Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5% de ce cheptel (ou 5 pour mille).

1. On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ?

2. a) On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux.
Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.
    b) On désigne par A l'évènement «aucun animal n'est malade parmi les 10».
On désigne par B l'évènement «au moins un animal est malade parmi les 10».
Calculer les probabilités de A et de B

3. On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est 0,8. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est 0,9. On note T l'évènement «avoir un test positif à cette maladie» et M l'évènement «être atteint de cette maladie».
    a) Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé.
    b) Calculer la probabilité de l'évènement T.
    c) Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ?

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

On considère l'équation (E) $z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.

Partie A

1. a) Montrer que (E) admet une solution réelle, note $z_{1}$ .
b) Déterminer les deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : $z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = \left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2\text{i})(az + b)$

2. Résoudre (E).

Partie B

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ , on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $1$ , $2 + 2\text{i}$ et $1 - \text{i}$ .

1. Représenter A, B et C.

2. Déterminer le module et un argument de $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}}$ . En déduire la nature du triangle OBC.

3. Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation.

4. Soit D l'image de O par la rotation d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et de centre C. Déterminer l'affixe de D.

5. Quelle est la nature de OCDB ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . (unité 1 cm).
On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure.

1. Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ . On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$ .
Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$ .

2. Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant $\left\lbrace - 3 ; - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} ; \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} ; - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\rbrace$
3. a) Déterminer $r$ (F).
    b) Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

4. Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ . Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C.
    a) Déterminer l'angle et le rapport de $s'$ . En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$ .
    b) Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ?
    c) Déterminer l'écriture complexe de $s' \circ s$ .

5. Soit A' le symétrique de A par rapport à C.
    a) Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A' par $s' \circ s$ .
    b) Calculer l'affixe du point A'. Retrouver alors le résultat du a) en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$ .

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{0} = \dfrac{1}{2}$     et     $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right)$
1. a) Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)$ Étudier le sens de variation de $f$ , et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ . (On prendra comme unité 2 cm).
    b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A₀, A₁, A₂ et A₃ de l'axe $\left(\text{O} ;\vec{i}\right)$ d'abscisses respectives $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

2. a) Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \ge \sqrt{2}$ .
    b) Montrer que pour tout $x \ge \sqrt{2} , f(x) \le x$ .
    c) En déduire que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang 1.
    d) Prouver qu'elle converge.

3. Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$ . Montrer que $\ell$ est solution de l'équation $x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)$ En déduire sa valeur.

6 points

exercice 4 - Commun tous les candidats

Première partie

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère :
    les points A(0 ; 0 ; 3), B(2 ; 0 ; 4), C(-1 ; 1 ; 2) et D(1 ; -4 ; 0)
    les plans $(P_{1}) : 7x + 4y - 3z + 9 = 0$ et $(P_{2}) : x - 2y = 0$ .
    les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs $\left\lbrace\begin{array}{l} x=-1 + t \\ y=-8 + 2t \\ z=-10 + 5t \end{array}\right.$     $t \in \mathbb{R}$       $\left\lbrace\begin{array}{l} x=7 + 2t' \\ y=8 + 4t' \\ z=8 - t' \end{array}\right.$     $t' \in \mathbb{R}$ Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1. Le plan $(P_{1})$ est
    a) Le plan (ABC)
    b) Le plan (BCD)
    c) Le plan (ACD)
    d) Le plan (ABD)

2. La droite $(\Delta_{1})$ contient
    a) Le point A
    b) Le point B
    c) Le point C
    d) Le point D

3. Position relative de $(P_{1})$ et de $(\Delta_{1})$
    a) $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle a $(P_{1})$
    b) $(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$
    c) $(\Delta_{1})$ coupe $(P_{1})$
    d) $(\Delta_{1})$ est orthogonale à $(P_{1})$

4. Position relative de $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$
    a) $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$
    b) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont confondues
    c) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ ) sont sécantes
    d) $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires.

5. L'intersection de $(P_{1})$ et de $(P_{2})$ est une droite dont une représentation paramétrique est
    a) $\left\lbrace\begin{array}{l}x=t \\ y=- 2 + \dfrac{1}{2}t \\ z=3t \end{array}\right.$
    b) $\left\lbrace\begin{array}{l}x=2t \\ y=t \\ z=3 + 6t \end{array}\right.$
    c) $\left\lbrace\begin{array}{l}x=5t \\ y=1 - 2t \\ z=t \end{array}\right.$
    d) $\left\lbrace\begin{array}{l}x=-1 + t \\ y=2 + t \\ z=-3t \end{array}\right.$

Deuxième partie

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère la droite (D) passant par A(0 ; 0 ; 3) et dont un vecteur directeur est $\vec{u}(1 ; 0 ; -1)$ et la droite (D') passant par B(2 ; 0 ; 4) et dont un vecteur directeur est $\vec{v}(0 : 1 ; 1)$ .
L'objectif est de démontrer qu'il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D'), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite.

1. On considère un point $M$ appartenant à (D) et un point $M'$ appartenant à (D'). définis par $\overrightarrow{\text{A}M} = a\vec{u}$ et $\overrightarrow{\text{B}M'} = b\vec{v}$ , où $a$ et $b$ sont de nombres réels.
Exprimer les coordonnées de $M$ , de $M'$ puis du vecteur $\overrightarrow{MM'}$ en fonction de $a$ et $b$ .

2. Démontrer que la droite ( $MM'$ ) est perpendiculaire à (D) et à (D') si et seulement. si le couple $(a ; b)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{l} 2a + b = 1 \\ a + 2b = -1 \end{array}\right.$
3. Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points $M$ et $M'$ , que nous noterons ici H et H', tels que la droite (HH') soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D'). Montrer que HH $' = \sqrt{3}$ unités de longueur.

4. On considère un point $M$ quelconque de la droite (D) et un point $M'$ quelconque de la droite (D').
a) En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1., démontrer que $MM'^2= (a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b+ 1)^2 + 3$ .
b) En déduire que la distance $MM'$ est minimale lorsque $M$ est en H et $M'$ est en H'.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. $p=\dfrac{0,5}{100}$
$\boxed{p=0,005}$

2. a) Le nombre d'animaux étant grand, on peut considérer que l'on répète 10 fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès ("l'animal est malade") est 0,005 :
$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,005$ soit $\mathcal{B}(10\,;\,0,005)}$
$E(X)=np=10\times 0,005$
$\boxed{E(X)=0,05}$

2. b) $P(A)=(1-p)^{10} = 0,995^{10}$
$\boxed{P(A) \approx 0,951}$
$B = \overline{A}$ donc $P(B) = 1 - P(A)$
$\boxed{P(B)\approx 0,049}$

3. a)

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Novembre 2006 - terminale : image 3

3. b) $P(T)=P(T\cap M)+P(T\cap\overline{M})=P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)= 0,005 \times 0,8 + 0,995 \times 0,1$
$\boxed{P(T) = 0,1035}$

3. c) $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,005 \times 0,8}{0,1035}$
$\boxed{P_T(M) \approx 0,039}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. a) $z$ réel, est solution de l'équation $(E)$ , équivaut à dire :
$z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + i)z - 4 = 0 \Longleftrightarrow z^3-4z^2+7z-4+i(-z^2+z)=0 \\ \text{(}\textit{E}\text{)} \Longleftrightarrow& \begin{cases} Re(z^3-4z^2+7z-4+i(-z^2+z))=0\\Im(z^3-4z^2+7z-4+i(-z^2+z))=0\end{cases}\\ \text{(}\textit{E}\text{)} \Longleftrightarrow \begin{cases} z^3-4z^2+7z-4=0\\-z^2+z=0\end{cases}$

On a : $-z^2+z=0\Longleftrightarrow z(1-z)=0\Longleftrightarrow z=0\text{ ou } z=1$
Contrairement à 1, 0 ne vérifie pas la première équation donc : $\boxed{z_1=1}$

1. b) $z^3 - (4 +i)z^2 + (7 + i)z - 4 = \left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2i)(az + b)$

$\begin{matrix}\left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2i)(az + b)&=&(z -1)(z - 2 - 2i)(az + b)\\&=&(z^2-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)\\&=&\left[z^2-(3+2i)z+2+2i)\right](az+b)\\&=&az^3+bz^2-a(3+2i)z^2-b(3+2i)z+a(2+2i)z+b(2+2i)\\&=&az^3+\left[b-a(3+2i)\right]z^2+\left[-b(3+2i)+a(2+2i)\right]z+b(2+2i)\end{matrix}$
Par identification on obtient le système :

$S\begin{cases}a=1\\b-a(3+2i)=-4-i\\a(2+2i)-b(3+2i)=7+i\\b(2+2i)=-4\end{cases} \qquad\text{ et }S\;\Longleftrightarrow \begin{cases}a=1\\b=-1+i\end{cases}$

$\boxed{z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + i)z - 4= (z - 1)(z - 2 - 2i)(z -1+i)}$

2. Résolution de l'équation $(E)$ :
$\begin{matrix} z^3 - (4 + i)z^2 + (7 + i)z - 4 = 0&\Longleftrightarrow &(z - 1)(z - 2 - 2i)(z -1+i)=0\\\text{(}\textit{E}\text{)}&\Longleftrightarrow & z-1=0\text{ ou } z-2-2i=0\text{ ou } z-1+i=0\\\text{(}\textit{E}\text{)}&\Longleftrightarrow& \boxed{ z=1\text{ ou } z=2+2i \text{ ou } z=1-i }\end{matrix}$

Partie B

1. Voir figure ci-dessous.

2. $\dfrac{2+2i}{1-i}=\dfrac{2(1+i)^2}{2}=2i$ d'où
$\boxed{\left|\dfrac{2+2i}{1-i}\right|=2\text{ et } \arg\left(\dfrac{2+2i}{1-i}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]}$
On en déduit que : $(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB})=\arg\left(\dfrac{z_B}{z_C}\right)=\arg(2i)=\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]$ donc:

Le triangle OCB est un triangle rectangle direct en O

3. $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC}) = \arg(z_C)= \arg(1-i)=-\dfrac{\pi}{4}\;\;[2\pi]$
$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB})=\arg(z_B)=\arg(2+2i)=\dfrac{\pi}{4}\;\;[2\pi]$
Donc : $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=-(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})\;\;[2\pi]$

On en déduit : $\boxed{\text{ La droite (OA) est bissectrice de l'angle }(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OB})}$

4. $z_D-z_C=e^{-i\frac{\pi}{2}}(z_O-z_C)$
$z_D=-i(-1+i)+1-i$
$\boxed{z_D=2}$

5. $(OB)\perp(OC)$ et $(CD)\perp(OC)$ donc $(OB)//(CD)$
OCDB est donc un trapèze rectangle
Figure :

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Novembre 2006 - terminale : image 4

exercice 2 - Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

1. L'écriture complexe de la rotation $r$ est : $z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\,z$
$B=r(A)\text{ donc : }z_B=\dfrac{3(1+i\sqrt{3})}{2}$
$\boxed{z_B=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i}$

2. $C=r(B)\text{ donc : } z_C=e^{i\frac{\pi}{3}}z_B=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\times\dfrac{3+3i\sqrt{3}}{2}$
$\boxed{z_C=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i}$
$r\circ r\circ r$ est la rotation de centre O et d'angle $3\times\dfrac{\pi}{3}=\pi$ donc $r\circ r\circ r = s_O$ symétrie centrale de centre O d'écriture complexe $z'=-z$
$D=s_O(A),\quad E=s_O(B) \text{ et }F=s_O(C)$ donc $z_D=-z_A,\quad z_E=-z_B\text{ et }z_F=-z_C$ :
$\boxed{z_D=-3\qquad z_E=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i\qquad z_F=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i}$

3. a) Soit $z'$ l'affixe de $r(F)$
$z'=e^{i\frac{\pi}{3}}z_F=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\right)\left(\dfrac{3}{2}-i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}}\right)=\dfrac{3}{4}-i\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+i\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{9}{4}=3=z_A$
On en déduit : $\boxed{r(F)=A}$

3. b) Les triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA sont équilatéraux de côté 3 donc AB = BC = CD =DE = EF = FA = 3.
Le polygone ABCDEF est un hexagone régulier de côté 3

4. a) La similitude $s'$ :
$\bullet$ Rapport : $k_{s'}=\dfrac{EC}{EF}=\dfrac{|z_C-z_E|}{|z_F-z_E|}=\dfrac{|i3\sqrt{3}|}{|3|}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\boxed{\sqrt{3}}$
$\bullet$ Angle : $\arg\left(\dfrac{z_C-z_E}{z_F-z_E}\right)=\arg(i\sqrt{3})=\boxed{\dfrac{\pi}{2}}$
La similitude $s' \circ s$ :
$\bullet$ Rapport : $k_{s' \circ s}=k_sk_{s'}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}=\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
$\bullet$ Angle : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}=\boxed{\dfrac{5\pi}{6}}$

4. b) $s'\circ s(D)=s'[s(D)]=s'(F)$
$\boxed{s'\circ s(D)=C}$
L' écriture complexe de la similitude directe $s'\circ s$ est $z'=az+b$ avec $a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,e^{i\frac{5\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\dfrac{-3+i\sqrt{3}}{4}$
Soit : $z'=\dfrac{-3+i\sqrt{3}}{4}\,z+b$ Or $s'\circ s(D)=C$ , donc :
$-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i=\dfrac{-3(-3+i\sqrt{3})}{4}+b\quad\text{ et }\quad b=-\dfrac{15}{4}+\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\,i$
$\boxed{s'\circ s:\;\;z'=\dfrac{-3+i\sqrt{3}}{4}\,z-\dfrac{15}{4}+\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\,i}$

5. a) Le triangle ACE est équilatéral direct ; de plus AC = AE donc $AE = \dfrac{1}{2}AA'$ et :
$\boxed{s(A')=E}$
E est le centre de $s'$ donc invariant par $s'$ :
$\boxed{s'\circ s(A')=E}$

5. b) $z_C=\dfrac{z_A+z_{A'}}{2}$ donc $z_{A'}=2z_C-z_A$
$\boxed{z_{A'}=-6+3i\sqrt{3}}$
On remplace $z$ par $-6+3i\sqrt{3}$ dans $z'=\dfrac{-3+i\sqrt{3}}{4}\,z-\dfrac{15}{4}+\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\,i$
$z'=\dfrac{(-3+i\sqrt{3})(-6+3i\sqrt{3})}{4}-\dfrac{15}{4}+\dfrac{9i\sqrt{3}}{4}$
On trouve sans difficulté :
$\boxed{z'=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i=z_E}$
Tracé :

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Novembre 2006 - terminale : image 2

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=\dfrac{x^2-2}{2x^2}$
$\boxed{\begin{matrix}\text{Sur }]0;\sqrt{2}],\quad f'(x)\leq 0\text{ et }f \text{ est décroissante}\\\text{Sur }[\sqrt{2};+\infty[\quad f'(x)\geq 0\text{ et }f \text{ est croissante}\end{matrix}}$
Tracé :

Bac scientifique Nouvelle Calédonie Novembre 2006 - terminale : image 1

1. b) Voir tracé 1. a)

2. a) Montrons par récurrence que pour tout $n\geq 1$ , $u_n\geq \sqrt{2}$
Initialisation : On a bien $u_1=\dfrac{9}{4}\ge \sqrt{2}$ et la propriété est vraie pour $n=1$
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $n$ fixé non nul, c'est-à-dire : $u_n\ge \sqrt{2}$
$f(u_n)\geq f(\sqrt{2})$ par croissance de $f$ sur $[\sqrt{2};+\infty[$
C'est-à-dire : $u_{n+1}\ge \sqrt{2}$ et l'hérédité est prouvée.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1, et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\ge 1$
$\boxed{\text{Pour tout entier naturel }n\text{ non nul, }u_n\geq \sqrt{2}}$

2. b) Pour tout $x\geq \sqrt{2}$ , $f(x)-x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-x=\dfrac{2-x^2}{2x}\leq 0$ donc :
$\boxed{\text{ Pour tout } x\geq \sqrt{2} \text{ , } f(x)\leq x }$

2. c) Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $u_n\geq \sqrt{2}$ donc d'après 2. b) $f(u_n)-u_n\leq 0\text{ soit } u_{n+1}-u_n\le 0$
$\boxed{\text{La suite }(u_n) \text{ est décroissante à partir du rang 1 }}$

2. d) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée (par $u_0=\dfrac{1}{2}$ )
On en déduit que : $\boxed{\text{La suite }(u_n) \text{ est convergente vers }\ell}$

3. On passe à la limite dans la relation $u_{n+1}=f(u_n)$
$\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim\limits_{x\to \ell}f(x)=f(\ell)$ par continuité de $f$ sur $]0;+\infty[$
Donc $\ell$ est solution de l' équation $x=f(x)$ ou encore :
$\boxed{\ell \text{ est solution de l' équation }x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)}$
$x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)\Longleftrightarrow 2x=x+\dfrac{2}{x}\Longleftrightarrow x^2=2$
Donc $x=\pm\sqrt{2}$ or $\ell\geq \sqrt{2}$ et seule la solution positive convient :
$\boxed{\ell=\sqrt{2}}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Première Partie

1. Réponse exacte c)
Seules les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l'équation de $(P_1)$ et les points $A,C,D$ ne sont pas alignés.

2. Réponse exacte d)
Avec $t=2$ dans les équations paramétriques de $(\Delta_1)$ , on obtient les coordonnées du point $D$

3. Réponse exacte b)
Un vecteur directeur de $(\Delta _1)$ est $\vec{u}(1,2,5)$ et un vecteur normal à $(P_1)$ est $\vec{n}(7,4,-3)$
Donc le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{n}$ est nul, et |tex](\Delta_1)[/tex] est parallèle (au sens large) au plan $P_1$ . De plus le point $D$ est commun à la droite et au plan donc $(\Delta_1)\subset P_1$

4. Réponse exacte c)
On résout le système : $\begin{cases}-1+t=7+2t'\\-8+2t=8+4t'\\-10+5t=8-t'\end{cases}$
$\begin{cases}-1+t=7+2t'\\-8+2t=8+4t'\\-10+5t=8-t'\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}t-2t'=8\\5t+t'=18\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}t=4\\t'=-2\end{cases}$ (Solution unique)
Donc $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ sont sécantes

5. Réponse exacte b) [nlL'ensemble des points communs à $(P_1)$ et $(P_2)$ vérifient le système: $\begin{cases} 7x + 4y - 3z + 9 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$
On pose $y=t$ et donc : $\begin{cases} 7x + 4t - 3z + 9 = 0 \\y=t\\ x - 2t = 0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} z=6t+3 \\y=t\\ x =2t \end{cases}$

Deuxième partie

1. $\overrightarrow{\text{A}M} = a\vec{u} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_M=a\\y_M=0\\z_M=3-a\end{cases}$
$\boxed{M(a,0,3-a)}$
$\overrightarrow{\text{B}M'} = b\vec{v} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=2\\y_{M'}=b\\z_{M'}=4+b\end{cases}$
$\boxed{M'(2,b,4+b)}$
$\overrightarrow{MM'}(x_{M'}-x_M,y_{M'}-y_M,z_{M'}-z_M)$
$\boxed{\overrightarrow{MM'}(2-a,b,a+b+1)}$

2. $(MM')\perp (D)$ et $(MM')\perp (D')$ si et seulement si :
$\begin{cases}\overrightarrow{MM'}\vec{u}=0\\\overrightarrow{MM'}\vec{v}=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}2-a-a-b-1=0 \\a+b+b+1=0\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{array}{l} 2a + b = 1 \\ a + 2b = -1 \end{array}\right}$

3. $\begin{cases} 2a + b = 1 \\ a + 2b = -1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2a + b = 1 \\ 2a + 4b = -2 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 2a + b = 1 \\ -3b = 3 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$
$\boxed{\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}}$
D'où $\boxed{H(1,0,2) \text{ et } H'(2,-1,3)}$
$HH'=\sqrt{(x_{H'}-x_H)^2+(y_{H'}-y_H)^2+(z_{H'}-z_H)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}$
$\boxed{HH'=\sqrt{3}\;\text{u.l}}$

4. a)
$\begin{matrix}MM'^2&=&(x_{M'}-x_M)^2+(y_{M'}-y_M)^2+(z_{M'}-z_M)^2&=&(2-a)^2+(b)^2+(a+b+1)^2\\&=&4-4a+a^2+b^2+a^2+2a(b+1)+(b+1)^2&=&4-4a+2a^2+b^2+2ab+2a+b^2+2b+1\\&=&2a^2-2a+4+2b^2+2ab+2b+5\end{matrix}$

Or, le développement de $(a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b+ 1)^2 + 3$ donne: $(a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b+ 1)^2 + 3=a^2+2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2+2b+1+3=2a^2-2a+4+2b^2+2ab+2b+5$
On en déduit : $\boxed{MM'^2=(a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b+ 1)^2 + 3}$

4. b) $MM'^{\,2}\geq 3$ or ce minimum 3 est atteint pour $a=1$ et $b=-1$ valeurs correspondantes aux deux points $H$ et $H'$
$\boxed{\text{La distance }MM'\text{ est minimale lorsque }M\text { est en }H\text{ et }M'\text{ en }H'}$

Publié par TP/dandave le 18-05-2014

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