Baccalauréat Général
Série Scientifique
Centres étrangers - Session 2006
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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
i. Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
ii. Pour tous nombres réels a et b :
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
|z1 z2| = |z1| |z2| et à 2 près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, désigne le conjugué de z et |z| désigne le module de z.
1. Si z = , alors z4 est un nombre réel.
2. Si z + = 0, alors z = 0.
3. Si z + = 0, alors z = i ou z = -i.
4. Si |z| = 1 et si |z + z'| = 1, alors z' = 0.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.
On lit le nombre sur la face cachée.
Pour k {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.
Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.
1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3.
2. On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
a) Pour 1 i 10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'événement
(X = i).
b) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
c) Calculer la probabilité de l'événement (X 1). On donnera une valeur arrondie au millième.
4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux.
On note Un la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.
a) Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu'elle est convergente.
b) Calculer Sn = puis étudier la convergence de la suite (Sn).
c) Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le but de l'exercice est d'étudier certaines propriétés de divisibilité de l'entier 4n - 1, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors ap-1 - 1 0 mod p ».
Partie A : Quelques exemples
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que 428 - 1 est divisible par 29.
3. Pour 1 n 4, déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que,
pour tout entier k, le nombre 44k - 1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n - 1 est-il divisible par 5 ?
5. À l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de 428 - 1.
Partie B : Divisibilité par un nombre premier
Soit p un nombre premier différent de 2.
1. Démontrer qu'il existe un entier n 1 tel que 4n 1 mod p.
2. Soit n 1 un entier naturel tel que 4n 1 mod p. On note b le plus petit entier strictement positif tel que 4b 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
a) Démontrer que 4r 1 mod p. En déduire que r = 0.
b) Prouver l'équivalence : 4n - 1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
c) En déduire que b divise p -1.
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On désigne par la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal , (unité graphique : 5 cm).
Partie A : Etude de la fonction
1. Vérifier que pour tout nombre réel : .
2. Déterminer les limites de en - et en +. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3. Calculer pour tout nombre réel . En déduire les variations de sur .
4. Dresser le tableau des variations de .
5. Tracer la courbe et ses asymptotes éventuelles dans le repère .
Partie B : Quelques propriétés graphiques
1. On considère les points M et M' de la courbe d'abscisses respectives et -. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM']. Que représente le point A pour la courbe ?
2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d'équation y = 1, la courbe et les droites d'équations = 0 et = n, désigne l'aire du domaine Dn exprimée en unité d'aire.
a) Calculer .
b) Étudier la limite éventuelle de , lorsque n tend vers +.
Partie C : Calcul d'un volume
Soit un réel positif, on note l'intégrale .
On admet que est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la portion de la courbe obtenue pour .
1. Déterminer les nombre réels a et b tels que :
pour tout nombre réel :
2. Exprimer en fonction de .
3. Déterminer la limite de lorsque tend vers +.
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
ABCDEFGH est le cube d'arête 1 représenté en annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormal .
Partie A : Un triangle et son centre de gravité
1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.
2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
a) Calculer les coordonnées de I.
b) Démontrer que . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?
3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).
Partie B : Une droite particulière
Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk, ainsi qu'un plan de la façon suivante :
Mk est le point de la droite (AG) tel que ;
est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE);
Nk est le point d'intersection du plan et de la droite (BC).
1. Identifier , et en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance .
2. Calcul des coordonnées de Nk.
a) Calculer les coordonnées de Mk dans le repère .
b) Déterminer une équation du plan dans ce repère.
c) En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k - 1 ; 0).
3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est-elle orthogonale à la fois aux droites (AG) et (BC) ?
4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?
5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan .
Tracer la droite sur la même figure.
Avec les notations des prérequis, on a :
avec et avec d' où :
avec On en déduit que :
Partie B
1.vraie
2.fausse avec
3.vraie ou
4.fausse Avec et On a bien et bien que
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. forment une progression arithmétique. Soit sa raison.
On peut écrire alors d' où :
On sait d'après le cours que Donc et On en déduit:
2. a) Les lancers sont indépendants. La probabilité d'obtenir dans l'ordre est
2. b) Les lancers donnant 3 nombres distincts croissants sont : ou ou ou La probabilité cherchée est donc :
3. a) suit une loi binomiale de paramètres et .
Pour , on a
3. b) D'après le cours :
Sur 10 lancers, on tombe en moyenne 4 fois sur le nombre 4.
3. c)
4. a) Les premiers lancers font apparaitre un nombre autre que 4 et le ième est un 4.
est une suite géométrique de raison et de premier terme donc La suite converge vers 0.
4. b) donc
4. c) par croissance de la fonction logarithme.
car
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. donc
2. 29 est un nombre premier.
4 est premier avec 29.
Donc d'après le petit théorème de Fermat.
Donc est divisible par 29.
3. On fait un tableau indiquant les restes de la division par 17 de .
=
0
1
2
3
=
1
4
16
13
Les restes possibles sont 1, 4, 13, 16.
car (d'après la question précédente) donc donc le nombre est divisible par 17 pour tout entier .
4. On dresse à nouveau un tableau contenant les valeurs possibles selon .
La congruence utilisée a pour modulo 5.
=
0
1
2
3
4
=
1
4
1
4
1
=
0
3
0
3
0
On en déduit que pour
est divisible par On en conclut que pour tout entier naturel pair (de la forme ) ce nombre est divisible par 5.
5. D' après les questions précédentes :
3, 5, 17, 29 sont des diviseurs premiers de .
Partie B
1. Si est un nombre premier supérieur à 2, alors 4 premier avec .
Le petit théorème de Fermat permet d'affirmer que Donc convient.
2. a) avec Par hypothèse Donc Or donc nécessairement sinon n' est pas le plus petit entier strictement positif tel que
2. b) D'après la question précédente, si est divisible par , alors est multiple de .
Réciproquement, si est multiple de , il existe entier tel que et :
donc est multiple de .
En conclusion : est divisible par si et seulement si est multiple de .
2. c) On a vu que vérifie .
est donc un multiple de ou divise .
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Il suffit de multiplier le numérateur et dénominateur par : car
2. donc : En prenant la première expression :
On en tire le résultat suivant :
Interprétation des résultats :
La courbe admet deux asymptotes horizontales et respectivement en et
3. La fonction est dérivable sur et elle ne s'annulle jamais.
donc est dérivable sur est de la forme (dérivée )
Donc : Puisque, pour tout réel : donc sur est strictement croissante sur
4. Tableau de variation :
5. Tracé
Partie B
1. Le milieu de a pour coordonnées
On a est centre de symétrie pour la courbe (C)
2. a) La courbe est située au dessous de la droite En effet : L'aire est donnée par:
unités d'aire.
2. b)
Partie C
1. Pour tout , par identification on a :
et on trouve donc et
2. De la question précédente on peut écrire :
La première intégrale a été calculée à la question 2.a).
La deuxième intégrale est de la forme dont une primitive est , , avec
3. donc
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Les côtés , et sont 3 diagonales de carrés de même côté.
donc ce qui entraîne que le triangle est équilatéral.
2. a) Les coordonnées de , , et permettent de calculer les coordonnées de , centre de gravité du triangle grâce aux relations suivantes obtenues dans le cours :
2. b) a pour coordonnées et donc et sont colinéaires donc sont alignés.
3. car alignés. Montrons que est orthogonale à et est orthogonale à deux droites sécantes et du plan donc est perpendiculaire au plan est le point d'intersection du plan avec la perpendiculaire à passant par .
Le résultat en découle.
Partie B
1. D'après le 2.b) est le plan et
2. a)
2. b) est parallèle à donc ils ont le même vecteur normal .
Une équation de est
ses coordonnées vérifient l'équation du plan
2. c) donc il existe un réel tel que (1)
La relation (1) donne alors:
,, , vérifient l'équation du plan soit
3. perpendiculaire à (produit scalaire nul) (2) (2) donne alors: k=
4. Une distance est minimale si son carré est minimum.
On pose
Pour la fonction admet un minimum puisque est décroissante sur et croissante sur La distance est minimale pour .
5. Tracé :
Rappel de cours :
Tout plan coupe 2 plans parallèles suivant 2 droites parallèles.
Pour obtenir la section du cube par le plan on procéde de la façon suivante :
Par (milieu de ), on mène la parallèle à qui coupe en et en Par on trace la parallèle à qui coupe en et en Le plan est parallèle au plan on obtient donc qui détermine le point .
Le plan est parallèle au plan on obtient donc qui détermine le point .
En conclusion, la section obtenue est un hexagone régulier est le milieu de
Publié par Cel/cva
le
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