Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles-Guyane - Session 2006

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L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 7 (ou 9 pour les candidats ayant choisis l'enseignement de spécialité)     Durée de l'épreuve : 4 heures
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances
Pré-requis :
  • la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse (x fleche2 \frac{1}{x})
  • ln (1)= 0

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, \ln(ax) = \ln(a) + \ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que \ln \left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) et que \ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) pour tous réels strictement positifs a et b.

3. On donne 0,69 \leq ln 2 \leq 0,70     et     1,09 \leq ln 3 \leq 1,10.
En déduire des encadrements de ln 6, \ln \left(\frac16\right), et \ln\left(\frac38\right).


3 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l'absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L'équation e^{2x} - 3e^x - 4 = 0 admet dans \mathbb{R} :
  • a) 0 solution
  • b) 1 solution
  • c) 2 solutions
  • d) plus de 2 solutions


2. L'expression -e^{-x}
  • a) n'est jamais négative
  • b) est toujours négative
  • c) n'est négative que si x est positif
  • d) n'est négative que si x est négatif


3. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x - 1}{e^x + 2} =
  • a) -\frac12
  • b) 1
  • c) 2
  • d) +\infty


4. L'équation différentielle y = 2y' - 1 a pour ensemble de solutions :
  • a) x fleche2 ke^{2x} - 1 avec k \in \mathbb{R}
  • b) x fleche2 ke^{\frac12x} + 1 avec k \in \mathbb{R}
  • c) x fleche2 ke^{\frac12x} - 1 avec k \in \mathbb{R}
  • d) x fleche2 ke^{2x} + \frac12 avec k \in \mathbb{R}



4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda.
On rappelle que P(X \leq a) = \displaystyle \int_0^a \lambda e^{-\lambda t} \text{d}t.
La courbe ci-dessous représente la fonction densité associée.

Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 1


1. Interpréter sur le graphique la probabilité P(X \leq 1).

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre \lambda.

Partie B

On pose \lambda = 1,5.

1. Calculer P(X \leq 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10-3 près par excès.

2. Calculer P(X \geq 2).

3. Déduire des calculs précédents l'égalité suivante : P(1 \leq X \leq 2) = 0,173 à 10-3 près.

4. Calculer l'intégrale F(x) = \displaystyle \int_0^x 1,5 t e^{-1,5t} \text{d}t.
Déterminer la limite quand x tend vers +\infty de F(x) ; on obtient ainsi l'espérance mathématique de la variable X.

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.
On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = 1,5.
Si l'écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l'écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l'écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
   a) Montrer que la probabilité qu'il soit accepté est égale à 0,915 à 10-3 près.
   b) Sachant qu'il est accepté, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectification ?

2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
   a) Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
   b) Quelle est la probabilité qu'au moins un cylindre soit refusé ?


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}), on considère les points
A d'affixe a, a \in \mathbb{R}
B d'affixe b + i, b \in \mathbb{R}
C image de B dans la rotation de centre A et d'angle \frac{\pi}{3}

   a) Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l'axe (O ; \overrightarrow{v}).
   b) Exprimer alors l'affixe du point C en fonction de a.

2. Dans cette question, on pose a = \sqrt{3} et b = 0. On considère les points C d'affixe c = -i et D d'affixe d = 2 + \sqrt{3} - 2i\sqrt{3}.
   a) Quelle est la nature du triangle ABC ?
   b) Calculer le quotient \frac{d - a}{c - a}; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?
   c) Déterminer l'affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d'angle \frac{\pi}{3}.
   d) Déterminer l'affixe du point F image de D dans la translation de vecteur \overrightarrow{\text{AC}}.
   e) Déterminer la nature du triangle BEF.


5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur la figure ci-dessous, on considère les carrés OABC et OCDE tels que : (\overrightarrow{\text{OA}} ; \overrightarrow{\text{OC}}) = (\overrightarrow{\text{OC}} ; \overrightarrow{\text{OE}}) = \frac{\pi}{2}.

Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 2

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point d'intersection des segments [AD] et [IE].

1. Justifier l'existence d'une similitude directe s transformant A en I et D en E.

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.
On admet que l'angle de la similitude s est égal à \frac{\pi}{2}.

3. Donner, sans justifier, l'image de B par s.

4. Déterminer et placer l'image de C par s.

5. Soit \Omega le centre de la similitude s.
   a) Montrer que \Omega appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].
   b) Montrer que \Omega ne peut être le point H.
   c) Construire \Omega.

6. On considère le repère orthonormal direct (O ; \overrightarrow{\text{OA}} , \overrightarrow{\text{OC}}).
   a) Déterminer l'écriture complexe de la similitude s.
   b) En déduire l'affixe du centre \Omega de s.


5 points

exercice 5 - Commun à tous les candidats

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté (O ; \overrightarrow{u}) donné ci-dessous, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12.

Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 3

Le point An+1 est le barycentre des points (An , 2) et (Bn , 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An,1) et (Bn,3).

1. Sur le graphique placer les points A2, B2.

2. On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn.
Montrer que : a_{n+1} = \frac{2a_n + b_n}{3}
On admet de même que b_{n+1} = \frac{a_n + 3b_n}{4}

Partie B

1. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn - an.
   a) Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.
   b) Donner l'expression de un en fonction de l'entier naturel n.
   c) Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a) Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un).
   b) Etudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an +4bn.
Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

Voir la correction




exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. [\ln(ax)]' = \dfrac{a}{ax} = \dfrac{1}{x} et [\ln(x) + \ln(a)]' = \dfrac{1}{x}
La fonction f : x \mapsto \ln(ax) admet pour dérivée la fonction f' telle que f'(x)= \dfrac{1}{x}. Or, [ln(x)]' = \dfrac{1}{x}, donc f'(x) = [\ln(x)]'. La fonction f diffère donc de la fonction \ln d'une constante k :
f(x) = \ln(x) + k \Longleftrightarrow \ln(ax) = \ln(x) + k
Or f(1) = \ln(a), donc \ln(1) + k = \ln(a) \Longleftrightarrow k = \ln(a)
Conclusion : pour tous réels a et x strictement positifs, \ln(ax) = \ln(x) + \ln(a)

2. A l'aide de la question 1. : \ln \left(\dfrac{1}{b}\right) + \ln(b) = \ln \left(\dfrac{1}{b} \times b\right) = \ln(1) = 0 donc \ln \left(\dfrac{1}{b} \right) = -\ln(b)
\ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln \left( \dfrac{1}{b} \times a\right) = \ln \left( \dfrac{1}{b} \right) + \ln(a) = \ln(a) - \ln(b).
C.Q.F.D.

3. 0,69 \leq \ln 2 \leq 0,70 et 1,09 \leq \ln 3 \leq 1,10
On somme membre à membre : 1,78 \leq \ln 2 + \ln 3 \leq 1,80 \Longleftrightarrow 1,78 \leq \ln(2 \times 3) \leq 1,80 \Longleftrightarrow -1,80 \leq -\ln(6) \leq -1,78
Donc \boxed{-1,80 \leq \ln \left(\dfrac{1}{6} \right) \leq -1,78}
2,07 \leq 3 \ln(2) \leq 2,10 \Longleftrightarrow 2,07 \leq \ln(2)^3 \leq 2,10 \Longleftrightarrow -2,10 \leq -\ln(8) \leq -2,07 \Longleftrightarrow -1,01 \leq \ln(3) - \ln(8) \leq -0,97
Donc \boxed{-1,01 \leq \ln \left( \dfrac{3}{8} \right) \leq -0,97}




exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. e^{2x} - 3e^x - 4 = 0 \Longleftrightarrow \left(e^x\right)^2 - 3e^x - 4 = 0. Posons X = e^x.
L'équation devient X^2 - 3X - 4 = 0.
Ce trinôme admet pour discriminant \Delta = 9 - 4(-4 \times 1) = 25.
X_1 = \dfrac{3+5}{2} = 4 et X_2 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1
Or, X = e^x donc on résout : e^x = 4 \Longleftrightarrow x = \ln(4)
ainsi que : e^x = -1 (pas de solution).
L'équation a donc une seule solution.
Réponse b)

2. La fonction exponentielle est positive pour tout x appartenant à \mathbb{R} donc e^{-x} \geq 0. Ainsi, -e^x \leq 0 pour tout x appartenant à \mathbb{R}.
Réponse b)

3. On pose X = e^x. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} W = +\infty et \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \dfrac{2X-1}{X+2} = \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \dfrac{2X}{X} = 2.
Par composition, on a donc \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2e^x-1}{e^x+2} = 2.
Réponse c)

4. y = 2y' - 1 \Longleftrightarrow y' = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2}. Les solutions sont donc les fonctions x \mapsto ke^{\frac{1}{2}x} - 1 avec k \in \mathbb{R}.
Réponse c)




exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Aire du domaine coloré en vert (voir dessin).

2. Ordonnée du point d'intersection de la droite y = lambda (en rouge) avec l'axe des ordonnées (voir dessin).
Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 5


Partie B

1. P(X \leq 1) = \displaystyle \int_0^1 1,5e^{-1,5t} dt = - \displaystyle \int_0^1 -1,5e^{-1,5t}dt = -[e^{-1,5t}]_0^1 = -(e^{-1,5} - 1) = 0,777

2. P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \displaystyle \int_0^2 1,5e^{-1,5t} dt = 1 + \displaystyle \int_0^2 -1,5 e^{-1,5t} dt = 1 + [e^{-1,5t}]_0^2 = 1 + e^{-3} - 1 = e^{-3}

3. P(1 \leq X \leq 2) = 1 - [P(X \leq 1) + P(X \geq 2)] = 1 - (0,777 + e^{-3}) = 0,173 à 10-3 près. C.Q.F.D

4. F(x) = \displaystyle \int_0^x 1,5t e^{-1,5t}dt
Une intégration par parties s'impose.
Posons u(x) = 1,5t et v'(x) = e^{-1,5t}
On a : u'(x) = 1,5 et v(x) = -\dfrac{2}{3}e^{-1,5t}
u et v étant dérivables sur \mathbb{R}
u' et v' étant continues sur \mathbb{R}.
On obtient F(x) = [-te^{-1,5t}]_0^x - \displaystyle \int_0^x -e^{-1,5t}dt
Donc F(x) = [-te^{-1,5t}]_0^x + \left[-\dfrac{2}{3}e^{-1,5t} \right]_0^x = -xe^{-1,5x} - \dfrac{2}{3}e^{-1,5x} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \left(-\dfrac{3}{2}xe^{-1,5x}-e^{-1,5x}+1 \right)
Conclusion : \boxed{F(x) = \dfrac{2}{3} \left(-\dfrac{3}{2}xe^{-1,5x} - e^{-1,5x}+1 \right)}
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-1,5x} = 0. On pose X = -\dfrac{3}{2}x. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} X = -\infty et \displaystyle \lim_{x to -\infty} Xe^X = 0
Par composition : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} -\dfrac{3}{2} x e^{-1,5x} = 0.
Ainsi, \displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x) = \dfrac{2}{3} (0 + 0 + 1) = \dfrac{2}{3}

Partie C

1. a) Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs l'écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.
Le cylindre est toujours accepté si X \leq 1 et est dans 80 % des cas accepté si 1 \leq X \leq 2.
Soit A l'événement : "le cylindre est accepté" : p(A) = p(X \leq 1) + 0,8 \times p(1 \le X \le 2).
D'après la partie B : p(A) = 0,777 + 0,8 \times 0,173 = 0,915 à 10-3 près. C.Q.F.D.

1. b) Le terme "sachant que" nous indique que l'on a affaire à une probabilité conditionnelle.
On pose R l'évènement : "le cylindre subit une rectification".
La probabilité cherchée est donc p_{\text{A}}(\text{R}).
p_{\text{A}}(\text{R}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{R})}{p(\text{A})} = \dfrac{0,8 \times 0,173}{0,915} = 0,151.

2. a) Considérons une épreuve de Bernoulli.
Epreuve : tirage d'un cylindre
Succès : le cylindre est accepté. p = 0,915.
On pose Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de succès (ou de cylindres acceptés). Sachant que l'épreuve est répété 10 fois et que les tirages sont indépendants les uns des autres, Y suit la loi binômiale \beta(10;0,915).
p(Y = 10) = {10 \choose 10} \times 0,915^{10} \times 0,085^0 = 0,411

2. b) "au moins un cylindre est refusé" est l'évènement contraire de "tous les cylindres sont acceptés".
p(Y < 10) = 1 - p(Y = 10) = 1 - 0,411 = 0,589




exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Ecrivons la transformation de B en son image C sous forme canonique :
soit c l'affixe de C : (c - a) = e^{i\frac{\pi}{3}}(b + i - a) \Longleftrightarrow c = e^{i\frac{\pi}{3}}(b+i-a) + a
\Longleftrightarrow c = \left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(b + i - a) + a \Longleftrightarrow c = \dfrac{1}{2}(b-a) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + a + i \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}b - \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)
Or \text{C} \in (O ; \vec{v}) \Longleftrightarrow c \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow Re(c) = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}(b - a) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + a = 0 \Longleftrightarrow b - a - \sqrt{3} + 2a = 0 \Longleftrightarrow b = \sqrt{3} - a
Conclusion : \boxed{b = \sqrt{3} - a}

1. b) En utilisant la question 1. a) : c = i \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3} - a) - \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right) = i(2 - \sqrt{3}a). (c est un imaginaire pur puisque C appartient à (O;\vec{v})

2. a) Attention : b = 0 mais B a pour affixe i.
C étant l'image de B par la rotation d'angle \dfrac{\pi}{3} et de centre A, on a AB = AC et (\overrightarrow{\text{AB}} ; \overrightarrow{\text{AC}}) = \dfrac{\pi}{3} donc ABC est équilatéral.
Remarque : il était possible de calculer les longueurs AB, AC et BC grâce aux modules.

2. b) \dfrac{d-a}{c-a} = \dfrac{2+\sqrt3-2i\sqrt3-\sqrt3}{-i-\sqrt3} = -\dfrac{2(1-i\sqrt3)}{i+\sqrt3} = -\dfrac{2(1-i\sqrt3)(\sqrt3-i)}{4} = -\dfrac{2(-i-3i)}{4}=2i
Or, \dfrac{d-a}{c-a}=2i \Longrightarrow \arg \left(\dfrac{d-a}{c-a} \right) = \arg(2i)
Il vient : \arg(d-a) - \arg(c-a) = \dfrac{\pi}{2} \Longleftrightarrow (\vec{u};\overrightarrow{AD}) - (\vec{u};\overrightarrow{AC}) = \dfrac{\pi}{2}
\Longleftrightarrow (\overrightarrow{AC};\vec{u}) + (\vec{u};\overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{2} \Longleftrightarrow (\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}) = \dfrac{\pi}{2}
Conclusion : Le triangle ACD est rectangle en A.

2. c) Ecrivons sous forme canonique la rotation du point D de centre A et d'angle \dfrac{\pi}{3}
z_{\text{E}} - a = e^{i\frac{\pi}{3}} (d - a) \Longleftrightarrow z_{\text{E}} = \left(\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(2 - 2i\sqrt{3}) + \sqrt{3} \Longleftrightarrow z_{\text{E}} = 4 + \sqrt{3}
Conclusion : \boxed{z_{\text{E}} = 4 + \sqrt{3}}

2. d) Rappel : Sous forme générale, l'écriture canonique d'une translation de vecteur \vec{u} s'écrit z' = z + k (k étant l'affixe de \vec{u} et z' étant l'image de z).
z_{\text{F}} = d + z_{\overrightarrow{\text{AC}}} = d + (c - a) = 2 + \sqrt3 - 2i\sqrt3 - i - \sqrt3 = 2 + i(-2\sqrt3 - 1)
Conclusion : \boxed{z_{\text{F}} = 2 + i(-2\sqrt3 - 1)}

2. e) \text{BE}^2 = |4 + \sqrt3 - i|^2 = (4 + \sqrt3)^2 + 1 = 20 + 8\sqrt3
\text{EF}^2 = |2 + i(-2\sqrt3 - 1) - (4 + \sqrt3)|^2 = |-2 - \sqrt3 + i(-2\sqrt3-1)|^2 = (-2-\sqrt3)^2+(-2\sqrt3-1)^2=(7+4\sqrt3)+(13+4\sqrt3)=20+8\sqrt3 \\ \text{BF}^2 = |2+i(-2\sqrt3-1)-i|^2=|2+i(-2\sqrt3-2)|^2=4+(-2\sqrt3-2)^2=20+8\sqrt3
Donc \text{BE}^2 = \text{EF}^2 = \text{BF}^2 \Longleftrightarrow \text{BE} = \text{EF} = \text{BF}
Conclusion : Le triangle BEF est équilatéral.




exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. A \neq D et I \neq E donc il existe une unique similitude directe transformant A en I et D en E (elle a pour rapport \dfrac{\text{IE}}{\text{AD}} et pour angle (\overrightarrow{\text{AD}} ; \overrightarrow{\text{IE}}).

2. Le rapport de s est égal à \dfrac{\text{IE}}{\text{AD}}.
Il faut exprimer IE et AD en fonction d'un même autre côté afin de pouvoir simplifier le rapport.
Expression de IE : en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle IDE, on a : IE² = DE² + ID². Or, I milieu de [DC],
donc \text{ID} = \dfrac{1}{2} \text{DC} et comme DCEO est un carré, on a DC = DE, donc \text{ID} = \dfrac{1}{2} \text{DE}.
Ainsi, en remplaçant dans la relation obtenue grâce au théorème de Pythagore : \text{IE}^2 = \text{DE}^2 + \left(\dfrac{1}{2} \text{DE} \right)^2 = \dfrac{5}{4} \text{DE}^2 donc \text{IE} = \dfrac{\sqrt5}{2} \text{DE}.
Expression de AD : en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABD, on a : AD² = AB² + BD². OABC et OCDE sont des carrés donc AB = OC = ED = DC = BC = OE = OA.
De là, on tire deux relations intéressantes : AB = DE et BD = 2BC \Longleftrightarrow BD = 2DE.
En remplaçant dans la relation trouvée obtenue au théorème de Pythagore : AD² = DE² + (2DE)² = 5 DE² donc \text{AD} = \sqrt{5} \text{DE}
Et maintenant, on peut simplifier le rapport : \dfrac{\text{IE}}{\text{AD}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2} \text{DE}}{\sqrt{5} \text{DE}} = \dfrac{1}{2}
Conclusion : La similitude admet pour rapport \dfrac{1}{2}

3. Soit B' l'image de B par s.
s a pour angle \dfrac{\pi}{2} et par hypothèse, s transforme A en I donc d'après la propriété de cours énoncée dans la question 1., (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{IB}'}) = \dfrac{\pi}{2}. Le point B' est donc sur la perpendiculaire à (AB) passant par I d'où : B' \in (DB).
De même, s transforme D en E, donc (\overrightarrow{\text{DB}},\overrightarrow{\text{EB}'}) = \dfrac{\pi}{2}. Le point B' est donc sur la perpendiculaire à (DB) passant par E d'où : B \in (DE).
Ainsi B' est à l'intersection des droites (DE) et (DB). On a donc : \boxed{\text{B}' = \text{D}}

4. Soit C' l'image de C par s.
\begin{array}{lccc} s : & \text{B} & \longrightarrow & \text{D} \\ & \text{D} & \longrightarrow & \text{E} \\ \end{array}
Donc [\text{BD}] \longrightarrow [\text{DE}].
C étant le milieu du segment [BD], son image est le milieu de [DE].

5. a) Si \Omega est le centre de s, alors on a :
\Omega \longrightarrow \Omega \\ \text{A} \longrightarrow \text{I}
Donc par définition (\overrightarrow{\Omega A};\overrightarrow{\Omega I}) = \dfrac{\pi}{2} \Longleftrightarrow \Omega appartient au cercle de diamètre [AI].
De même : \text{D} \longrightarrow \text{E}
Donc (\overrightarrow{\Omega D} ; \overrightarrow{\Omega E}) = \dfrac{\pi}{2} \Longleftrightarrow \Omega appartient au cercle de diamètre [DE].

5. b) (OC) est la médiane du rectangle ABDE et J est milieu de [OC], donc J est le centre du rectangle ABDE. Or, dans un rectangle, le centre est aussi le milieu des diagonales de ce rectangle donc J est le milieu de [AD].
Soit J' l'image de J par s : J' est le milieu du segment image de [AD].
Or, par s : \text{A} \longrightarrow \text{I} et \text{D} \longrightarrow \text{E} donc [\text{AD}] \longrightarrow [\text{IE}]. J' est donc le milieu de [IE].
De plus, (\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{IE}) = \dfrac{\pi}{2}, J \in (AD) et j' \in (IE), donc (\overrightarrow{HJ};\overrightarrow{HJ'}) = -\dfrac{\pi}{2}
Or, par définition de s, (\overrightarrow{\Omega J};\overrightarrow{\Omega J'}) = \dfrac{\pi}{2} donc \Omega \neq \text{H}. C.Q.F.D
N.B : Le point \Omega est l'autre point d'intersection des cercles de diamètre [AI] et [DE].

5. c)
Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 4


6. a) s est une similitude directe donc elle est de la forme z' = az + b.
Dans le répère (O ; \overrightarrow{OA} , \olverrightarrow{OC}), A a pour affixe z_{\text{A}} = 1, I a pour affixe z_{\text{I}} = -\dfrac{1}{2} + i, D a pour affixe z_{\text{D}} = -1 + i, E a pour affixe e_{\text{E}} = -1.
Or, en considérant en s, on a :
\text{A} \longrightarrow \text{I}\\ \text{D} \lonrightarrow E
On peut donc écrire un système de deux équations :
\left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} + i \\ a(-1 + i) + b = -1 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} + i \\ a(2 - i) = \dfrac{1}{2}+i} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} + i \\ a(2 - i) = \dfrac{1}{2} i \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} i \\ a = \dfrac{\dfrac{1}{2} + i}{2 - i} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} + i \\ a = \dfrac{\left( \dfrac{1}{2} + i \right)(2 + i)}{5} \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a + b = -\dfrac{1}{2} + i \\ a = \dfrac{\dfrac{5}{2}i}{5} = \dfrac{i}{2} \\ \end{array} \right.
Donc en remplaçant dans la première équation du système, on a :
\dfrac{i}{2} + b = -\dfrac{1}{2} + i \Longleftrightarrow b = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i
Conclusion : l'écriture complexe de s est \boxed{z' = \dfrac{1}{2}iz - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i}.

6. b) \Omega étant le centre de s, il s'agit du seul point invariant de la similitude, donc : z'_{\Omega} = z_{\Omega}
On résout :
z_{\Omega} = \dfrac{1}{2} i z_{\Omega} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}'2} i \Longleftrightarrow z_{\Omega} - \dfrac{1}{2} i z_{\Omega} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i \Longleftrightarrow z_{\Omega} \left(1 - \dfrac{1}{2}i \right) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i \Longleftrightarrow z_{\Omega} = \dfrac{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i}{1 - \dfrac{1}{2}i} \Longleftrightarrow z_{\Omega} = \dfrac{\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} i \right) \left(1 + \dfrac{1}{2} i\right)}{\dfrac{5}{4}} \Longleftrightarrow z_{\Omega} = \dfrac{-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}i}{\dfrac{5}{4}} \Longleftrightarrow z_{\Omega} = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}i
Conclusion : \boxed{z_{\Omega} = -\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}i}




exercice 5 - Commun à tous les candidats

Partie A

1.
Bac Scientifique Antilles-Guyane Juin 2006 : image 6


2. \text{A}_{n+1} d'abscisse \alpha_{n+1} est le barycentre de (\text{A}_n,2) avec \text{A}_n d'abcisse a_n et (\text{B}_n , 1) avec \text{B}_n d'abscisse b_n donc d'après la formule des coordonnées du barycentre, on a :
a_{n+1} = \dfrac{2a_n+b_n}{3}

Partie B

1. a) u_n = b_n - a_n \Longleftrightarrow u_{n+1} = b_{n+1} - a_{n+1} \Longleftrightarrow u_{n+1} = \dfrac{a_n+3b_n}{4} - \dfrac{2a_n+b_n}{3} \Longleftrightarrow u_{n+1} = \dfrac{3a_n+9b_n-8a_n-4b_n}{12} \Longleftrightarrow u_{n+1} = \dfrac{-5a_n+5b_n}{12}\Longleftrightarrow u_{n+1} = \dfrac{5}{12}(b_n - a_n)
\Longleftrightarrow u_{n+1} = \dfrac{5}{12}u_n
(u_n) est donc une suite géométrique de raison \dfrac{5}{12}.

1. b) L'expression du terme général d'une suite géométrique peut s'écrire u_n = u_0 \times q^n (q est la raison et u_0 le premier terme).
u_0 = b_0 - a_0 = 12
donc \boxed{u_n = 12 \times \left(\dfrac{5}{12} \right)^n}

1. c) \displyastyle_{n \to +\infty} \left( \dfrac{5}{12} \right)^n = 0 car 0 \le \dfrac{5}{12} \le 1.
Donc \displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n ) 0
Or, \displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n = 0 \Longleftrightarrow \displaystyle \lim_{n\to +\infty} (b_n - a_n) = 0
Donc lorsque n se rapproche de l'infini, les points \text{A}_n et \text{B}_n sont de plus en plus proches.

2. a) Une méthode à connaître : pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, il faut étudier le signe de la différence de deux termes consécutifs.
a_{n+1} - a_n = \dfrac{2a_n + b_n}{3} - a_n = \dfrac{2a_n + b_n - 3a_n}{3} = \dfrac{b_n - a_n}{3} = \dfrac{u_n}{3}.
Or, pour tout n \in \mathbb{N}, u_n \ge 0 (premier terme positif, raison positive et suite géométrique) donc a_{n+1} - a_n \geq 0 \Longleftrightarrow a_{n+1} \geq a_n. La suite (a_n) est donc croissante. C.Q.F.D.

2. b) b_{n+1} - b_n = \dfrac{a_n + 3b_n}{4} - b_n = \dfrac{a_n - b_n}{4} = -\dfrac{u_n}{4}. [nl}Pour tout n \in \mathbb{N}, u_n \ge 0 donc -\dfrac{u_n}{4} \leq 0.
On a donc b_{n+1} - b_n \le 0 \Longleftrightarrow b_{n+1} \le b_n est donc décroissante.

3. On a (a_n) croissante et (b_n) décroissante. De plus, \displaystyle \lim_{n\to +\infty} (b_n - a_n) = 0 (voir question 1. c)).
Les suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes. Elles convergent vers un même réel.

Partie C

1. v_n = 3a_n + 4b_n \Longleftrightarrow v_{n+1} = 3a_{n+1} + 4b_{n+1} \Longleftrightarrow 3 \left( \dfrac{2a_n + b_n}{3} \right) + 4 \left( \dfrac{a_n + 3b_n}{4} \right) \Longleftrightarrow v_{n+1} = 2a_n + b_n + a_n + 3b_n \Longleftrightarrow v_{n+1} = 3a_n + 4b_n \Longleftrightarrow v_{n+1} = v_n
La suite (v_n) est donc constante.

2. (v_n) est constante, donc v_n = v_0 = 3a_0 + 4b_0 = 4 \times 12 = 48.
On pose \ell = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n
On a \displaystyle \lim_{n\to +\infty} v_n = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} (3a_n + 4b_n) = \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 3a_n + \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 4b_n = 3\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_n + 4\displaystyle \lim_{n\to +\infty} b_n = 3 \ell + 4 \ell
Or, \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = 48 (car (v_n) est constante), donc 3\ell + 4\ell = 48 \Longleftrightarrow 7 \ell = 48 \Longleftrightarrow \ell = \dfrac{48}{7}
Conclusion : les suites (a_n) et (b_n) ont pour limite \boxed{\ell = \dfrac{48}{7}}
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