Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Polynésie Française - Session 2006

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnments entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Le tableau ci-dessous présente l'évolution des dépenses de santé en France, de 1960 à 2000 (en milliards d'euros).

Année	1960	1965	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000
Rang de l'année : $x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Dépense en milliards d'euros : y_i	1,6	3,3	6,2	13,8	28,9	55,1	80	103,5	121,7

(source : Ministère de la Santé et de la Solidarité)

1. a) De quel pourcentage la dépense a-t-elle augmenté entre 1995 et 2000 (arrondir le résultat à 10^-1 près).
b) En 2000, la consommation de soins et biens médicaux (CSBM) s'élevait plus précisément à 121 673 millions d'euros. Dans cette somme, les médicaments représentaient 25 212 millions d'euros. Quel pourcentage de la CSBM cela représente-t-il ? (arrondir le résultat à 10^-1 près).

2. Représenter, sur papier millimétré, le nuage de points de coordonnées ( $x_i$ ; y_i) dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques :
1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses
1 cm pour 10 milliards d'euros sur l'axe des ordonnées.

Dans la suite de l'exercice, compte tenu de l'allure du nuage, on s'intéresse à la série statistique correspondant aux six derniers points (du rang 3 au rang 8).

3. Soit G le point moyen de ces six derniers points. Calculer les coordonnées de G (arrondir l'ordonnée à 10^-1 près).

4. On effectue un ajustement affine de la série, représentée par ces six derniers points, par la droite D d'équation y = a $x$ - 56,7, où a est un réel à déterminer.
a) Sachant que D passe par le point G, calculer a (arrondir à 10^-1 près).
b) Tracer D sur le graphique précédent.

5. On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2010.
A l'aide d'un calcul, estimer les dépenses de santé prévues pour 2010.

12 points

probleme

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1850 ; 2020] par : $f(t) = 250 + 25e^{0,01t - 18,5}$ .

1. Calculer $f'(t)$ où $f'$ désigne la foncton dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1850 ; 2020].

2. a) Justifier que $f'(t)$ est positif sur l'intervalle [1850 ; 2020].
b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ . On précisera les valeurs exactes de $f(1850)$ et de $f(2020)$ .

3. Recopier sur la copie puis compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à l'entier le plus proche).

t	1850	1900	1950	1970	1990	2005	2020
$f(t)$			318

4. On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ .
Tracer la courbe $\mathscr{C}$ dans ce repère.
On prendra comme unités graphiques :
1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
De plus, on graduera l'axe des abscisses à partir de 1850 et l'axe des ordonnées à partir de 270.

Partie B : Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère

Source : Laboratoire CNRS de Glaciologie, Université Joseph Fourier, Grenoble

Une étude statistique a montré que la teneur en dioxyde de carbone (CO₂) contenu dans l'atmosphère de 1850 à nos jours, exprimée en parties par millions (ppm), peut être modélisée par la formule suivante : $f(t) = 250 + 25e^{0,01 t - 18,5}$ où $t$ représente l'année et $f(t)$ la teneur en dioxyde de carbone.
On supposera que ce modèle reste valvable jusqu'en 2020.

1. On fera apparaître sur le graphique de la question A. 4., les traits de construction utilisés pour répondre aux questions suivantes et l'on donnera les résultats à l'unité près.
Estimer à l'aide du graphique :
a) la teneur en dioxyde de carbone (CO₂) qu'on peut prévoir en 2010,
b) l'année à partir de laquelle la teneur en dioxyde de carbone (CO₂) a dépassé 350 ppm.

2. Déterminer le résultat de la question 1. a) par le calcul, en résolvant l'équation suivante :
$250 + 25e^{0,01t - 18,5} = 350$ .

Voir la correction

exercice

1. a) En 1995, la dépense était de 103,5 milliards d'euros, en 2000, elle est de 121,7 milliards d'euros. Cela représente, une augmentation des dépenses de $\dfrac{121,7 - 103,5}{103,5} \times 100 \%$ soit environ 17,6%.

1. b) La consommation de soins et biens médicaux s'élevaient en 2000 à 121 673 millions d'euros. Dans cette somme, 25 212 millions d'euros correspondent aux médicaments. Cela représente $\dfrac{25\:212}{121\:673} \times 100 \%$ , c'est-à-dire environ 20,7%.

2.

bac SMS Polynésie Française 2006 - terminale : image 1

3. Calculons les coordonnées du point moyen G :
$x_G = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=3}^{8}x_i}{6} = \dfrac{3+4+5+6+7+8}{6} = 5,5$
et
$y_G = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=3}^{8}y_i}{6} = \dfrac{13,8+28,9+55,1+80+103,5+121,7}{6} \approx 67,2$
D'où : G(5,5 ; 67,2)

4. a) Calculons a :
La droite D passe par le point G de coordonnées (5,5 ; 67,2), donc :
y_G = a $x_{\text{G}}$ - 56,7, donc : 67,2 = 5,5a - 56,7, ce qui équivaut à :
5,5a = 123,9
soit a $\approx$ 22,5
D'où : le droite D a pour équation : y = 22,5 $x$ - 56,7

4. b) cf graphique.

5. On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2010.
L'année 2010 correspond au rang 8 + 2 = 10.
Or, pour $x = 10$ , y = 22,5 × 10 - 56,7 = 168,3
D'où : les dépenses de santé en 2010 peuvent être estimées à 168,3 milliards d'euros.

probleme

Partie A : Etude d'une fonction

1. Calculer $f'(t)$ :
$f$ est dérivable sur [1850 ; 2020]. Pour tout réel t de [1850 ; 2020], on a :
$f'(t) = 0 + 25(0,01) e^{0,01t-18,5} = 25(0,01) e^{0,01t-18,5}$

2. a) Justifions que $f'(t)$ est positif sur l'intervalle [1850 ; 2020] :
Pour tout réel t, $e^{0,01t-18,5} > 0$ , donc $f'(t) > 0$ sur l'intervalle [1850 ; 2020].

2. b) Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ :
On a vu que pour tout réel t de l'intervalle [1850 ; 2020], $f'(t) > 0$ . On en déduit que la fonction $f$ est croissante sur [1850 ; 2020].
De plus, $f(1850) = 250 + 25e^{18,5-18,5} = 250+25e^0 = 250+25 = 275$
et $f(2020) = 250+25e^{20,20-18,5} = 250 + 25e^{1,7}$ .

$\begin{array}{|c|lcr|} \hline t & 1850 & \hspace{50pt} & 2020 \\ \hline \text{Signe de } f' & & + & \\ \hline \hspace{1pt} & & & 250 + 25^{1,7} \\ \text{Variations de } f & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & 275 & & \\ \hline \end{array}$

3. Complétons le tableau de valeurs suivant :

t	1850	1900	1950	1970	1990	2005	2020
$f(t)$	275	291	318	333	351	368	387

4. Courbe représentative de la fonction $f$ :

bac SMS Polynésie Française 2006 - terminale : image 2

Partie B : Teneur en dioxyde de carbone contenu dans l'atmosphère

1. a) Sur le graphique (cf pointillés rouges), on lit que pour t = 2010, $f(t)= 374$ . Donc, la teneur en dioxyde de carbone (CO₂) qu'on peut prévoir en 2010 est de 374 ppm.

1. b) A l'aide du graphique (cf pointillés bleus), on constate que la courbe est au dessus de la droite d'équation y = 350 pour t > 1989. Donc la teneur en dioxyde de carbone a dépassé 350 ppm à partir de 1989.

2. Déterminons le résultat de la question 1. a) par le calcul :
$250 + 25\text{e}^{0,01t - 18,5} = 350 \: \Longleftrightarrow \: 25\text{e}^{0,01t-18,5} = 100 \\ \hspace{154pt} \Longleftrightarrow \: \text{e}^{0,01t-18,5} = 4 \\ \hspace{154pt} \Longleftrightarrow \: \ln \text{e}^{0,01t-18,5}=\ln4 \: \text{ par passage au ln } \\ \hspace{154pt} \Longleftrightarrow \: t = \dfrac{\ln 4 + 18,5}{0,01}$
Or, $\dfrac{\ln 4 + 18,5}{0,01} \approx 1989$ , on retrouve bien la valeur trouvée à la question précédente.

Publié par Cel/cva le 11-08-2007

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