Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Antilles Guyane - Session de remplacement Septembre 2006

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On se propose de déterminer des valeurs approchées de l'intégrale \displaystyle  \text{I} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t en utilisant deux méthodes distinctes.
Les parties A et B sont largement indépendantes l'une de l'autre.

Partie A - Utilisation d'une intégration par parties

1. En remarquant que \dfrac{10t^2}{1 + t^2}= 5t \times \dfrac{2t}{1 + t^2}, établir l'égalité
\displaystyle \text{I} = \dfrac{5}{2}\times \ln \left(\dfrac{5}{4}\right) - 5 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t.

2. On pose, pour x positif ou nul, f(x) = \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2} et g(x) = \ln (1 + x) - x.
    a) En utilisant les variations de f, démontrer que f (x) \ge 0. En procédant de la même façon, on pourrait établir que g(x) \le 0, inégalité que l'on admettra ici.
    b) À l'aide de ce qui précède, montrer que l'encadrement :
t^2 - \dfrac{t^4}{2} \le \ln \left(1 + t^2\right) \le  t^2.
est vrai pour tout réel t.
    c) Déduire de la question précédente que
\displaystyle -\dfrac{5}{24} \le -5\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t \le - \dfrac{37}{192}.

3. En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0,02 de \text{I} par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

Partie B - Utilisation de la méthode d'Euler

1. On pose \displaystyle \varphi(x) = \int_{0}^{x} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t pour x \in \left[0 ; \dfrac{1}{2}\right].
Préciser \varphi(0) ainsi que la fonction dérivée de \varphi.

2. On rappelle que la méthode d'Euler permet de construire une suite de points M_{n}\left(x_{n}  ; y_{n}\right) proches de la courbe représentative de \varphi. En choisissant comme pas h = 0,1, on obtient la suite de points M_{n} définie pour n entier naturel par :
\left\lbrace\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ y_{0} = 0 \end{array}\right.     et    \left\lbrace\begin{array}{l} x_{n+1} = x_{n} + 0,1 \\ y_{n+1} = y_n + \varphi'\left(x_{n}\right) \times 0,1 \end{array}\right.
En utilisant, sans la justifier, l'égalité x_{n}  = \dfrac{n}{10} vérifier que y_{n+1} = y_{n} + \dfrac{n^2}{100 + n^2}.

3. Calculer y_{1}, et y_{2}, puis exprimer y_{3}, y_{4} et y_{5} sous la forme d'une somme de fractions que l'on ne cherchera pas à simplifier.
Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y_{5}.
Le réel x_{5} étant égal à \dfrac{1}{2}, y_{5} est donc une valeur approchée de \varphi\left(\dfrac{1}{2}\right) c'est-à-dire de \text{I}.

4. Avec la méthode d'Euler au pas h = 0,01, on obtient, pour \text{I}, la valeur approchée 0,354.
Les valeurs de \text{I} obtenues avec la méthode d'Euler sont-elles compatibles avec l'encadrement de la question 3. de la partie A ?


5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}).
On désigne par A et B les point, d'affixes respectives 2 et 3.
On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l'énoncé.
La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.

1. a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
z^2 - 4z + 6 = 0.

    b) On désigne par M1 et M2 les points d'affixes respectives
z_{1} = 2 + \text{i}\sqrt{2}     et     z_{2} =  2 - \text{i}\sqrt{2}.
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe \dfrac{z_{1} - 3}{z_{1}}.
En déduire que le triangle OBM_{1} est un triangle rectangle.
    c) Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M1 et M2, appartiennent à un même cercle \mathcal{C} que l'on précisera.
Tracer le cercle \mathcal{C} et placer les points M1 et M2 sur le dessin.

2. On appelle f l'application du plan qui, à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par l'égalité z'=  z^2 - 4z + 6.
On désigne par \Gamma le cercle de centre A et de rayon \sqrt{2}.
Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin,
    a) Vérifier l'égalité suivante z'- 2  =  (z - 2)^2.
    b) Soit M le point de \Gamma d'affixe z = 2  + \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\theta}\theta désigne un réel de l'intervalle ]- \pi ; \pi].
Vérifier l'égalité suivante : z'= 2 + 2\text{e}^{2\text{i}\theta} et en déduire que M' est situé sur un cercle \Gamma' dont on précisera le centre et le rayon.
Tracer \Gamma' sur le dessin,

3. On appelle D le point d'affixe d = 2 + \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2} et on désigne par D' l'image de D par f.
    a) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d - 2.
En déduire que D est situé sur le cercle \Gamma.
    b) À l'aide la question 2. b), donner une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{AD}'}\right) et placer le point D' sur le dessin.
    c) Démontrer que le triangle OAD' est équilatéral.


4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

On suppose connu le résultat suivant :
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif \lambda alors, pour t réel positif, \displaystyle p(X \le  t) = \int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.


    Démontrer l'égalité suivante : p(X> t) = \text{e}^{- \lambda t}.
    En déduire que, pour s et t réels positifs, l'égalité suivante est vraie
   P_{(X>t)}(X> s + t)  = p(X> s) (loi de durée de vie sans vieillissement),
   P_{(X>t)}(X> s + t) désignant la probabilité de l'évènement (X> s + t) sachant que (X> t) est réalisé.

Partie B

La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif \lambda.

1. a) Déterminer une expression exacte de \lambda sachant que p(T \le  10) = 0,7.
On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de \lambda.
    b) Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle P_{(T > 10)}(T> 15).
    c) Sachant qu'un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.
On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse.

2. On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10 minutes.
    a) Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y.
    b) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes.
Déterminer à 0,01 près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses.


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un cube ABCDEFGH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. K désigne le centre de la face BCGE. Les calculs seront effectués dans le repère orthonormal \left(\text{A} ;  \overrightarrow{\text{AB}},  \overrightarrow{\text{AD}},  \overrightarrow{\text{AE}}\right).
Bac scientifique Antilles - Guyane Septembre 2006 - terminale : image 1


1. a) Démontrer que le quadrilatère DIFJ est un parallélogramme.
Établir que DIFJ est en fait un losange et montrer que l'aire de ce losange est égale à \dfrac{\sqrt{6}}{2}.
    b) Vérifier que le vecteur \vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\end{array}\right) est un vecteur normal au plan (DIJ).
En déduire une équation cartésienne de ce plan.
    c) Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIFJ.
On rappelle que le volume V d'une pyramide de hauteur h et de base correspondante \mathcal{B} est donné par la formule suivante V = \dfrac{1}{3} \times  \mathcal{B}\times  h.



2. Soit (\Delta) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)
    a) Donner une représentation paramétrique de (\Delta) et prouver que K est un point de (\Delta).
    b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection L de (\Delta) et du plan (DIJ).
    c) Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG.

3. Soit (S) l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y- z + \dfrac{4}{3} =  0.
    a) Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon.
    b) Montrer que L est un point de (S), Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat ?


5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; \vec{u},\vec{v}).
On désigne par A et C les points d'affixes respectives 1 et 2i.
Sur le dessin joint ci-dessous (à rendre avec la copie), le quadrilatère OABC est un rectangle et I désigne le milieu de [AB].
Bac scientifique Antilles - Guyane Septembre 2006 - terminale : image 2


1. a) Justifier le fait qu'il existe une unique similitude directe s qui transforme O en I et A en C.
    b) Déterminer l'écriture complexe de s. En déduire les éléments caractéristiques de s et, en particulier, établir que l'affixe du centre \Omega de s vaut \dfrac{1 + 3\text{i}}{5}.
    c) Vérifier par un calcul que \Omega est situé sur le cercle \Gamma de centre A passant par O.

2. Soit f l'application du plan complexe d'écriture complexe
z \longmapsto \dfrac{-3 - 4\text{i}}{5}\overline{z}  + \dfrac{8 + 4\text{i}}{5}.

    a) Déterminer les images par f des points A et C. En déduire la nature précise de f, puis démontrer que I est l'image de \Omega par la symétrie orthogonale d'axe (AC).
    b) Construire le cercle \Gamma sur le dessin et placer également le point \Omega en utilisant les informations géométriques précédentes.

3. À tout point M d'image M' par s, on associe le point M'' défini par l'égalité vectorielle \overrightarrow{M'M''} = \overrightarrow{\Omega M}.
    a) Quel est le point \Omega'' associé à \Omega ?
    b) Construire avec soin le point A'' en laissant les traits de construction.
    c) On suppose maintenant que M a pour affixe z.
Démontrer que M'' a pour affixe z'' = \text{i}z + \dfrac{4 + 2\text{i}}{5}.
En déduire que M'' est l'image de M par une similitude dont on donnera les éléments caractéristiques.
    d) Déterminer et représenter sur le dessin l'ensemble \Gamma'' des points M'' lorsque M décrit le cercle \Gamma.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Utilisation d'une intégration par parties

1.
\displaystyle  \text{I} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{10t^2}{1 + t^2}\:\text{d}t=\int_{0}^{\frac{1}{2}} 5t\dfrac{2t}{1 + t^2}\:\text{d}t

Posons u(t)=5t \text{ et } v'(t)=\dfrac{2t}{1 + t^2}
Donc : u'(t)=5 \text{ et } v(t)=\ln(1 + t^2)
u et v sont dérivables à dérivées continues sur \left[0~;\dfrac{1}{2}\right] et on peut appliquer la formule d'intégration par parties :
\displaystyle  \text{I} =\left[5t\,\ln\,(1+t^2)\right]_0^{\frac{1}{2}}- \int_{0}^{\frac{1}{2}} 5\ln(1+t^2)\:\text{d}t

\boxed{\displaystyle I= \dfrac{5}{2}\ln \left(\dfrac{5}{4}\right) - 5 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t}


2. a) f est dérivable sur [0 ; +\infty[ et pour tout réel x de [0 ; +\infty[ :
f'(x)= \dfrac{1}{x+1} - 1 +x=\dfrac{x^2}{x+1}

On en déduit que f'(x)\geq 0 \text { sur } [0,+\infty[ et donc que f est croissante sur [0 ; +\infty[
Donc pour tout x\geq 0,\quad f(x)\geq f(0), c'est-à-dire :
\boxed{f(x)\geq 0 \text{ sur } [0,+\infty[ }


2. b) D'après la question précédente, on a pour tout réel x positif ou nul, f(x)\geq 0 \text{ et } g(x)\leq 0
Pour tout réel x positif ou nul, on en déduit l encadrement : x - \dfrac{x^2}{2}\leq \ln (1 + x) \leq x
Avec x=t^2\geq 0, on obtient :

\boxed{t^2 - \dfrac{t^4}{2}\leq \ln (1 + t^2) \leq t^2 \text{ pour tout réel t}}


2. c) On a vu précédemment que
t^2 - \dfrac{t^4}{2}\leq \ln (1 + t^2) \leq t^2

Il en découle
-5t^2 \leq -5\ln (1 + t^2)\leq -5\left(t^2- \dfrac{t^4}{2}\right)

Et comme 0\le \dfrac{1}{2}, on obtient :
\displaystyle -5\int_{0}^{\frac{1}{2}}t^2\, \text{d}t \leq -5\int_{0}^{\frac{1}{2}}\ln (1 + t^2)\,\text{d}t\leq -5\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2- \dfrac{t^4}{2}\right)\,\text{d}t

On en déduit :
\displaystyle -5\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^{\frac{1}{2}}\leq -5\int_{0}^{\frac{1}{2}}\ln (1 + t^2)\,\text{d}t\leq -5\left[\dfrac{t^3}{3}- \dfrac{t^5}{10}\right]_0^{\frac{1}{2}}

D'où :
\boxed{\displaystyle -\dfrac{5}{24} \le -5\int_{0}^{\frac{1}{2}} \ln \left(1 + t^2\right)\:\text{d}t \le - \dfrac{37}{192}}


3. En utilisant l'expression de I trouvée en 1., on obtient l'encadrement : \displaystyle \dfrac{5}{2}\ln \left(\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{5}{24} \le I \le \dfrac{5}{2}\ln \left(\dfrac{5}{4}\right)- \dfrac{37}{192}
\dfrac{5}{2}\ln \left(\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{5}{24}= 0,349 à 10-3 près par défaut et \dfrac{5}{2}\ln \left(\dfrac{5}{4}\right)- \dfrac{37}{192}= 0,366 à 10-3 près par excès.
Donc :
\boxed{0,349 \le I \le 0,366}

Remarque : 0,366 - 0,349 = 0,017 < 0,02. L'encadrement trouvé répond donc à la question.

Partie B - Utilisation de la méthode d'Euler

1. \varphi est la primitive de la fonction x\mapsto \dfrac{10x^2}{1+x^2} qui s'annule en 0; en conséquence :
\boxed{\varphi(0)=0\text{ et }\varphi'(x)=\dfrac{10x^2}{1 + x^2}}


2. On a pour tout entier naturel n :
y_{n+1}=y_{n}+\varphi'(x_n)\times 0,1=y_{n}+\dfrac{10x_n^2}{1 + x_n^2}\times 0,1=y_{n}+\dfrac{10\left(\dfrac{n}{10}\right)^2}{1 + \left(\dfrac{n}{10}\right)^2}\times 01=y_{n}+\dfrac{\left(\dfrac{n}{10}\right)^2}{1 + \left(\dfrac{n}{10}\right)^2}
\boxed{y_{n+1}=y_{n}+\dfrac{n^2}{100 + n^2}}


3.
\begin{matrix}&\bullet& y_1=y_0+0=\boxed{0}&\bullet&y_2=y_1+\dfrac{1}{101}=\boxed{\dfrac{1}{101}}\\ &\bullet &y_3=y_2+\dfrac{4}{100+4}=\dfrac{1}{101}+\dfrac{4}{104}=\boxed{\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{26}}&\bullet &y_4=y_3+\dfrac{9}{109}=\boxed{\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{26}+\dfrac{9}{109}}\\&\bullet& y_5=y_4+\dfrac{16}{116}=\boxed{\dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{26}+\dfrac{9}{109}+\dfrac{4}{29}}\end{matrix}
Valeur approchée de y_5 : y_5= \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{26}+\dfrac{9}{109}+\dfrac{4}{29}\approx \boxed{0.269}

4. La valeur obtenue avec la méthode d' Euler et un pas de 0,1 soit 0,269 n'est pas compatible avec l'encadrement trouvé dans la partie A.
La valeur obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,01 soit 0,354 est compatible avec l'encadrement trouvé dans la partie A.




exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a)
Discriminant : \Delta=(-4)^2-4\times 6 \times 1=16-24=-8<0
L'équation admet donc deux solutions complexes : z_1=\dfrac{4+i\sqrt{8}}{2}=2+i\sqrt{2} \text{ , } z_2=\dfrac{4-i\sqrt{8}}{2}=2-i\sqrt{2}
L'ensemble des solutions de cette équation est donc :
\boxed{S=\lbrace 2-i\sqrt{2}, 2+i\sqrt{2}\rbrace}


1. b) \dfrac{z_1-3}{z_1}=\dfrac{2+i\sqrt{2}-3}{2+i\sqrt{2}}=\dfrac{(-1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{2})}{(2+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{2})}=\dfrac{-2+i\sqrt{2}+2i\sqrt{2}+2}{4+2}
\boxed{\dfrac{z_1-3}{z_1}=i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

Donc (\overrightarrow{M_1O};\overrightarrow{M_1B})=arg\left(\dfrac{z_1-z_B}{z_1}\right)=arg\left(i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]
Le triangle OBM1 est rectangle en M1


1. c) Le triangle OBM1 étant rectangle en M1, il est inscrit dans le cercle de diamètre [OB], diamètre qui est un axe de symétrie du cercle. Or, z_1 et z_2 sont conjugués, les points M1 et M2 sont symétriques par rapport à l'axe des réels (OB), donc le point M2 appartient au cercle circonscrit au triangle OBM1.
Ce cercle \mathcal{C} a pour centre le milieu de [OB] et pour rayon \dfrac{OB}{2}
Conclusion :
Les points O, B, M1 et M2 appartiennent au cercle \mathcal{C} de centre d'affixe \frac{3}{2} et de rayon \frac{3}{2}

Voir dessin à la fin de l'exercice.

2. a) z'-2=  z^2 - 4z + 6-2=z^2-4z+4
\boxed{z'-2=(z-2)^2}


2. b) z'-2=(z-2)^2=\left(\sqrt{2}e^{i\theta}\right)^2=2\,e^{2i\theta}
Donc |z'-2|=2 c' est-à-dire AM' = 2
M' appartient au cercle \Gamma' de centre A et de rayon 2


3. a) d -2= \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2}
|d-2|= \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{6}{4}}=\sqrt{2}
Donc : d-2=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]
\boxed{d-2=\sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{3}}}

|d-2|=\sqrt{2} ou encore AD = 2 donc :
D appartient à \Gamma


3. b) D'après 2. b), avec \theta=\dfrac{\pi}{3}, on obtient z'-2=2\,e^{\frac{2i\pi}{3}} et \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{AD}'}\right)=arg(z'-2)=arg\left(2\,e^{\frac{2i\pi}{3}}\right)\;\;[2\pi]
\boxed{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{AD}'}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\;\;[2\pi]}


3. c)
D' appartient à \Gamma', donc AD' = AO = 2.
\left(\overrightarrow{AD'}, \overrightarrow{\text{AO}}\right)=\left(\overrightarrow{AD'}, \overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{AO}}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}+\pi=\dfrac{\pi}{3}\;\;[2\pi]
Donc O est l'image de D' dans la rotation de centre A et d' angle \dfrac{\pi}{3}
Le triangle OAD' est équilatéral direct

Bac scientifique Antilles - Guyane Septembre 2006 - terminale : image 3





exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

Pour tout réel positif t : P(X>t)=1-P(X\le t)=1-\displaystyle \int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x=1-[-e^{-\lambda x}]_0^t=1-(-e^{-\lambda t}+1)
\boxed{P(X>t)=e^{-\lambda t}}

Pour tout réels positifs t\text{ et } s : P_{(X>t)}(X> s + t)=\dfrac{P\left[ (X>t)\cap (X>t+s)\right]}{P(X>t)}=\dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\dfrac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}
\boxed{P_{(X>t)}(X> s + t)=P(X>s)}


Partie B

1. a) P(t\le 10)=0,7\Longleftrightarrow P(t> 10)=0,3\Longleftrightarrow e^{-10\lambda } =0,3\Longleftrightarrow -10\lambda=\ln 0,3
\boxed{\lambda=-\dfrac{\ln\,0,3}{10}}


1. b) D'après la Partie A : P_{(T > 10)}(T> 15)=P_{(T>10)}(T>10+5)=P(T>5)=e^{-5\lambda}
\boxed{P_{(T > 10)}(T> 15)=e^{-0,6}}


1. c) P_{T>10}(T\leq 15)=1 - P_{T>10}(T> 15)
\boxed{P_{T>10}(T\leq 15)=1-e^{-0,6}\approx 0,45}


2. a) On répète 6 fois de manière indépendante un épreuve de Bernoulli (la durée d' attente est-elle supérieure à 10 minute ou non) où la probabilité du succès est 0,3.
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n=6 et p=0,3


2. b) P(Y\ge 4)=P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)={6\choose 4} 0,3^4 0,7^2+{6\choose 5} 0,3^5 0,7^1+{6\choose 6} 0,3^6 0,7^0
\boxed{P(Y\geq 4)\approx 0,07}





exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Dans le repère (A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}) : I \left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 0 \right) \text{ , } D(0;1;0) \text{ , }J \left(\dfrac{1}{2} ; 1; 1 \right) \text{ et } F(1;0;1)
D'où \overrightarrow{DI} \left(\dfrac{1}{2} ; -1 ; 0 \right) \text{ et } \overrightarrow{JF} \left(\dfrac{1}{2} ; -1 ; 0 \right)
Donc \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{JF} et :
DIFJ est un parallélogramme

DI=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+(-1)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}

IF=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}
On en déduit que DI = IF : le parallélogramme DIFJ a deux côtés consécutifs de même longueur.
Le quadrilatère DIFJ est un losange

On a \overrightarrow{DF}(1;-1;1) \text{ et }\overrightarrow{IJ}(0;1;1)
Donc DF=\sqrt{3} \text{ et } IJ=\sqrt{2} et on déduit l'aire du losange : \mathcal{A}_{DIFJ}=\dfrac{DF\times IJ}{2}
\boxed{\mathcal{A}_{DIFJ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}


1. b)
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{DI}= 2\times\dfrac{1}{2}-1+0=0
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{IJ}=0+1-1=0
\overrightarrow{DI}\text{ et } \overrightarrow{IJ} ne sont pas colinéaires (à la lecture de leurs coordonnées).
\overrightarrow{n} est normal à deux droites sécantes du plan (DIJ) donc :
\overrightarrow{n} est normal au plan (DIJ)

Une équation cartésienne du plan (DIJ) s'écrit donc : 2x+y-z+d=0\text{ avec } d \text{ réel}.
Or : D(0;1;0)\in (DIJ), donc : d=-1
\boxed{ (DIJ):\; 2x+y-z-1=0}


1. c)E(0;0;1), donc : d(E,(DIJ))=\dfrac{|2x_E+y_E-z_E-1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-2|}{\sqrt{6}}
\boxed{d(E,(DIJ))=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}

Calcul du volume : V = \dfrac{1}{3} \times  \mathcal{B}\times h=\dfrac{1}{3} \mathcal{A}_{DIFJ} \times d(E,(DIJ))=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{6}}{2}\dfrac{\sqrt{6}}{3}
\boxed{V=\dfrac{1}{3}}


2. a) \overrightarrow{n} est un vecteur directeur de (\Delta)
Donc (\Delta) est la droite passante par E de vecteur directeur \overrightarow{n}
M(x ;y ; z) appartient à (\Delta), si et seulement s' il existe un réel t tel que \overrightarrow{EM}=t\overrightarrow{n}
On en déduit une représentation paramétrique de (\Delta) :
\boxed{(\Delta)\,\begin{cases}x=2t\\y=t\\z=-t+1\end{cases}}

Pour t=\dfrac{1}{2}, on trouve les coordonnées du point K\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right) donc :
\boxed{K\in (\Delta)}


2. b) (\Delta) : \begin{cases}x=2t\\y=t\\z=-t+1\end{cases} \text{ et } (DIJ) : 2x+y-z-1=0
On remplace les expressions de x, y et z de la représentation de (\Delta) dans l'équation de (DIJ).
On trouve : 4t+t+t-1-1=0\Longleftrightarrow t=\dfrac{1}{3} et on remplace cette valeur de t dans la représentation paramétrique pour calculer les coordonnées du point L, on obtient x_L=\dfrac{2}{3} \text{ , } y_L=\dfrac{1}{3} \text{ et } z_L=\dfrac{2}{3}
\boxed{L\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)}


2. c) L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right), E(0 ; 0 ; 1), B(1 ; 0 ; 0) et G(1 ; 1 ; 1).

\overrightarrow{LB} \left(\dfrac{1}{3} ; -\dfrac{1}{3} ; -\dfrac{2}{3} \right) \text{ , } \overrightarrow{LG} \left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} \right) \text{ et } \overrightarrow{LE} \left(-\dfrac{2}{3} ; -\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} \right)

Donc \overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LG}+\overrightarrow{LE}=\overrightarrow{0}
L est le centre de gravité du triangle BEG


3. a)
\begin{matrix}x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y- z + \dfrac{4}{3} =  0&\Longleftrightarrow& x^2-2x+1 -1+y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+z^2-z+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{3}=0\\&\Longleftrightarrow& (x-1)^2+(y-\dfrac{1}{2})^2+(z-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{6}=0\\&\Longleftrightarrow &(x-1)^2+(y-\dfrac{1}{2})^2+(z-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{6}\\&\Longleftrightarrow& (x-1)^2+(y-\dfrac{1}{2})^2+(z-\dfrac{1}{2})^2=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)^2\end{matrix}

\boxed{\text{ (S) est la sphère de centre } K\left(1 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right) \text{ et de rayon } \dfrac{\sqrt{6}}{6}}


3. b) x_L^2 + y_L^2 + z_L^2 - 2x_L - y_L- z_L + \dfrac{4}{3}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-2\,\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=0 donc:
\boxed{L\in (S)}

Propriété géométrique
La distance de K, centre de la sphère (S), au plan DIJ est la distance KL soit le rayon de (S)
(DIJ) est le plan tangent à la sphère (S) au point L





exercice 4- Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Il existe une unique similitude directe qui transforme deux points distincts (O et A) en deux points distincts (I et C), donc :
La similitude directe s qui transforme O en I et A en C est unique


1. b) L'écriture complexe de s est de la forme z'=az+ba et b sont deux complexes à déterminer.
s(O)=I et s(A)=C, et z_O=0\text{ , } z_A=1 \text{ , } z_C=2i \text{ et } z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1+1+2i}{2}=1+i . Donc :
\begin{cases} s(O)=I\\s(A)=C\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}1+i=b\\2i=a+b\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{\begin{cases} a=-1+i\\b=1+i\end{cases}}

On en déduit l'écriture complexe de s :
\boxed{z'=(-1+i)z+1+i}


Rapport de s : k=|-1+i|
\boxed{k=\sqrt{2}}

Angle de s : \theta=arg(-1+i)\;\;[2\pi]
\boxed{\theta=\dfrac{3\pi}{4}}

Centre de s :s(\Omega)=\Omega\Longleftrightarrow z_{\Omega}=(-1+i)z_{\Omega}+1+i\Longleftrightarrow (2-i)z_{\Omega}=1+i\Longleftrightarrow z_{\Omega}=\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}

\boxed{z_{\Omega}=\dfrac{1+3i}{5}}


1. c) A\Omega=|z_{\Omega}-z_A|=\left|\dfrac{1+3i}{5}-1\right|=\left|\dfrac{-4+3i}{5}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{-4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=1=AO
Donc :
\boxed{\Omega \in \Gamma}


2. a) Posons A'=f(A) et C'=f(C)
] z_{A'}=\dfrac{-3-4i}{5}\overline{z_A}+\dfrac{8+4i}{5}=\dfrac{-3-4i+8+4i}{5}=1=z_A
z_{C'}=\dfrac{-3-4i}{5}\overline{z_C}+\dfrac{8+4i}{5}=\dfrac{-3-4i}{5}\times (-2i)+\dfrac{8+4i}{5}=\dfrac{6i-8+8+4i}{5}=2i=z_C
\boxed{f(A)=A\text{ et }f(C)=C}

Toute similitude indirecte qui fixe deux points distincts A et C est soit l'identité soit la réflexion d' axe (AC).
Or f n'est pas l'identité donc :
f est la réflexion d'axe (AC)

On a : \dfrac{-3-4i}{5}\overline{z_{\Omega}}+\dfrac{8+4i}{5}=\dfrac{-3-4i}{5}\dfrac{1-3i}{5}+\dfrac{8+4i}{5}=\dfrac{-3+9i-4i-12+40+20i}{25}=\dfrac{25+25i}{25}=1=z_I
\boxed{f(\Omega)=I}


2. b) \Omega=f(I) et \Omega est le symétrique de I par rapport à (AC).

3. a) s(\Omega)=\Omega et \overrightarrow{\Omega\Omega''}=\overrightarrow{0} donc :
\boxed{\Omega''=\Omega}


3. b) s(A)=C et \overrightarrow{CA''}=\overrightarrow{\Omega A} donc \Omaga AA''C\Omega est un parallélogramme.

A'' est le symétrique de \Omega par rapport au milieu J de [AC]


3.c) \overrightarrow{M'M''}=\overrightarrow{\Omega M} donc z''-z'=z-z_{\Omega}
Or z'=(-1+i)z+1+i
Donc : z''=z'+z-z_{\Omega}=(-1+i)z+1+i+z-\dfrac{1+3i}{5}
\boxed{z''=iz+\dfrac{4+2i}{5}}

La transformation qui à M associe M'' est donc une similitude directe de rapport |i|=1, d'angle arg(i)=\dfrac{\pi}{2}
Son centre est son unique point invariant \Omega
\boxed{M''\text{ est l' image de }M \text{ dans la rotation de centre }\Omega \text{ et d' angle }\dfrac{\pi}{2}}


3. d) L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, et de centre l'image du centre.
\Gamma'' est le cercle de centre A'' et de rayon 1

Figure :
Bac scientifique Antilles - Guyane Septembre 2006 - terminale : image 4
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