' l'image du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EE'D' est rectangle.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On complètera la figure donnée en annexe au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.
ABCD est un carré tel que $\left(\overrightarrow{\text{AB}} , \overrightarrow{\text{AD}}\right) = +\frac{\pi}{2}$ . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD].
On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de la similitude s.
Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l'angle de la similitude s.

2. On désigne par $\Omega$ le centre de cette similitude. $\Gamma_1$ est le cercle de diamètre [AI], $\Gamma_2$ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que $\Omega$ est l?un des points d'intersection de $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ . Placer $\Omega$ sur la figure.

3. Donner l'image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose h = s $\circ$ s (composée de s avec elle même).
a) Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).
b) Trouver l'image du point A par h. En déduire que les points A, $\Omega$ et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère $\left(A ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$ orthonormal direct, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2 , 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l'écriture complexe de la similitudes est z' = $\frac12$ iz + 1 + i.

2. Calculer l'affixe du point $\Omega$ .

3. Calculer l'affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 3

Annexe de l'exercice 3

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu'il pense exactes. Aucune justification n'est demandée.
Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point.
Toute réponse juste rapporte 0,5 point.
Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k})$ .

1. Soit P le plan d'équation 2 $x$ + 3y + 4z - 1 = 0.
   a) La distance du point O au plan P est égale à 1.
   b) La distance du point O au plan P est égale à $\frac{1}{\sqrt{29}}$ .
   c) Le vecteur $\overrightarrow{n}\left(1 ; \hspace{1pt} \frac32 ; \hspace{1pt} 2\right)$ est un vecteur normal au plan P.
   d) Le plan Q d'équation -5 $x$ + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.

2. On désigne par P le plan d'équation 2 $x$ + y - z = 0, et par D la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ (1 ; -4 ; -2).
   a) La droite D est parallèle au plan P.
   b) La droite D est orthogonale au plan P.
   c) La droite D est sécante avec le plan P.
   d) Un système d'équations paramétriques de D est $\left\begin{cases} {x = 1 + t\\ y = 1 - 4t\;\;(t \in \mathbb{R})\\ z = 1 - 2t} \end{cases}$ .

3. On désigne par E l'ensemble des points M( $x$ ; y ; z) tels que : $x$ + y + z = 3 et 2 $x$ - z = 1.
Soit le point A(1 ; 1 ; 1).
   a) L?ensemble E contient un seul point, le point A.
   b) L?ensemble E est une droite passant par A.
   c) L?ensemble E est un plan passant par A.
   d) L?ensemble E est une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ (1 ; -3 ; 2).

4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).
   a) Le plan P contient toujours le point D.
   b) Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.
   c) Le plan P est toujours l'ensemble des points M de l'espace tels que : $\overrightarrow{\text{BM}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}}$
   d) Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1.a)
$\red{\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)}$
On sait que : $\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \ln(x)=0^{+}$ , On a donc: $\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \frac{x}{\ln(x)}=\boxed{+\infty}$
$\red{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)}$
On sait que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}=0^{+}$ , On a donc: $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{\ln(x)}=\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\frac{\ln(x)}{x}}=\boxed{+\infty}$
1.b) La fonction $f$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ car elle est le quotient des deux fonctions $x\mapsto x \text{ et } x\mapsto \ln(x)$ dérivables sur $]1,+\infty[$ dont le dénominateur ne peut pas s'annuler.
$\begin{matrix} \text{Pour tout } x\text{ de } ]1,+\infty[ \text{ : } f^{'}(x)&==&\displaystyle \frac{\ln(x)-x\frac{1}{x}}{(\ln(x))^{2}} \\&=&\boxed{\displaystyle\frac{\ln(x)-1}{(\ln(x))^{2}}} \end{matrix}$
Puisque: $(\ln(x))^{2} >0$ pour tout $x$ de $]1,+\infty[$ , on en déduit que $f^{'}(x)$ a le même signe que $\ln(x)-1$
$\red{\text{Signe de la dérivée :}}$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline x & 1 & &\text{ } & e & \text{ } & & +\infty \\ \hline \ln(x)-1 & & - & & 0 & &+ & \\ \hline \end{tabvar}$
$\red{\text{Tableau de variations de }f \text{ : }}$
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 1 & & e & & +\infty \\ \hline f'(x) & & -& 0 & + & \\ \hline \niveau{2}{2} f & +\infty & \decroit & e & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Remarque : $f(e)=e$
2.a)

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 5

Le point $M_{0}$ a pour coordonnées $(u_{0}, f(u_{0}))=(u_{0},u_{1})$ . On se sert de la droite $y=x$ pour placer $u_1$ sur l'axe des abscisses et donc le point $M_{1}$ et on recommence avec $u_2$ et $M_{2}$ .
Conjecture: La suite $(u_n)$ semble être décroissante et converger vers $e$ .
2.b) Montrons par récurrence la proposition suivante : "Pour tout n entier naturel, $u_n\ge e$ "
Pour $n=0$ , on a: $u_{0}=5\geq e$ , la proposition est donc vraie au rang $n=0$
Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que : $u_{n}\geq e$ .
Alors : $f(u_{n})\ge f(e)$ car f est croissante sur $[e,+\infty[$ , ce qui s'écrit : $u_{n+1} \geq e$ . La propriété est donc vraie au rang n+1 .
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel.
$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N} \text{ : } u_{n}\geq e }$
2.c)
Etudions la monotonie de la suite $(u_{n})$ . Pour cela, faisons un nouveau raisonnement par récurrence.
$u_0=5 \text{ et } u_1=f(u_0)=\dfrac{5}{\ln(5)}\approx3.1\text{ et donc } u_1\le u_0$
Or on sait que pour tout n entier naturel, $u_{n}\geq e$ donc : $e\le u_1\le u_0$
Supposons qu'au rang p entier on ait : $e\le u_{p+1}\le u_p$ alors puisque f est croissante sur $[e,+\infty[$ , on a : $f(e)\le f(u_{p+1})\le f(u_p)$ ce qui s'écrit :
$e \le u_{p+2} \le u_{p+1}$ et la propriété est donc héréditaire.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 ; elle est héréditaire, donc elle est toujours vraie.
La suite est donc décroissante.
La suite $(u_{n})$ est décroissante et minorée par $e$ , alors la suite converge vers une limite $l \geq e$

Partie B

1.
On a: $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_{n})=\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=l$
D'autre part, puisque $f$ est continue: $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(u_{n})=f(\lim_{n\to +\infty} u_{n})=f(l)$
On en déduit que $f(l)=l$
2.On a: $\begin{matrix} f(l)=l&\Longleftrightarrow& \displaystyle \frac{l}{\ln(l)}=l \text{ avec } l\in [e,+\infty[\\&\Longleftrightarrow& \displaystyle \l\times ln(l)=l \text{ avec } l\in [e,+\infty[\\&\Longleftrightarrow& \displaystyle l(\ln(l) -1)=0\text{ avec } l\in [e,+\infty[\\&\Longleftrightarrow& \displaystyle l=0 \text{ ou } l=e \text{ avec } l\in [e,+\infty[\end{matrix}$
La limite est donc e.

exercice 2

1^ère partie

$\text{Pour } x\text{ appartenant à }[0~;~1], \text{ posons } u(x)=x \text{ et } v(x)=e^x$
$\text{Les fonctions }u\text{ et } v \text{ sont dérivables à dérivées continues sur } [0~;~1]$
On a : $\displaystyle \begin{matrix} \begin{cases} u(x)=x\\u^{'}(x)=1 \end{cases} & \text{ et } & \begin{cases} v^{'}(x)=e^x\\v(x)=e^x \end{cases}\end{matrix}$
Intégrons par parties :
$\begin{matrix} \displaystyle \int_{0}^{1} xe^{x} dx &=& \displaystyle [xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{x}dx \\&=& \displaystyle e-[e^{x}]_{0}^{1} \\&=&1\end{matrix}$

2^ème partie

1.
$\rightarrow$ Exploitation des données:
Les aires:
La courbe sur la figure étant la représentation de la fonction $f\text{ : }x\mapsto xe^{x}$ , l'ordonnée du point M (ou encore du point N) est $f(1)=e$ , on en déduit que l'aire du rectangle entier (cible) est $e$
Or, l'intégrale qu'on a calculée à la 1^ère partie représente l'aire de la partie A sur la figure, donc l'aire de cette partie est 1.
On en déduit que l'aire de la partie B est $e-1$
Les probabilités:
La fléchette tombe à l'extérieur de la cible avec une probabilité de $\displaystyle\frac{1}{2}$ , la probabilité de toucher la cible est donc de: $1-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}$
Si $x$ est la probabilité de toucher la partie A, celle de toucher la partie B est alors de $\displaystyle\frac{1}{2}-x$
$\rightarrow$ Démonstration:
En écrivant que les probabilités d'atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives, on obtient: $\displaystyle\frac{x}{1}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}-x}{e-1}$
En résolvant cette équation, on obtient $x=\dfrac{1}{2e}$
La probabilité de toucher la partie A est $\dfrac{1}{2e}$ et celle de toucher la zone B est de $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2e}$ soit $\dfrac{e-1}{2e}$
2.a) On est en présence d'un schéma de Bernoulli.
Le succès d'atteindre la partie A est $\displaystyle\frac{1}{2e}$
La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre n=3 et $p=\displaystyle\frac{1}{2e}$
D'après le cours, l'espérance mathématique vaut $E(X)=np=3\times\displaystyle\frac{1}{2e}=\frac{3}{2e}\approx 0.552$
2.b) $P(X=2)={3 \choose 2} \displaystyle\left(\frac{1}{2e}\right)^2 \left(1-\frac{1}{2e}_\right)^{3-2}=\frac{3(2e-1)}{8e^{3}}\approx 0.083$
2.c) Soit F l'événement : « les trois fléchettes atteignent la partie B »
$P(F)=\displaystyle\left(\frac{e-1}{2e}\right)^3$
Désignons par C l'évènement: les trois fléchettes ont atteint la cible
$P(C)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\left(\dfrac{1}{8}\right)$
La probabilité demandée est: $P_C(F)=\displaystyle\frac{P(F \cap C)}{p(C)} =\frac{\left(\frac{e-1}{2e}\right)^3}{\left(\frac{1}{8}\right)}=\frac{(e-1)^{3}}{e^{3}} \approx 0.253$
3.a) L'événement "Avoir au moins une fléchette dans la partie A" a pour événement contraire : "aucune fléchette n'a atteint la partie A"
$p_n=1-\left(\dfrac{1}{2e}\right)^0\left(1-\dfrac{1}{2e}\right)^n=1-\left( 1-\left(\dfrac{1}{2e}\right)\right)^{n}$
3.b)
$\begin{matrix} p_{n}\geq0.99 &\Longleftrightarrow& 1-\left( 1-\left(\dfrac{1}{2e}\right)\right)^{n}\geq 0.99 \\&\Longleftrightarrow& \left( 1-\left(\dfrac{1}{2e}\right)\right)^{n}\leq 0.01\\&\Longleftrightarrow& n\ln( \displaystyle 1-\left(\frac{1}{2e}\right)\leq \ln(0.01)\\&\Longleftrightarrow& n\geq \displaystyle \frac{\ln(0.01)}{\ln(1-\frac{1}{2e})} \approx 22.7 \text{ puisque } \ln(1-\frac{1}{2e})<0 \end{matrix}$
On en déduit que le plus petit entier tel que: $p_{n}\geq 0.99$ est $n=23$

exercice 3 - CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1. Dans cette question, $z\neq 0$
$\displaystyle\frac{z-4}{z}= i \Longleftrightarrow z-4=iz\Longleftrightarrow (1-i)z=4 \Longleftrightarrow z=\displaystyle \frac{4}{1-i} \Longleftrightarrow z=\displaystyle \frac{4(1+i)}{2}\Longleftrightarrow z=2(1+i)$

Or $2+2i \neq 0$
Donc: $S=\lbrace 2+2i\rbrace$
2. Cette équation du second degré dans C est à coefficients réels, elle admet donc deux solutions conjuguées.
On a : $\Delta= 4-16=-12=(2i\sqrt{3})^{2}$
$z^{2}-2z+4=0\Longleftrightarrow \begin{cases}\displaystyle z=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2} \\ \text{ou }\\ z=\dfrac{2+2i\sqrt{3}}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}\displaystyle z=1-i\sqrt{3} \\ \text{ou }\\ z=1+i\sqrt{3} \end{cases}$
On en déduit: $S=\lbrace 1+i\sqrt{3} \text{ , } 1-i\sqrt{3} \rbrace$
3. Puisque $z_{D}=2+2i$ et que $\displaystyle \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{D}-z_{O}}=\frac{z_{D}-4}{z_{D}}$
Alors d'après la question 1. $\text{ : }\displaystyle \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{D}-z_{O}}=i$
Or $\displaystyle \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{D}-z_{O}}=i \Longleftrightarrow \begin {cases} \text{BD = OD} \\ (\overrightarrow{DO},\overrightarrow {DB} )= \displaystyle \frac{\pi}{2} (2\pi)\end{cases}$
Ce qui veut dire que le triangle $\text{ ODB }$ est rectangle isocèle en $\text{ D }$ .
4.On a: $z_{E}=1-i\sqrt{3} \text{ et } z_{F} = 1+i\sqrt{3}$ .
Les affixes de ces deux points sont conjuguées, $E$ et $F$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc par rapport à $(OA).$
Les points $E$ et $F$ ont pour abscisse 1, et $O$ et $A$ sont donc symétriques par rapport à $(EF)$
$(OA) \text{ et }(EF)$ sont perpendiculaires.
Le quadrilatère $OEAF$ a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires. $OEAF$ est donc un losange.
5.a) Puisque $E'$ est l'image par la rotation $r(O,\displaystyle\frac{\pi}{2})$ du point $E$ , alors: $z_{E'}=iz_{E}$
On en déduit que: $e^{'}=z_{E'}=\sqrt{3}+i$
5.b) $A'E'=|z_{E'}-z_{A'}|=|\sqrt{3}+i-2i|=|\sqrt{3}-i|=\sqrt{3+1}=2 \text{ donc : }E'\in \mathcal{C}^{'}$
5.c)On a: $e^{'}-d=\sqrt{3}+i-(2+2i)=(\sqrt{3}-2) - i$
Donc: $(e^{'}-d)(\sqrt{3}+2)=\left((\sqrt{3}-2) - i\right)(\sqrt{3}+2)=-1-i(\sqrt{3}+2)$
D'autre part: $e-d=1-i\sqrt{3}-2-2i = -1-i(\sqrt{3}+2)$
$\text{Conclusion : }e-d=(e^{'}-d)(\sqrt{3}+2)$
En remarquant que $\sqrt{3}+2$ est un réel, vectoriellement, cette égalité s'écrit : $\overrightarrow {DE}=(\sqrt{3}+2) \overrightarrow {DE'}$
On en déduit que les 3 points $E,E'$ et $D$ sont alignés.
6. Puisque $D'$ et $E'$ sont respectivement les images de $D$ et $E$ par la rotation $r$ , on en déduit que la droite $(D'E')$ est l'image de la droite $(DE)$ par la rotation $r$ .
Or, l'angle de la rotation vaut $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ , donc $(D'E')\perp (DE)$ . Mais $E,E'$ et $D$ sont alignés.
On en déduit que le triangle $EE'D'$ est rectangle en $E' .$
Schéma

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 4

exercice 3 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Partie A

1. On sait que $s(A)=I \text{ et } S(B)=J$ .
$\text{Alors, le rapport de similitude vaut } \displaystyle\frac{IJ}{AB}=\frac{1}{2} \text{ et son angle est égal à l'angle } (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{IJ})\text{ qui vaut }\frac{\pi}{2} \text{ à } 2\pi \text{ près. }$
2. $\Omega$ est le centre de la similitude donc $(\overrightarrow{\Omega A,}\overrightarrow{\Omega I})=(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega J})=\displaystyle\frac{\pi}{2}$
De la première égalité, on tire le fait que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [AI], et de la seconde qu'il appartient au cercle de diamètre [BJ].
Donc $\Omega$ appartient aux deux cercles $\Gamma_{1} \text{ et } \Gamma_{2}$
Le point $\Omega$ est l'un des deux points d'intersection de $\Gamma_{1} \text{ et } \Gamma_{2}$ , choisi sur la figure afin que l'angle droit $(\overrightarrow{\Omega A,}\overrightarrow{\Omega I})$ soit direct. (cf figure)
3. $\red{\text{Image de la droite (BC) par }s}$
Toute similitude transforme une droite en une droite, l'angle de la similitude étant $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ , la droite image sera une droite orthogonale à la droite (BC).
Or B a pour image J par s donc l'image de (BC) par s est la droite orthogonale à (BC) passant par J. Il s'agit de la droite (JD)
$\red{\text{Image du point C par }s}$
Soit C' l'image de C par s . On sait que C' est un point de la droite (JD).
On sait que J est l'image de B par s. On a $JC^{'}= \displaystyle \frac{1}{2} BC= JD$
donc C'= D.
On en déduit que C a pour image D par s.
$\red{\text{Image du point I par }s}$
I est le milieu de [AC] et $s([AC])=[ID]$
Or, une similitude conserve les milieux. Donc, I a pour image par s le milieu de [ID]
Le point K est donc le milieu du segment [ID].
4.a) h est la composée de deux similitudes de rapport $\displaystyle \frac{1}{2}$ et d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ . h est donc une similitude de rapport $\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$
et d'angle $\displaystyle \frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{2}=\pi$
h est donc l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\displaystyle -\frac{1}{4}$
4.b) On a: $\text{ h(A)=s(s(A))=s(I)=K }$
Alors l'image de A par l'homothétie h est K.
Or un point et son image sont toujours alignés avec le centre de l'homothétie.
On en déduit que $\text{ A, K et } \Omega \text{ sont alignés }$

Partie B

1.I est le milieu de [AC] soit $\displaystyle z_{I}=\frac{z_{A}+z_{C}}{2}=\frac{0+2+2i}{2}=1+i$
J est le milieu de [DC] soit $\displaystyle z_{J}=\frac{z_{D}+z_{C}}{2}=\frac{2i+2+2i}{2}=1+2i$
L'écriture complexe de la similitude a pour expression: $z'= az +b \text{ avec } a\in \mathbb {C^*}\text{ et }b\in\mathbb {C}$

A et B ont respectivement pour images I et J.
On obtient: $\begin{matrix} \begin{cases} z_{I}=az_{A}+b \\ z_{J}=az_{B}+b \end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 1+i=b \\ 1+2i=2a+b \end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} 1+i=b \\ 1+2i=2a+1+i \end{cases}\\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} b=1+i \\a=\displaystyle\frac{1}{2}i\neq 0 \end{cases}\end{matrix}$
Ainsi l'expression complexe de la similitude s est: $z' = \displaystyle\frac{1}{2}iz+1+i$
2. $\Omega$ est invariant par $s$ , si et seulement si
$\begin{matrix} z_{\Omega} = \displaystyle\frac{1}{2}iz_{\Omega}+1+i &\Longleftrightarrow & z_{\Omega} -\displaystyle\frac{1}{2}iz_{\Omega}=1+i \\&\Longleftrightarrow & z_{\Omega}(1 -\displaystyle\frac{1}{2}i)=1+i \\&\Longleftrightarrow & z_{\Omega}\displaystyle\frac{2 -i}{2}=1+i \\&\Longleftrightarrow & z_{\Omega}=\displaystyle\frac{2(1+i)}{2-i} \\&\Longleftrightarrow & z_{\Omega}=\displaystyle\frac{2(1+i)(2+i)}{5} \\&\Longleftrightarrow & z_{\Omega}=\displaystyle\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i \end{matrix}$
L'affixe du point $\Omega$ vaut $\displaystyle\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i$ .
3. On cherche l'affixe $z_{E}$ du point E tel que $s(E) = A$
Autrement dit, on cherche $z_{E}$ tel que $z_A=\displaystyle \frac{i}{2} z_E+1+i$
$z_A=\displaystyle \frac{i}{2} z_E+1+i\Longleftrightarrow \displaystyle \frac{i}{2} z_E+1+i=0 \Longleftrightarrow z_E=\displaystyle -\frac{2}{i}(1+i)\Longleftrightarrow z_E=\displaystyle 2i(1+i)\Longleftrightarrow z_E=\displaystyle -2+2i$
Le point E a pour affixe $-2+2i$ .

Schéma:

sujet du bac scientifique réunion 2006 : image 6

exercice 4

1.
La distance du point O au plan vaut : $\displaystyle d=\frac{|2\times 0+3\times 0+4\times 0-1|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\frac{1}{\sqrt{29}}$
On en déduit immédiatement que
a) Affirmation fausse
b) Affirmation exacte
c) Affirmation exacte
$(\mathcal{P}):2x+3y+4z-1=0$ admet pour vecteur normal $\vec{\nu}(2;3;4)$
Donc $\vec{n}=\dfrac{1}{2}\vec{\nu}\text{ est également un vecteur normal au plan }(\mathcal{P})$
d) Affirmation fausse (réponse qu'on déduit des 3 précédentes, en voici cependant la démonstration)
le vecteur normal au plan $(\mathcal{Q})$ est: $\vec{n'}(-5,2,1)$
$\vec{n}.\vec{n'} = -5+\displaystyle\frac{6 }{2}+\frac{1}{2}+2=0$ , donc $\vec{n}\perp\vec{n'}$ et donc $(\mathcal{P})\perp(\mathcal{Q})$ et non $(\mathcal{P})//(\mathcal{Q})$

2.
a) Affirmation exacte
Un vecteur normal à $(\mathcal{P})$ est : $\vec{n}(2,1,-1)$
Or, $\vec{u}.\vec{n}=2-4+2=0$ , donc $\vec{u}\perp\vec{n}$ , on déduit que $(\mathcal{D})//(\mathcal{P})$
b) Affirmation fausse
$(\mathcal{D})$ étant parallèle au plan, elle ne peut pas lui être orthogonale.
c) Affirmation fausse
Si c'était le cas, la droite devrait être contenue dans le plan, et on aurait $A\in(\mathcal{D}) \text{ et } A\in(\mathcal{P})$ , or, $A\not{\in} (\mathcal{P})$ car $2x_{A}+y_{A}-z_{A}=2+1-1=2\not{=}0$
d) Affirmation exacte (réponse qu'on déduit des 3 précédentes, ou bien directement : )
Ceci est la traduction de l'égalité $\overrightarrow{AM}=\alpha \vec{u}$

3.
a) Affirmation fausse (en répondant d'abord à la question b) on obtient une justification immédiate à la question a).
L'ensemble $E$ est une intersection entre deux plans distincts, il ne peut pas être réduit à un point.
b) Affirmation exacte
Puisque les deux plans ne sont pas parallèles, alors l'intersection est une droite. Soient $\vec{n}$ et $\vec{u}$ les deux vecteurs normaux respectivement aux deux plans d'équations : $x + y + z = 3$ et $2x - z = 1$ .
On a: $\vec{n}(1,1,1)$ et $\vec{u}(2,0,-1)$ ,il est clair qu'il n'existe pas $k\in\mathbb{R}$ tel que $\vec{n}=k\vec{u}$ , donc, l'intersection ne peut pas être vide et ne peut pas être un plan, donc l'intersection est bien une droite.
c) Affirmation fausse
D'après 3.b)
d) Affirmation exacte
D'après 3.b) (ou bien réponse qu'on déduit des trois précédentes)

4. On peut traiter d'abord les questions b) c) et d), et en déduire la question a)
a) Affirmation fausse
déduite des trois autres réponses.
b) Affirmation exacte
$\text{ (AH) }\perp \text{ (BC)}$ , donc (AH) appartient au plan $(\mathcal{P})$
c) Affirmation exacte
$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} \Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}.(\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA})=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AM}=0$
d) Affirmation fausse
La face (ABC) étant quelconque la hauteur [AH] peut ne pas être la médiatrice de [BC].

Publié par Cel/ le 15-10-2015

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