Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session Septembre 2006

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L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures
4 points

exercice 1

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O \, ; \, \vec{u} \, , \, \vec{v}).
On pose a = 3, b = 5 - 2\text{i} et c = 5 + 2\text{i}. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c.
Soit M un point d'affixe z du plan, distinct des points A et B.
    a) Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
    b) Donner une interpréatation géométrique de l'argument du nombre complexe \dfrac{z-3}{z-5+2\text{i}} .
    c) Déterminer alors l'ensemble des points M d'affixe z tels que \dfrac{z-3}{z-5+2\text{i}} soit un nombre réel strictement négatif.

2. Soit \Gamma le cercle circonscrit au triangle ABC et \Omega le point d'affixe 2 - \text{i}.
    a) Donner l'écriture complexe de la rotation r de centre \Omega et d'angle -\dfrac{\pi}{2}.
    b) Déterminer l'image \Gamma' de \Gamma par la rotation r. Déterminer une équation paramétrique de \Gamma'.


4 points

exercice 2

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.

1. On effectue trois tirages successifs au hasard d'une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l'issue des trois tirages. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
    a) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
    b) Calculer P(X = 0).
    c) On se propose de déterminer maintenant P(X=1).
Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à \dfrac{8}{45}
En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P(X=1).

2. On reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la même procédure : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l'urne.
Soit k un entier compris entre 1 et n.
Soit N l'évènement : "la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches".
Soit A l'évènement : "on obtient une boule blanche dans chacun des k - 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième"
Soit B l'évènement : "on obtient une boule blanche dans chacun des (n - k) derniers tirages".
Calculer P(A), P_A(B) et P(N).


7 points

exercice 3

1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par : f(x) = (2x^3 - 4x^2)e^{-x}
    a) Déterminer les limites de f en -\infty et en +\infty.
    b) Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = 2x(-x^2 + 5x - 4)e^{-x}
    c) Dresser le tableau de variations de f.
    d) Tracer la courbe (\scr{C}) représentative de f dans un repère orthonormal (O \, ; \, \vec{i} \, , \, \vec{j}) (unité graphique : 1 cm)

2. Pour n \in \mathbb{N}^*, on pose I_n = \displaystyle \int_0^1 x^ne^{-x} \text{d}x
    a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer I_1.
    b) On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, I_n = nI_{n-1} - \dfrac{1}{e}.
Déterminer I_2 et I_3.
    c) Soit \scr{A} l'aire, exprimée en cm², du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (\scr{C}) et les droites d'équation x = 0 et x = 1. Calculer \scr{A}.

3. Soit u une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}.
On définit la fonction v sur ]0 \, ; \, +\infty[ par v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right).
    a) On suppose que u est croissante sur l'intervalle [a ; b] (où 0 < a < b). Déterminer le sens de variations de v sur \left[\dfrac{1}{b} \, ; \, \dfrac{1}{a}\right].
    b) On définit maintenant la fonction g par g(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)f est la fonction définie dans la question 1.. Déterminer les limites de g en 0 et en +\infty.
    c) Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 \, ; \, +\infty[.


5 points

exercice 4

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O \, ; \, \vec{i} \, ; \, \vec{j} \, ; \, \vec{k}).
Soit (P_1) le plan d'équation cartésienne -2x+y+z-6=0 et (P_2) le plan d'équation cartésienne x-2y+4z-9=0.

1. Montrer que (P_1) et (P_2) sont perpendiculaires.
On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non nul à l'un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l'autre.

2. Soit (D) la droite d'intersection des plans (P_1) et (P_2). Montrer qu'une représentation paramétrique de (D) est :
\left \lbrace \begin{array}{l} x = -7+2t\\ y = -8+3t \\ z = t \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} (t\in\mathbb{R})

3. Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées (-9 ; -4 ; -1).
    a) Vérifier que A n'appartient ni à (P_1) ni à (P_2).
    b) Exprimer AM² en fonction de t.
    c) Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(t) = 2t^2-2t+3.
Etudier les variations de f.
Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale ?
Dans la suite, on désignera ce point par I.
Préciser les coordonnées du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A.
    a) Déterminer une équation de (Q).
    b) Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D).






exercice 1

1. a) Calcul des longueurs AB et AC :
AB = |z_B - z_A| = |5-2i-3| = |2-2i| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}\\ AC = |z_C - z_A| = |5+2i-3| = |2+2i| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}
On a : AB = AC, donc le triangle ABC est isocèle en A.

Affixe des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} : z_{\overrightarrow{AB}} = z_B-z_A = 2-2i   et   z_{\overrightarrow{AC}} = z_C-z_A = 2+2i
Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ont pour coordonnées : \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \end{array} \right)  et  \overrightarrow{AC} \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)
On a donc : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=2\times2-2\times2=4-4=0
Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont donc orthogonaux. Le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle ABC est donc isocèle rectangle en A.

1. b) On a : \dfrac{z-3}{z-5+2i}=\dfrac{z_M-z_A}{z_M-z_B}=\dfrac{z_{\overrightarrow{AM}}}{z_{\overrightarrow{BM}}}
Donc \arg \left(\dfrac{z-3}{z-5+2i}\right) = \arg \(\dfrac{z_{\overrightarrow{AM}}}{z_{\overrightarrow{BM}}}\) = \arg(z_{\overrightarrow{AM}})-\arg(z_{\overrightarrow{BM}})=(\vec{i},\overrightarrow{AM})-(\vec{i},\overrightarrow{BM})=(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM})=(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})[2\pi]
L'argument de \dfrac{z-3}{z-5+2i} représente l'angle orienté formé par les vecteurs \overrightarrow{MB} et \overrightarrow{MA}.

1. c) \dfrac{z-3}{z-5+2i} \in \mathbb{R}*^- \Longleftrightarrow \arg\(\dfrac{z-3}{z-5+2i}\)=\pi[2\pi] \Longleftrightarrow (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})=\pi[2\pi] \Longleftrightarrow B, M et A sont alignés dans cet ordre.
L'ensemble cherché est donc le segment [AB] privé des points A et B.

2. a) La rotation de centre \Omega et d'angle -\dfrac{\pi}{2} a pour écriture complexe : z' - (2-i) = \left( z-(2-i) \right) e^{-i\frac{\pi}{2}}, soit :
z' = 2-i-i(z-2+i) = 2-i-iz+2i+1 = -iz+3+i \\ \boxed{z'=-iz+3+i}

2. b) Le cercle \Gamma est le cercle circonscrit au triangle ABC. Or ABC est rectangle en A, le centre du cercle est donc le milieu du côté [BC]. Soit I ce milieu. Son affixe est z_I = \dfrac{b+c}{2} = \dfrac{5-2i+5+2i}{2} = 5.
Le rayon du cercle est R = IB = IC = \dfrac{BC}{2}. Or dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 8 + 8 = 16 donc BC = 4 et R = 2.
\Gamma est le cercle de centre I d'affixe 5 et de rayon 2.
L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon et dont le centre est l'image du centre du cercle d'origine.
Soit I' l'image de I par la rotation r. D'après la question précédente, on a : z_{I'}=-iz_I+3+i=-5i+3+i=3-4i.
\Gamma ' est donc le cercle de centre I' d'affixe 3 - 4i et de rayon 2.
L'équation paramétrique de \Gamma ' est donc \boxed{z=2e^{i\theta}+3-4i,\theta\in[0,2\pi[}




exercice 2

1. a) L'arbre pondéré correspondant à cette expérience est le suivant :
bac S Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 1

Les valeurs que peut prendre X sont 0,1 ou 2.

1. b) La probabilité de tirer 0 boule noire est égale à la probabilité de tirer 3 boules blanches :p(X=0)=\dfrac{4}{6}\times\dfrac{4}{6}\times\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}

1. c) Cela correspond à la 3e branche de l'arbre ci-dessous :
la première boule est blanche : 4 chances sur 6. La boule est blanche, on la remet dans l'urne. Il y a donc toujours 4 boules blanches et 2 boules noires
la deuxième boule est noire : 2 chances sur 6. La boule est noire, on ne la remet pas dans l'urne. Il reste donc 4 boules blanches et 1 boule noire.
la troisième boule est blanche : 4 chances sur 5. D'où :
p(BNB) = \dfrac{4}{6}\times\dfrac{2}{6}\times\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{45}

Pour X = 1, la boule noire peut être tirée soit au 1er soit au 2e soit au 3e tour.
Cela correspond aux 5e, 3e et 2e branches de l'arbre. On a montré que p(BNB) = \dfrac{8}{45}.
On calcule de même : p(NBB) = \dfrac{16}{75} et p(BBN) = \dfrac{4}{27}.
On a alors p(X=1) = p(NBB) + p(BNB) + p(BBN) = \dfrac{16}{75}+\dfrac{8}{45}+\dfrac{4}{27} = \dfrac{16\times9+8\times15+4\times25}{675}=\dfrac{364}{675}
\boxed{p(X=1)=\frac{364}{675}}


2. A = "on obtient une boule blanche dans chacun des k-1 premiers tirages et une boule noire au k-ième"
la 1ere boule est blanche : 4 chances sur 6. On la remet dans l'urne, il y a toujours 4 boules blanches et 2 noires:
p(\text{ la 1ere boule est blanche}) = \dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}
la 2e boule est blanche : 4 chances sur 6. On la remet dans l'urne, il y a toujours 4 boules blanches et 2 noires.
p(\text{ les 2 1eres boules sont blanches}) = \(\dfrac{4}{6}\)^2 = \(\dfrac{2}{3}\)^2
...
- la (k-1)-ième boule est blanche : 4 chances sur 6. On la remet dans l'urne, il y a toujours 4 boules blanches et 2 noires.
p(\text{ les k-1 1eres boules sont blanches}) = \(\dfrac{2}{3}\)^{k-1}
la k-ième boule est noire : 2 chances sur 6. On ne la remet pas dans l'urne. A l'issue de A, il reste donc 4 boules blanches et 1 noire dans l'urne.
p(\text{ les k-1 1eres boules sont blanches et la k-ieme est noire}) = \(\dfrac{2}{3}\)^{k-1}\times\dfrac{1}{3}
On a donc \boxed{p(A)=\frac{1}{3}\(\frac{2}{3}\)^{k-1}}

B = "on obtient une boule blanche à chacun des (n-k) derniers tirages".
Si A est réalisé, il reste 4 boules blanches et 1 boule noire dans l'urne.
la k+1-ième boule est blanche : 4 chances sur 5. On la remet dans l'urne, qui contient toujours 4 boules blanches et 1 noire. p(\text{ la k+1-ieme boule est blanche sachant A})=\dfrac{4}{5}
la k+2-ième boule est blanche : 4 chances sur 5. On la remet dans l'urne, qui contient toujours 4 boules blanches et 1 noire. p(\text{ les k+1 et k+2-iemes boules sont blanches sachant A})=\(\dfrac{4}{5}\)^2
...
la dernière boule est blanche : 4 chances sur 5. p(\text{ les n-k dernières boules sont blanches sachant A}) = \(\dfrac{4}{5}\)^{n-k}
Donc \boxed{p_A(B) = \(\dfrac{4}{5}\)^{n-k}}
N = A \cap B donc p(N)=p(A\cap B)=p(A)p_A(B) donc \boxed{p(N)=\frac{1}{3}\(\frac{2}{3}\)^{k-1}\(\frac{4}{5}\)^{n-k}}




exercice 3

1. a) \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2x^3-4x^2)e^{-x}=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}2x^3e^{-x}=-\infty
car \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty et \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{-x}=\displaystyle \lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty
Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(2x^3-4x^2)e^{-x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}2x^3e^{-x}=0
car \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \, x^3 e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0 d'après le théorème des croissances comparées.
Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=0}

1. b) f est définie et dérivable sur \mathbb{R} et f=uv en posant u(x)=2x^3-4x^2 et v(x)=e^{-x}.
On a alors : u'(x)=6x^2-8x, v'(x)=-e^{-x} donc :
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(6x^2-8x)e^{-x}+(2x^3-4x^2)(-e^{-x})=(6x^2-8x-2x^3+4x^2)e^{-x} \\ =(-2x^3+10x^2-8x)e^{-x}=2x(-x^2+5x-4)e^{-x}
Donc \boxed{f'(x)=2x(-x^2+5x-4)e^{-x}}

1. c) Pour étudier les variations de f, il faut déterminer le signe de f '.
2x est positif sur \mathbb{R}^+et négatif sur \mathbb{R}^-
une exponentielle est toujours strictement positive
P(x)=-x^2+5x-4
\Delta=b^2-4ac=25-16=9=3^2
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-3}{-2}=4 et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+3}{-2}=1
Le polynôme est du signe de a (donc négatif) sauf à l'intérieur de ses racines (donc sur [1 ; 4])
D'où le tableau de variations de f :
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCC|} \hline x & -\infty & & 0 & & 1 & & 4 & & +\infty \\ \hline 2x & & - & 0 & + & & + & & + & \\ \hline P(x) & & - & &- & 0 & + & 0 & - & \\ \hline  f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline  \niveau{2}{3} f(x) & -\infty & \croit & 0 & \decroit & -\dfrac{2}{e} & \croit & \dfrac{64}{e^4}} & \decroit & 0 \\ \hline  \end{tabvar}}


1. d) Courbe :
bac S Polynésie Française septembre 2006 - terminale : image 2


2. a) I_1 = \displaystyle \int_0^1 xe^{-x}~dx
On pose u(x) = -x et v'(x)=-e^{-x}. Alors u'(x)=-1 et on choisit v(x)=e^{-x}.
On a alors : I_1 = \displaystyle \int_0^1u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_0^1 - \displaystyle \int_0^1u'(x)v(x)dx=[-xe^{-x}]_0^1- \displaystyle \int_0^1-e^{-x}dx
=-\frac{1}{e}-[e^{-x}]_0^1=-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+1=1-\frac{2}{e}
Donc \boxed{I_1=1-\frac{2}{e}}

2. b) I_2 = 2I_1 - \dfrac{1}{e} = 2\(1-\dfrac{2}{e}\)-\dfrac{1}{e} = 2-\dfrac{5}{e} donc \boxed{I_2=2-\frac{5}{e}}
I_3 = 3I_2-\dfrac{1}{e} = 3\(2-\dfrac{5}{e}\)-\dfrac{1}{e}=6-\dfrac{16}{e} donc \boxed{I_3=6-\frac{16}{e}}

2. c) La fonction f est négative sur [0 ; 1], donc :
A = \displaystyle \int_0^1|f(x)|dx = \displaystyle \int_0^1(-f(x))dx = \displaystyle \int_0^1(-2x^3+4x^2)e^{-x}dx \\ = -2 \displaystyle \int_0^1x^3e^{-x}dx + 4\displaystyle \int_0^1x^2e^{-x}dx =-2I_3+4I_2\\ =-2\(6-\dfrac{16}{e}\)+4\(2-\dfrac{5}{e}\)=-12+\dfrac{32}{e}+8-\dfrac{20}{e}=\dfrac{12}{e}-4
Donc \boxed{A=\frac{12}{e}-4=0,41}

3. a) Soient x_1 et x_2 deux réels de l'intervalle \[\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{a}\] tels que : 0 < \dfrac{1}{b} \le x_1 < x_2\le \dfrac{1}{a}.
On a alors : 0 < a \le \dfrac{1}{x_2 }< \dfrac{1}{x_1}<b, or u est croissante sur [a;b] donc u(a)\le u\(\dfrac{1}{x_2}\)\le u\(\dfrac{1}{x_1}\)\le u(b).
Pour 0<\dfrac{1}{b}\le x_1<x_2\le \dfrac{1}{a} on a donc v(x_2)\le v(x_1) donc v est décroissante sur \[\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{a}\].

3. b) \displaystyle \lim_{x \to 0}g(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0}f\(\dfrac{1}{x}\)=\displaystyle \lim_{X\to+\infty}f(X)=0 donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to0}g(x)=0}
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=\displaystyle \lim_{x\to0}f\(\dfrac{1}{x}\)=\displaystyle \lim_{X\to0}f(X)=f(0)=0 donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=0}

3. c)
Sur [4,+\infty[, f est décroissante, donc g est croissante sur \left] 0 ; \dfrac{1}{4} \right] avec g\(\dfrac{1}{4}\)=f(4)=\dfrac{64}{e^4}
Sur [1;4], f est croissante, donc g est décroissante sur \left[\dfrac{1}{4};1\right] avec g(1)=f(1)=-\dfrac{2}{e}
Sur [0;1], f est décroissante, donc g est croissante sur [1,+\infty[.
\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{1}{4} & & 1 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{3} g(x) & 0 & \croit & \dfrac{64}{e^4} & \decroit & -\dfrac{2}{e} & \croit & 0 \\ \hline \end{tabvar}

exercice 4

1. \vec{n_1}(-2,1,1) est un vecteur normal à (P_1) et \vec{n_2}(1,-2,4) est un vecteur normal à (P_2).
\vec{n_1}.\vec{n_2}=-2\times1+1\times(-2)+1\times4=-2-2+4=0 donc les vecteurs \vec{n_1} et \vec{n_2} sont orthogonaux.
Donc les plans (P_1) et (P_2) sont perpendiculaires.

2. (P_1) et (P_2) sont perpendiculaires, ils se coupent donc en une droite (D).
Si M(x,y,z) appartient à la droite paramétrée par : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  x & -7+2t \\ y&-8+3t  \\  z & t  \\ \end{array} \right.  \hspace{5pt} (t\in\mathbb{R}), alors :
-2x+y+z-6=-2(-7+2t)+(-8+3t)+t-6=14-4t-8+3t+t-6=0 donc M\in(P_1)
x-2y+4z-9=(-7+2t)-2(-8+3t)+4t-9=-7+2t+16-6t+4t-9=0 donc M\in(P_2)
Il s'agit donc bien de la droite d'intersection de (P_1) et (P_2).
Une équation paramétrique de (D) est donc : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}  x & -7+2t \\ y&-8+3t  \\  z & t  \\ \end{array} \right. \hspace{5pt} (t\in\mathbb{R}).

3. a) -2x_A+y_A+z_A-6=-2\times(-9)+(-4)+(-1)-6=18-4-1-6=7\neq 0 donc \boxed{A\notin (P_1)}
x_A-2y_A+4z_A-9=-9+(-2)\times(-4)+4\times(-1)-9=-9+8-4-9=-14\neq0 donc \boxed{A\notin (P_2)}

3. b) AM^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=(-7+2t+9)^2+(-8+3t+4)^2+(t+1)^2=(2t+2)^2+(3t-4)^2+(t+1)^2
=4t^2+8t+4+9t^2-24t+16+t^2+2t+1=14t^2-14t+21=7(2t^2-2t+3)
Donc \boxed{AM^2=7(2t^2-2t+3)}

3. c) f est un polynôme du second degré, avec f'(t)=4t-2=2(2t-1).
f'(t)>0 \Longleftrightarrow 2t-1>0 \Longleftrightarrow t>\dfrac{1}{2} donc f est croissante sur \left[\dfrac{1}{2},+\infty \right[ et décroissante sur \left]-\infty,\dfrac{1}{2}\right]
AM minimale \Longleftrightarrow AM² minimal \Longleftrightarrow f'(t)=0 \Longleftrightarrow t = \dfrac{1}{2}
Donc x=-7+2t=-7+1=-6       ;       y=-8+3t=-8+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{13}{2}       ;       z=\dfrac{1}{2}
Le point M tel que AM est minimale est le point I : \boxed{I \(-6;-\frac{13}{2};\frac{1}{2}\)}

4. a) M(x,y,z)\in (Q) \Longleftrightarrow (AM)\perp (D)
Soient les points C et D de (D) de paramètres respectifs t=0 et t=1. Leurs coordonnées sont C(-7;-8;0) et D(-5;-5;1) et le vecteur \overrightarrow{CD}(2;3;1) est un vecteur directeur de la droite (D).
Alors, M(x,y,z)\in (Q) \Longleftrightarrow les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD}=0
Or \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{CD} = 2(x+9)+3(y+4)+z+1=2x+3y+z+31
Donc M(x,y,z)\in (Q) \Longleftrightarrow 2x+3y+z+31=0
L'équation de (Q) est : \boxed{2x+3y+z+31=0}

4 .b) 2x_I+3y_I+z_I+31=-12-\dfrac{39}{2}+\dfrac{1}{2}+31=-12-19+31=0 donc I\in(Q).
I\in(D) et I\in(Q) donc I intersection de (D) et (Q).
Or (D) et (Q) sont perpendiculaires, donc I projeté orthogonal de tout point de (Q) sur (D).
Or A \in (Q) donc I est le projeté orthogonal de A sur (D).
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