Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Amérique du Sud - Session Novembre 2006

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , ,on considère les points :
A de coordonnées (3 ; 1 ; -5), B de coordonnées (0 ; 4 ; -5), C de coordonnées (-1 ; 2 ; -5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).

Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention «VRAI» ou «FAUX». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrecte.
L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Les points A, B et D sont alignés.

2. La droite (AB) est contenue dans le plan d'équation cartésienne : $x + y = 4$ .

3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$ .

4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.

5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

6. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : $\left\lbrace\begin{array}{l} x=1-2k \\ y=\dfrac{7}{2}+k \\ z=-\dfrac{1}{2}-9k \end{array}\right.$ , $k \in \mathbb{R}$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . On prendra pour unité graphique 1 cm.

1. Question de cours

On rappelle que : «Pour tout vecteur $\vec{w}$ non nul, d'affixe $z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vec{u}, \vec{w}\right)$ ».

Soient $M$ , $N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m$ , $n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$ .
    a) Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}\right)$ .
    b) Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$

2. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad z_{\text{C}} = 5\text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = -3 -\text{i}$ . Placer ces points sur une figure.

3. Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}$ .
    a) Préciser les images des points A et B par $f$ .
    b) Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , dont on précisera l'affixe $\omega$ .

4. a) Montrer que pour tout nombre complexe $z$ , on a : $z'-z = -2\text{i}(2 - \text{i} - z)$ .
    b) En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$ , la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MM'}\right)$
    c) Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
    d) Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ . Écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E' associé au point E.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Rappel :

Pour deux entiers relatifs $a$ et $b$ , on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 7, et on écrit $a \equiv b \quad \mod 7$ lorsqu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a = b + 7k$ .

1. Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
    a) Soient $a, b, c$ et $d$ des entiers relatifs.
Démontrer que : si $a \equiv b \mod 7$ et $c \equiv d \mod 7$ alors $ac \equiv bd \mod 7$ .
    b) En déduire que : pour $a$ et $b$ entiers relatifs non nuls
si $a \equiv b \mod 7$ alors pour tout entier naturel $n$ , $a^n \equiv b^n \mod 7$ .

2. Pour $a = 2$ puis pour $a = 3$ , déterminer un entier naturel $n$ non nul tel que $a^n \equiv 1 \mod 7$ .

3. Soit $a$ un entier naturel non divisible par 7.
    a) Montrer que : $a^6 \equiv 1 \mod 7$ .
    b) On appelle ordre de $a \mod 7$ , et on désigne par $k$ , le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k \equiv 1 \mod 7$ . Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de 6 par $k$ vérifie $a^r \equiv 1 \mod 7$ .
En déduire que $k$ divise 6.
Quelles sont les valeurs possibles de $k$ ?
    c) Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers $a$ compris entre 2 et 6.

4. À tout entier naturel $n$ , on associe le nombre $A_{n} = 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n$ . Montrer que $A_{2006} \equiv 6 \mod 7$ .

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées.
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{4}$ .
La probabilité pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à $\dfrac{1}{2}$ .
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.
Soit $n$ un entier naturel vérifiant $0 \le n \le 50$ .
On définit les évènements suivants :
    A : «le jardinier a choisi le lot 1»
    B : «le jardinier a choisi le lot 2»
    $J_{n}$ : «le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes».

1. Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1.
    a) Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1 ?
    b) Quelle est l'espérance mathématique de cette loi ?
    c) Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes,
    d) Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au millième du résultat.

2. Probabilités conditionnelles
    a) Montrer que : $P_{\text{B}}\left(J_{n}\right) = \binom{50}{n}2^{-50}$ .
    b) En déduire la probabilité que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
    c) On note $p_{n}$ la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que $J_{n}$ est réalisé. établir que : $p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}$ .
    d) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \ge 0,9$ ?
Comment peut-on interpréter ce résultat ?

8 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1$ .
    a) Déterminer les limites de $f_{n}$ en 0 et en $+\infty$ puis étudier le sens de variations de $f_{n}$ .
    b) Montrer que l'équation $f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans ]0 ; + $\infty$ [. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient à l'intervalle [1 ; e].

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ . On note ( $\Gamma$ ) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
    a) Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer une équation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonnées (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonnées $(n ; 0)$ .
    b) Faire un croquis représentant la courbe ( $\Gamma$ ) et les droites $\Delta_{1}$ , $\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$ .
    c) Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ( $\Gamma$ ) avec $\Delta_{n}$ .
    d) Préciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ .

3. a) Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ .
    b) Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et vérifier que : $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$ .
    c) Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ .
    d) Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. Établir que : $\ln \ell = 1$ et en déduire la valeur de $\ell$ .

4. On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine délimité par la courbe ( $\Gamma$ ), l'axe des abscisses et les droites d'équation : $x = \alpha_{n}$ et $x = \text{e}$ .
    a) Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ en fonction de $\alpha_{n}$ et montrer que cette aire est égaie à $\dfrac{\alpha_{n}^2}{n}$ .
    b) Établir que : $\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \le \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \le \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ .
    c) En déduire un encadrement de $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ .
    d) La suite de terme général $n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)$ est-elle convergente ? Ce résultat permet-il d'apprécier la rapidité de la convergence de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ ?

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Faux
$\overrightarrow{AB}(-3;3;0)$ et $\overrightarrow{AD}(-1;2;9)$
Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc il n'existe pas de réel $k$ vérifiant $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$ et les points A, B, D ne sont pas alignés.

2. Vrai
les points A(3 ; 1 ; -5) et (0 ; 4 ; -5) appartiennent au plan d'équation $x+y=4$ car : $\begin{cases} x_A+y_A=3+1=4\\x_B+y_B=0+4=4\end{cases}$
Donc la droite (AB) est contenue dans ce plan.

3. Vrai
On peut contrôler que ces 3 points sont non alignés et définissent donc bien un plan.
Les coordonnées des 3 points vérifient l'équation donnée :
$\begin{cases}18x_B-9y_B-5z_B+11=-36+25+11=0\\18x_C-9y_C-5z_C+11=-18-18+25+11=0\\18x_D-9y_D-5z_D+11=36-27-20+11=0\end{cases}$
Une équation cartésienne du plan (BCD) est donc bien $18x-9y-5z+11=0$

4. Faux
$18x_A-9y_A-5z_A+11=54-9+25+11=81 \neq 0$
Donc A n'appartient pas au plan (BCD).

5. Faux
$d(A,(BCD)) = \dfrac{|18x_A-9y_A-5z_A+11|}{\sqrt{18^2+9^2+5^2}}=\dfrac{81}{\sqrt{430}}\neq 9$

6. Vrai
Pour $k=\dfrac{1}{2}$ , on obtient les coordonnées de B et pour $k=-\dfrac{1}{2}$ on obtient celles de D.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $\arg \left(\dfrac{p-m}{n-m}\right) = \arg(p-m) - \arg(n-m)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{MP})-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{MN})=(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{MP})=(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP})\;\;[2\pi]$
$\boxed{\arg \left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) = \left(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP}\right)\;\;[2\pi]}$

1. b) On a : $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|=\dfrac{|p-m|}{|n-m|}=\dfrac{MP}{MN}$
$\boxed{\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|=\dfrac{MP}{MN}}$

2. Voir figure.

3. a) $z_{A'} = (1 +2i)z_A - 2 -4i=(1+2i)(4+i)-2-4i=4+i+8i-2-2-4i=5i=z_C$
$\boxed{f(A)=C}$
$z_{B'} = (1 +2i)z_B - 2 -4i=(1+2i)(1+i)-2-4i= 1+i+2i-2-2-4i=-3-i=z_D$
$\boxed{f(B)=D}$

3. b) Le point $\Omega$ d'affixe $\omega$ est invariant par $f$ équivaut à dire :
$\Omega=f(\Omega)\Longleftrightarrow \omega = (1 +2i)\omega - 2 -4i\Longleftrightarrow 2i\omega-2-4i=0\Longleftrightarrow \omega=\dfrac{2(1+2i)}{2i}=-(1+2i)i=2-i$

$\boxed{ f \text{ admet un unique point invariant }\Omega\text{ d'affixe } \omega=2-i}$

4. a) $z'-z=(1 +2i)z - 2 -4i-z=-4i-2+2iz=-2i\left(2+\dfrac{1}{i}-z\right)$
$\boxed{z'-z=-2i(2-i-z)}$

4. b) $\dfrac{z'-z}{z-\omega}=\dfrac{z'-z}{z-(2-i)}=-\dfrac{z'-z}{2-i-z}=2i$
Donc :
$\dfrac{MM'}{\Omega M}=\left|\dfrac{z'-z}{z-\omega}\right|=\left|2i\right|$
$\boxed{\dfrac{MM'}{\Omega M}=2}$
$\left(\overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MM'}\right) =\arg\left(\dfrac{z'-z}{\omega-z}\right)=\arg(-2i)\;\;[2\pi]$
$\boxed{\left(\overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MM'}\right) =-\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]}$

4. c) Puisque $\left(\overrightarrow{M\Omega}, \overrightarrow{MM'}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]$ , alors :
$\boxed{\Omega MM'\text{ est un triangle rectangle en M}}$

4. d) $|z_E|=\sqrt{1+3}=2$
$z_{E} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}= 2\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\left[\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]$
$\boxed{z_E=2\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
E est le point du cercle de centre O et de rayon 2, d'abscisse -1 et d'ordonnée négative.
On mène par E la perpendiculaire à $(E\Omega )$ et on construit le point E' sur cette perpendiculaire tel que $(\overrightarrow{E\Omega},\overrightarrow{EE'})=-\dfrac{\pi}{2}$ et $EE'=2\,E\Omega$

Bac scientifique Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 1

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Soit $a \equiv b\;\;[7] \text{ et } c \equiv d \;\; [7]$
Alors il existe $k \text{ et } k'$ deux entiers relatifs tels que : $a=b+7k \text{ et } c=d+7k'$
Donc : $ac=(b+7k)(d+7k')=bd+7bk'+7dk+49kk'=bd+7(bk'+dk+7kk')=bd+7k'' \text{ en posant l'entier relatif } bk'+dk+7kk'=k''$
On en déduit que : $\boxed{ac \equiv bd \;\; [7]}$

1. b) $a$ et $b$ sont des entiers relatifs non nuls et on suppose que $a\equiv b\;\;[7]$
Démontrons par récurrence que pour tout $n$ entier naturel : $a^n\equiv b^n\;\;[7]$ :
Initialisation : On a bien $a^0\equiv b^0\;\;[7]$ et la propriété est vraie pour $n=0$
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier naturel $n$ fixé, c'est-à-dire : $a^n\equiv b^n\;\;[7]$
Alors, comme $a\equiv b\;\;[7]$ , on en déduit d'après 1.a) : $a^n\times a\equiv b^n\times b\;\;[7]$ , soit :
$a^{n+1}\equiv b^{n+1}\;\;[7]$
Et l'hérédité est prouvée.
Conclusion : la propriété est vraie pour $n=0$ et elle est héréditaire ; elle est donc vraie pour tout $n$ entier naturel.
$\boxed{\text{Pour tout entiers relatifs }a\text{ et }b\text{ non nuls, si }a\equiv b\;\;[7],\text{ alors, }a^n\equiv b^n\;\;[7]}$

2. Pour $a=2$ on a $2^3\equiv 1\;\;[7]$ , donc $\boxed{n=3}$
Pour $a = 3$ on a $3^6\equiv 729\equiv 1\;\;[7]$ , donc $\boxed{n=6}$

3. a) $a$ est un entier relatif, 7 est un nombre premier ; comme 7 ne divise pas $a$ , alors d'après le petit théorème de Fermat :
$\boxed{a^6\equiv 1\;\;[7]}$

3. b) Considérons l'écriture de la division euclidienne de 6 par $k$ : $6 = kq + r$ avec $0\leq r < k$
Donc : $a^6\equiv a^{kq+r}\equiv (a^k)^q\times a^r\equiv a^r\;\;[7]$
Or, $a^6\equiv 1\;\; [7]$
Donc $\boxed{a^r\equiv 1\;\;[7]}$
Or $k$ est le plus petit entier naturel non nul tel que : $a^k\equiv 1\;\; [7]$
On en déduit $r=0$ donc $\boxed{k\text{ divise }6}$
Valeurs possibles : Puisque $k$ divise 6 alors les valeurs possibles pour $k$ sont : 1, 2, 3 et 6

3. c) Ordre de 2 --> 3 et ordre de 3 --> 6 d' après 2)
$4^3\equiv 1\;\;[7]$ : ordre de 4 --> 3
$5^6\equiv 1\;\;[7]$ : ordre de 5 --> 6
$6^2\equiv 1\;\;[7]$ : ordre de 6 --> 2

4. $2006=6\times 334+2$
Pour tout $a$ premier avec 7, $a^{2006}\equiv (a^{6})^{334}\times a^2\equiv a^2\;\;[7]$
Donc $A_{2006}\equiv 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\equiv 90\;\;[7]$
Ou encore : $\boxed{A_{2006} \equiv 6 \;\;[7]}$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) Le nombre de bulbes de chaque lot étant très élevé, on peut considérer qu'on répète 50 fois une épreuve de Bernoulli de manière indépendante où la probabilité du succés ("le bulbe donne une tulipe jaune") est $\dfrac{1}{4}$
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de tulipes jaunes obtenues.
La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donc une loi binomiale de paramètres 50 et $\dfrac{1}{4}$
$\boxed{X=\mathcal{B}\left(50,\dfrac{1}{4}\right)}}$

1. b) $E(X)=np$ avec $n=50$ et $p=\dfrac{1}{4}$
$\boxed{E(X)=12.5}}$

1. c) $\boxed{P(X=n)= \displaystyle {50\choose n}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-n}}$

1. d) $P(X=15)=\displaystyle {50\choose 15}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{15}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{35}}=\displaystyle {50\choose 15}\dfrac{3^{35}}{4^{50}}$
$\boxed{P(X=15)\approx 0.089}$

2. a) De même qu'en 1), sachant que le jardinier a choisi le lot 2, la variable aléatoire qui donne le nombre de tulipes jaunes obtenues suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left(50,\dfrac{1}{2}\right)$
Donc : $P_{B}(J_n)=\displaystyle {50\choose n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{50-n}= {50\choose n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{50}$
$\boxed{P_B(J_n)=\displaystyle{50\choose n} 2^{-50}}$

2. b) $J_n=(J_n\cap A)\cup(J_n\cap B)$ (une réunion d'événements disjoints)
Donc : $P(J_n)=P(A\cap J_n)+P(B\cap J_n)=P(A)\times P_A(J_n)+P(B)\times P_B(J_n)=\dfrac{1}{2}\displaystyle{50\choose n}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-n}+\dfrac{1}{2}{50\choose n}\dfrac{1}{2^{50}}$
$\boxed{P(J_n)=\dfrac{1}{2}\displaytstyle{50\choose n}\,\dfrac{3^{50-n}+2^{50}}{4^{50}}}$

2. c) $p_n=P_{J_n}(A)=\dfrac{P(A\cap J_n)}{P(J_n)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\displaystyle{50\choose n}\,\dfrac{3^{50-n}}{4^{50}}}{\dfrac{1}{2}\displaystyle{50\choose n}\,\dfrac{3^{50-n}+2^{50}}{4^{50}}}$
$\boxed{p_n=\dfrac{3^{50-n}}{3^{50-n}+2^{50}}}$

2. d)
$\begin{matrix} p_n\geq 0,9&\Longleftrightarrow& \dfrac{3^{50-n}}{3^{50-n}+2^{50}}\geq 0,9\\&\Longleftrightarrow& 3^{50-n}\geq 0,9\left(3^{50-n}+2^{50}\right)\\&\Longleftrightarrow& 0,1 \times 3^{50-n}\geq 0,9\times 2^{50}\\&\Longleftrightarrow& 3^{50-n}\geq 9\times 2^{50}\\&\Longleftrightarrow& (50-n)\ln 3\geq 2\,\ln\, 3+50\,\ln\, 2}\\&\Longleftrightarrow& \boxed{n\leq 48- 50\,\dfrac{\ln\, 2}{\ln\, 3}}\end{matrix}$

Or, $48-50\,\dfrac{\ln\,2}{\ln\,3}\approx 16,5$
$\boxed{n\leq 16}$
Sachant que le jardinier obtient au plus 16 tulipes jaunes, la probabilité qu'il ait choisi le lot 1 est supérieure à 0,9

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) Limites :
$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x>0}}\ln\, x=-\infty$
donc par somme : $\boxed{\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x>0}}f_n(x)=-\infty}$
$\lim\limits_{x\to +\infty}\ln\,x=+\infty$
donc par somme : $\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f_n(x)=+\infty}$
Variations : $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f_n'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{n}>0$ sur $]0;+\infty[$ donc :

$\boxed{f_n\text{ est strictement croissante sur }]0;+\infty[}$

1. b) La fonction $f_n$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ , $f_n\left(]0,+\infty[\right)=]-\infty;+\infty[$ et $0\in ]-\infty;+\infty[$
Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
$\boxed{\text{L'équation } f_n(x)=0\text{ admet une solution unique }\alpha_n\text{ sur }]0;+\infty[}$
$f_n(1)=\dfrac{1}{n}-1\leq 0$ et $f_n(\text{e})=\dfrac{\text{e}}{n}\geq 0$
Donc $f_n(1)\leq f_n(\alpha_n)\leq f_n(\text{e})$
Comme $f_n$ est croissante sur $]0;+\infty[$ , on en déduit : $1\leq \alpha_n\leq \text{e}$
$\boxed{\alpha_n\in[1;\text{e}]}$

2. a) Soit $y=mx+p$ une équation de $\Delta_n$ où $m$ et $p$ sont deux réels à déterminer :
$\begin{cases} A(0,1) \text{ appartient à } \Delta_n\\B_n(n,0) \text{ appartient à } \Delta_n\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} p=1\\mn+p=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} p=1\\m=-\dfrac{1}{n}\end{cases}$
$\boxed{\Delta_n:\, y=-\dfrac{1}{n}x+1}$

2. b)

Bac scientifique Amérique du Sud Novembre 2006 - terminale : image 2

2. c) On a : $f_n(\alpha_n)=0\Longleftrightarrow \ln (\alpha_n) + \dfrac{\alpha_n}{n} - 1=0\Longleftrightarrow \ln (\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n}+1$
Donc $\alpha_n$ est solution de l'équation $\ln\,x=-\dfrac{1}{n}\,x+1$
$\boxed{\alpha_n\text{ est l' abscisse du point d' intersection de }\Gamma \text{ avec }\Delta_n}$
Remarque : La position limite de la droite $\Delta_n$ quand $n\to +\infty$ est la droite horizontale d'équation $y=1$ . Elle recoupe la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $\text{e}$ .
On peut donc conjecturer que $(\alpha_n)$ est convergente vers $\text{e}$ .

2. d) $\alpha_1$ est l'unique solution de l'équation $f_1(x)=0$ ou encore : $\ln x + x - 1=0$
Or 1 est solution de cette équation donc :
$\boxed{\alpha_1=1}$
Sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ : D'après la figure, il semble que $\boxed{(\alpha_n)\text{ est croissante}}$

3. a) $f_n(\alpha_n)=0\Longleftrightarrow \ln (\alpha_n) + \dfrac{\alpha_n}{n} - 1=0$
$\boxed{\ln(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n} + 1}$

3. b) $f_{n+1}(\alpha_n)= \ln (\alpha_n) + \dfrac{\alpha_n}{n+1} - 1=-\dfrac{\alpha_n}{n} + 1+\dfrac{\alpha_n}{n+1} - 1=\alpha_n\left(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\right)$
$\boxed{f_{n+1}(\alpha_n)=-\dfrac{\alpha_n}{n(n+1)}<0}$

3. c) $f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0$ et $f_{n+1}(\alpha_n)<0$ , on en déduit : $f_{n+1}(\alpha_n)<f_{n+1}(\alpha_{n+1})$
Donc : $\alpha_n<\alpha_{n+1}$ par stricte croissance de $f_{n+1}$ sur $]0;+\infty[$
Conclusion : $\boxed{(\alpha_n) \text{ est croissante}}$

3. d) $(\alpha_n)$ est croissante et majorée (par $\text{e}$ )
On en déduit que : $\boxed{(\alpha_n) \text{ est convergente vers }\ell}$
$f_n(\alpha _n)=0\Longleftrightarrow \ln\,\alpha_n=1-\dfrac{\alpha_n}{n}$
On passe à la limite en $+\infty$ dans cette dernière égalité :
$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\alpha_n}{n}=0$ puisque $\lim\limits_{n\to +\infty}\alpha_n=\ell$
$\lim\limits_{n\to +\infty}\ln\,\alpha_n=\ln\,\ell$ par continuité de la fonction logarithme.
Donc $\ln\,\ell=1$ et : $\boxed{\ell=\text{e}}$

4. a) Sur $[\alpha_n;\text{e}]$ , la courbe $\Gamma$ est au dessus de l'axe des abscisses.
$\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{n}}} =\displaystyle \int_{ \alpha_{n}}^{e}\ln x dx$
On fait une intégration par parties en posant : $\begin{cases}u(x)=\ln x \Longrightarrow u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v'(x)=1\Longrightarrow v(x)=x\end{cases}$
Les fonctions $u$ et $v$ sont continues à dérivées continues sur $[\alpha_n;\text{e}]$ :
$\begin{matrix}\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{n}}}&=&\displaystyle \left[x\ln x\right]_{\alpha_n}^{e} -\int_{\alpha_n}^{e} dx\\&=&e-\alpha_n\ln (\alpha_n)-(e-\alpha_n)\\&=&\alpha_n(1-\ln (\alpha_n))\\&=&\alpha_n\left(1+\dfrac{\alpha_n}{n} - 1\right)\end{matrix}$
$\boxed{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{n}}=\dfrac{\alpha_n^2}{n}\;(u.a)}$

4. b) La fonction logarithme est croissante sur $]0;+\infty[$
Donc pour tout $x\in [\alpha_n;\text{e}]\qquad \ln\,\alpha_n\leq \ln\,x\leq 1$
Comme $\alpha_n \le \text{e}$ , on en déduit : $\displaystyle\int_{\alpha_n}^{\text{e}}\ln\,\alpha_n\,\text{d}x\leq \int_{\alpha_n}^{\text{e}}\ln\,x\,\text{d}x\leq \int_{\alpha_n}^{\text{e}}\text{d}x$

C est-à-dire : $\boxed{(\text{e}-\alpha_n)\,\ln\,\alpha_n\leq \dfrac{\alpha_n^2}{n}\leq \text{e}-\alpha_n}$

4. c) Pour tout $n>1$ :
$\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \le \dfrac{\alpha_{n}^2}{n} \le \left(\text{e} - \alpha_{n}\right)\Longrightarrow n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \le \alpha_{n}^2 \le n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)\Longrightarrow \begin{cases} n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \ln \alpha_{n} \le \alpha_{n}^2 \\et \\ \alpha_{n}^2 \le n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases} n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right) \le \dfrac{ \alpha_{n}^2 }{\ln\alpha_n}\\et \\ \alpha_{n}^2 \le n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)\end{cases}$ avec $\ln\,\alpha_n>0$
On en déduit : $\boxed{\alpha_{n}^2 \le n\left(\text{e} - \alpha_{n}\right)\le \dfrac{ \alpha_{n}^2 }{\ln\alpha_n}}$

4. d) $\lim\limits_{n\to +\infty}\alpha_n^2=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\alpha_n^2}{\ln\,\alpha_n}=\text{e}^2$
Donc d'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}n(\text{e}-\alpha_n)=\text{e}^2}$
$\text{Lorsque }n \text{ tend vers }+\infty~,~\text{e}-\alpha_n$ se comporte comme $\dfrac{e^2}{n}$
$\boxed{\text{La suite }(\alpha_n)\text{ converge lentement vers e}}$

Publié par TP/ le 16-04-2014

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