Fiche de mathématiques

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Bac Technologique Sciences Médico-Sociales
Métropole - Session 2006

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Questionnaire à choix multiple :
Cocher les bonnes réponses, il y en a au moins une par question. Toute bonne réponse rapporte 1 point, toute erreur retire 0,5 point, l'absence de réponse ne retire rien.
Si le total des points est négatif, la note de l'exercice sera ramenée à zéro.

1. Soient A et B deux événements tels que leurs probabilités vérifient : P(A) = P(B) = 0,2 et P(A inter

B) = 0,1. Alors P(A union

B) est égal à :

0,2

0,3

0,4

0,5

2. La fonction $f$ définie sur [1 ; 12] par $f(x)=\frac{-x^2+3x-4}{x}$ a pour dérivée la fonction $f 'e$ telle que $f 'e(x) =$ :

$-1 + \dfrac{4}{x^2}$

$\dfrac{4-x^2}{x^2}$

$\dfrac{x^2-4}{x^2}$

$\dfrac{-2x+3}{1}$

3. On considère la fonction logarithme népérien notée ln.
ln27 est égal à :

3ln3

9ln3

27ln1

ln9 + ln3

4. On considère la fonction $f$ définie sur [0,5 ; 12] par $f(x) = 2\ln x$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 4 est :

2ln4

0,25

0,5

5. Dans une classe de 20 élèves, 15 sont des filles, et il y a 8 élèves qui portent des lunettes. Par ailleurs un tiers des filles portent des lunettes.
On prend un élève au hasard.
a) la probabilité que cet élève soit une fille est de :

$\dfrac{1}{15}$

0,75

0,125

0,067 environ

b) la probabilité que ce soit un garçon et qu'il porte des lunettes est de :

0,6

0,15

0,4

0,5

12 points

probleme

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 7] par $f(x) = 12 + 3x - e^{0,5x}$ .

1. a) Calculer $f'(x)$ et montrer que : $f'(x) = 3 - 0,5 e^{0,5x}$ .
b) Résoudre l'inéquation $f'(x) \geq 0$ .
c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

2. Compléter le tableau suivant (arrondir les résultats à 0,1 près) :

$x$	0	1	2	3	2 ln 6	4	5	6	7
$f(x)$		13,4				16,6	14,8	9,9

3. Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal ;
unités : 2 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour une unité en ordonnées.

Partie B

On introduit une substance S dans un liquide contenant un certain type de micro-organismes afin d'en stopper la prolifération.
On suppose que le nombre (en millions) de micro-organismes présents au bout du temps $x$ (en heure) écoulé depuis l'introduction de la substance S est donné par l'expression :
$f(x) = 12 + 3x - e^{0,5x}$

1. Quel est le nombre de micro-organismes au bout d'une heure ? au bout d'une heure et trente minutes ? (Arrondir les résultats à 100 000 près)

2. Au bout de combien de temps la population est-elle maximale ? Quelle est cette population maximale ?

3. Déterminer graphiquement durant combien de temps la population est supérieure ou égale à 12 millions (laisser apparents les traits de la construction).

Correction

exercice

1. Il suffit d'appliquer la formule : $P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A})+P(\text{B})-P(\text{A}\cap \text{B})$
Ici, $P(\text{A})=P(\text{B})=0,2$ et $P(\text{A}\cap \text{B})=0,1$ donc $P(\text{A} \cup B)= 0,2 + 0,2 - 0,1 = 0,3$
D'où : $\boxed{P(\text{A} \cup B) = 0,3}$

2. $f$ est dérivable sur [1 ; 12]. On reconnaît un quotient : il faut donc appliquer la formule de dérivation pour un quotient : $f$ est de la forme $\text{\frac{\text{u}}{\text{v}}}$ avec $\text{u}(x) = -x^2 + 3x - 4 \text{ et } \text{v}(x) = x$ .
Donc : $\text{u}'(x) = -2x + 3 \text{ et } v'(x) = 1$
Pour tout réel $x$ , on a :
$f'(x) = \dfrac{(-2x + 3) \times x - 1 \times (-x^2 + 3x - 4)}{x^2}\\ f'(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x + x^2 - 3x + 4}{x^2}\\ f'(x) = \dfrac{-x^2 + 4}{x^2} = -1 + \dfrac{4}{x^2}$
D'où : $\boxed{f'(x) = -1 + \frac{4}{x^2} = \frac{-x^2 + 4}{x^2}}$ (il y a donc deux réponses à cocher).

3. On remarque que 27 = 3³, donc ln (27) = ln(3³) = 3 ln(3)
et 27 = 9 × 3, donc ln(27) = ln(9 × 3) = ln 9 + ln 3.
D'où : $\boxed{\ln \; 27 = 3 \ln \; 3 = \ln \; 9 + \ln \; 3}$ (il y a donc deux réponses à cocher).

4. Le coefficient directeur de la tangente à $\scr{C}$ au point d'abscisse 4 est $f'(4)$ .
Or, $f$ est dérivable sur [0,5 ; 12] et pour tout réel $x$ de [0,5 ; 12], $f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x}$ .
Donc $f'(4) = \dfrac{1}{2} = 0,5$
D'où : $\boxed{f'(4) = 0,5}$
Le coefficient directeur est donc 0,5.

5. a) Il y a 20 élèves et 15 filles. Si on choisit un élève au hasard, alors la probabilité que ce soit une fille est $\dfrac{15}{20} = 0,75$ .
La probabilité est $\boxed{0,75}$ .

5. b) Un tiers des filles portent des lunettes, soit $\dfrac13 \times 15 = 5$ filles.
Il y a 8 élèves portant des lunettes dont 5 filles. Il y a donc 8 - 5 = 3 garçons portant des lunettes. La probabilité que cet élève soit un garçon et qu'il porte des lunettes est donc de $\dfrac{3}{20} = 0,15$ .
La probabilité est $\boxed{0,15}$ .

probleme

Partie A

1. a) Calculons $f'(x)$ :
$f$ est dérivable sur [0 ; 7] et pour tout $x$ de [0 ; 7], on a :
$f'(x) = 3 - 0,5 e^{0,5x}$ car $(e^{0,5x})' = 0,5e^{0,5x}$

1. b) Résolvons l'inéquation $f'(x) \geq 0$ :
$f'(x) \ge 0 \Longleftrightarrow 3 - 0,5 e^{0,5x} \ge 0\\ \hspace{52pt} \Longleftrightarrow 3 \ge 0,5 e^{0,5x} \\ \hspace{52pt} \Longleftrightarrow 6 \ge e^{0,5x}$
Par croissance de la fonction ln sur $\mathbb{R}$ , on a : $\ln(6) \geq 0,5x$
et finalement $x \leq \dfrac{\ln(6)}{0,5}$ donc $x \leq 2\ln(6)$
D'où : $\mathcal{S} = [0 \; ; \; 2\ln(6)]$

1. c) Dressons le tableau des variations de la fonction $f$ :
On travaille sur [0 ; 7]. D'après la question précédente, $f'(x) \geq 0 \text{ pour } x \leq 2\ln(6)$ .
Donc $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in [0 \; ; \; 2\ln(6)]$ et $f'(x) \leq 0$ pour $x \in [2\ln(6) \; ; \; 7]$ .
Donc $f$ est croissante sur [0 ; 2ln(6)] et décroissante sur [2ln(6) ; 7].
On a donc le tableau de variations suivant :
$\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x & 0 & & 2ln(6) & & 7\\ \hline {f'(x)} & & + & 0 & - & \\ \hline \; & & & 6 + 6 \ln(6)& & \\ {f(x)} & & \nearrow & & \searrow & \\ \; & 11 & & & & 33 - e^{3,5}\\ \hline \end{array}$

f(0) = 12 + 3 × 0 - e^{0,5 × 0} = 12 + 0 - 1 = 11
f(2ln 6) = 12 + 3 × 2 ln 6 - e^{0,5 × 2 ln 6} = 12 + 6 ln 6 - 6 = 6 + 6 ln 6
f(7) = 10 + 3 × 7 - e^{0,5 × 7} = 12 + 21 - e^3,5 = 33 - e^3,5

2. Complétons le tableau :

$x$	0	1	2	3	2 ln 6	4	5	6	7
$f(x)$	11	13,4	15,3	16,5	16,8	16,6	14,8	9,9	-0,1

Partie B

1. Déterminons le nombre de micro-organismes au bout d'une heure :
Au bout d'une heure, soit pour $x = 1$ , on a : $f(1) \approx 13,4$ (d'après le tableau de valeurs de la partie A) soit 13,4 millions de micro-organismes.

Déterminons le nombre de micro-organismes au bout d'une heure et trente minutes :
On a : 1h 30min = 1h + 0,5h = 1,5h.
Au bout d'une heure et trente minutes, soit pour $x = 1,5$ , on a : $f(1,5) = 12 + 3 \times 1,5 - e^{0,5 \times 1,5} = 16,5 - e^{0,75}$ soit en arrondissant : 14,4.
Au bout d'une heure et trente minutes, il y a environ 14,4 millions de micro-organismes.

2. Déterminons au bout de combien de temps la population est maximale :
D'après le tableau de variations, $f$ admet un maximum pour $x = 2\ln(6)$ , donc la population est maximale au bout de 2ln(6) heures, soit environ 3,6 heures (1h 36min).
Elle vaut alors $f(2\ln(6)) = 16,8$ millions de micro-organismes.

3. Déterminons graphiquement durant combien de temps la population est supérieure ou égale à 12 millions :
Par lecture graphique (cf pointillés rouges sur le graphique), on constate que la population est supérieure ou égale à 12 millions pour $x$ compris entre 0,4 et 5,6, soit pendant environ 5,2 heures (5h 12min).

Publié par Pascal/fusionfroide le 29-12-2006

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